随机变量及分布列
第一章 离散型随机变量的分布列
(一)知识点归纳
1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变若ξ是随机变量,η=aξ+b,其中a 、b 是常数,则η也是随机变量. 2.
3. 两个性质:
①p i ≥0(i =1, 2, „) ; ②P 1+P2+„=1。
4. 二项分布:ξ~B(n,p) ,并记C n k p k q n -k =b(k;n ,p) .
5. 几何分布:
g(k,p)= q k -1p ,其中k =0,1,2, „, q =1-p .
(二)题型讲解
例1 某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意连续取出2件,其
中次品数ξ 的概率分布是
解:认为次品数ξ 服从二项分布B(2, 0.05)空格中应填 0.9025, 0.095, 0.0025
例2 在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求: (1)不放回抽样时,抽到次品数ξ的分布列; (2)放回抽样时,抽到次品数η的分布列. 解:(1)P (ξ=0)=
C
8
3
3
C 10
=
715
,P (ξ=1)=
C 2C 8
3C 10
12
=
715
,
P (ξ=2)=
C 8C 2C 10
3
12
=
115
,
所以ξ的分布列为
k
(2)P(η=k)=C3·0.8
3-k
·0.2(k=0,1,2,3),所以η的分布列如下,
k
例3 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以ξ表示取出的三只球中的最小号码,写出随机变量ξ的分布列.
解:随机变量ξ的可能取值为1,2,3. 当ξ=1时, P (ξ=1)=
C 4C 5C 2C
35232
=
610
=
35
; 当ξ=2时,(ξ=2)=
C 3
2
C 5
3
=
310
;
当ξ=3时,
P (ξ=3)==
110
.
因此,ξ的分布列如下表所示:
例4 袋中有4个黑球,3个白球,2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球得0分,每取到一个白球得1分,每取到一个红球得2分,用ξ表示分数,求ξ的概率分布。 解:ξ可能取的值为0,1,2,3,4,从袋中随机地取2个球,包含的基本事件总数为C 9。
∴P (ξ=0)=
C 4C
1
2
2
29
=
16
,P (ξ=1)=
C 4⋅C 3
C C 2C 9
2229
11
=
13
,P (ξ=2)=
C 3+C 4⋅C 2
C
29
211
=
1136
,
P (ξ=3)=
C 3⋅C 2
C 9
2
1
=
16
, P (ξ=4)=
=
136
∴随机变量ξ的分布列为
例5 已知盒中有10个灯泡,其中8个正品,2个次品. 需要从中取出2个正品,每次取出1个,取出后不放回,直到取出2个正品为止. 设ξ为取出的次数,求ξ的分布列及E ξ. 解:ξ=2, 3, 4
P (ξ=2)=P (ξ=3)=
810810
××
7929
=
284578
; +
210
××
89
×
78
=
1445
;P (ξ=4)=1-
2845
-
1445
=
115
.
∴ξ的分布列如下:
229
E ξ=2×P (ξ=2)+3×P (ξ=3)+4×P (ξ=4)=.
例6 盒中装有一打(12个)乒乓球,其中9个新的,3个旧的(用过的球即为旧的),从盒中任取3个使用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量,求ξ的分布列.
解:ξ的所有可能取值为3,4,5,6.
P (ξ=3)=
C 3
3C 12
3
=
1220
;P (ξ=4)=
C 9C 3
3C 12
12
=
27220
;
P (ξ=5)=C 9C 3C 12
3
21
=
2755
;P (ξ=6)=
C 9C 12
3
3
=
2155
. 所以ξ的分布列为
13
例7. 某人参加射击,击中目标的概率是
①设ξ为他射击6次击中目标的次数,求随机变量ξ的分布列; ②设η为他第一次击中目标时所需要射击的次数,求η的分布列; ③若他连续射击6次,设ξ为他第一次击中目标的次数,求ξ的分布列; ④若他只有6颗子弹,若他击中目标,则不再射击,否则子弹打完,求他 射击次数ξ的分布列。
⎛⎝
1⎫
⎪,而ξ的取值为0,1,2,3,4,5,6,则3⎭
解:①随机变量ξ服从二项分布B 6,
k
6-k
k ⎛
1⎫⎛2⎫
P (ξ=k )=C 6 ⎪ ⎪
⎝3⎭⎝3⎭
(k =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
故ξ的分布列为:
②设η=k 表示他前k -1次未击中目标,而在第k 次射击时击中目标,则η的取值为全体⎛2⎫
正整数1,2,3, „ 则P (η=k )= ⎪
⎝3⎭
∴
k -1
⋅
13
(k =1, 2, 3, )
η的分布列为
③设ξ=k 表示前k 次未击中目标,而第k +1次击中目标,当ξ=6ξ的取值为0,1,2,3,4,5,时,表示射击6次均未击中目标 ⎛2⎫1则P (ξ=k )= ⎪⋅
⎝3⎭3⎛2⎫
而P (ξ=6)= ⎪
⎝3⎭
∴ξ的分布列为
6k
(k =
0, 1, 2, 3, 4, 5)
④设ξ=k ,表示前k -1次未击中,而第k 次击中,k =1, 2, 3, 4, 5
⎛2⎫
P (ξ=k )= ⎪
⎝3⎭
k -1
∴⋅
13
(k =1, 2, 3, 4, 5);
而ξ=6表示前5次未击中,第6次可以击中,也可以未击中
⎛2⎫
P (ξ=6)= ⎪
⎝3⎭
5
∴
ξ的分布列为:
(三)学生练习 基础训练 一.选择题:
1. 抛掷两颗骰子,所得点数之和为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是( )
A. 两颗都是2点 B. 一颗是3点,一颗是1点
C. 两颗都是4点 D. 一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点 2. 下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( )
B.
