矩阵的相似对角化2
LOGO第四章矩阵的
相似对角化
第二节
相似矩阵与矩阵的对角化
胡倩倩
相似矩阵
定义设
A和B是n阶方阵, 如果存在n阶可逆矩
阵P,使得
P－1AP= B
则称A与B相似, 记为A~ B.
性质
1.自反性: A~ A
2.对称性: A~ B, 则B~ A
3.传递性: A~ B且B~ C, 则A~ C
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定理
相似矩阵有相同的特征多项式,
从而有相同的特征值.证设A~ B即存在P, 使得P－1AP= B
∴E－B| = |λE－P－1AP|推论1|λ相似矩阵的行列式相等.= |P－1(λE－A)P|
= |P－1| ·|λE－A| · |P|= |λE－A|推论2相似矩阵的迹相等.λ1
推论3如果矩阵A与对角矩阵Λ=
相似, 则A的特征值为λ1, λ2, …, λn.λ2λn
3
说明
注意:
特征值相同的矩阵不一定相似.
1 01 1A=例如, 和E=的特征值相同. 0 10 1
但它们不相似,
因为对任意可逆阵P,P－1EP≡E
即E 只能跟它自己相似!
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矩阵的对角化
定义如果矩阵
A和某一对角矩阵相似,即
λ1
A~Λ=λ2=P－1AP
λn
则称A可对角化.
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可对角化的判断定理
n阶矩阵可对角化的充要条件是
它有n个线性无关的特征向量.
证设矩阵A和对角矩阵相似,即
λ1
A~Λ=λ2=P－1AP
λn
AP = PΛ令P= (α1, α2, …, αn) λ1
A(α1, α2, …, αn) = (α1, α2, …, αn)
Aαi= λiαi i = 1, …,n而αi线性无关2λn
7∴λ∴
可对角化的判断定理
n阶矩阵可对角化的充要条件是
它有n个线性无关的特征向量.
证设Aαi=λiαii=1,2,…,n
也就是说,
λ1
P－1A(α1, α2, …, αn) = (α1, α2, …, αn)
Pλ2λn
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可对角化的判断定理
n阶矩阵可对角化的充要条件是
它有n个线性无关的特征向量.
推论1如果A的特征值互不相同, 则A必可对角化.注意: 这个条件是充分的而不是必要的.如E如果A 的特征方程有重根, 此时不一定有n个线性无关的特征向量.
推论2n 阶方阵A可对角化的充要条件是如果A的特征值λi重数为ni, 那么属于λi的线性无关的特征向量刚好有ni个.9
矩阵对角化方法
矩阵对角化的步骤(
前提: A 可对角化)
1. 求|λE－A| = 0 的根, 得到所有的特征值;
2.对每个特征值λi, 求解齐次线性方程组
(λiE－A) x= O
的基础解系, 得到属于λi线性无关的特征向量;
3.构造P = (α1, α2, …, αn), 使得
λ1
PAP =－1λ2
λn10
矩阵对角化的应用
矩阵对角化的应用——求矩阵的高次幂(很繁琐)但是, 如果存在可逆阵P, 使得P－1AP= Λ则
A
= PΛP－1
因此An= PΛP－1∙PΛP－1…PΛP－1
= PΛnP－1
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