D.
3. 已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=k)=
A.
316
12
k
,k=1,2,„,则P (2
D.
15
B.
14
C.
116
4. 袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是( )
A. 5
B. 9
C. 10 D. 25
5. 一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则P (ξ=12)等于( )
A. C10)10·(12(
8
9C. C11(
35838
)2
9
B. C11()9(
33
58
88
)2·
8
58
3
58
)9·()2
9D. C11()9·(
)2
二.填空题
6. 某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布
列为________.
7. 设随机变量ξ~B (2,p ),η~B (4,p ),若P (ξ≥1)=
59
,则P (η≥1)=______.
8. 现有一大批种子,其中优质良种占30%,从中任取5粒,记ξ为5粒中的优质良种粒数,则ξ的分布列是________.
9. 袋中有4只红球3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P (ξ≤6)=________.
10. 如果ξ~B (20,),则使P (ξ=k)取最大值的k 的值是________.
31
11. (2004年天津,理
18)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛. 设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数. (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的数学期望; (3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
11. A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是A 1、A 2、A 3,B 队队
现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分. 设A 队、B 队最后所得总分分别为
ξ、η.
(1)求ξ、η的概率分布; (2)求E ξ、E η.
12. 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以ξ表示取出的3只球中的最大号,写出随机变量ξ的分布列.
提高训练
14. 金工车间有10台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10 kW,已知每台机床工作时,平均每小时实际开动12 min,且开动与否是相互独立的. 现因当地电力供应紧张,供电部门只提供50 kW的电力,这10台机床能够正常工作的概率为多大? 在一个工作班的8 h内,不能正常工作的时间大约是多少?
答案:基础训练
1 解析:对A 、B 中表示的随机试验的结果,随机变量均取值4,而D 是 ξ=4代表的所有试验结果. 掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键. 答案:D
2 解析:A 、D 不满足分布列的基本性质②,B 不满足分布列的基本性质①. 答案:C
3 解析:P (2
12
3
+
12
4
=
316
. 答案:A
4 解析:号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9种. 答案:B
5 解析:P (ξ=12)表示第12次为红球,前11次中有9次为红球,从而P (ξ=12)
9=C11·()9(
358
8
)2×. 答案:B
8
3
6 解析:本题中商品数量较大,故从中任意抽取5件(不放回)可以看作是独立重复试验n=5,因而次品数ξ服从二项分布,即ξ~B (5,0.1).
59
7 解析:P (ξ≥1)=1-P (ξ
3
3
1
1
23
,
1681
)4=1-
k
=
6581
.
k 8 解析:ξ~B (5,0.3),ξ的分布列是P (ξ=k)=C50.30.7
5-k
,k=0,1,„,5.
k
答案:P (ξ=k)=C50.30.7
k 5-k
,k=0,1,„,5
9 解析:取出的4只球中红球个数可能为4,3,2,1个,黑球相应个数为0,1,2,3个. 其分值为ξ=4,6,8,10分.P (ξ≤6)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=
C 4C 3C 7
C 2⋅C 4
C
3
6k
3-k
44
+
C 4C 3C 7
4
31
=
1335
.
10 解:(1)ξ的可能取值为0,1,2. P (ξ=k)=
∴ξ的分布列为 ,k=0,1,2.
15
35
(2)由(1),可知 E ξ=0×+1×+2×
15
=1.
45
(3)“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=
k +11k +1220-k -1
C 20() ()
33
1k 220-k k
C 20() ()
33
.
11 解析:
P (ξ=k +1) P (ξ=k )
==
20-k k +1
×
12
≥1, 得k ≤6.
所以当k ≤6时,P (ξ=k+1)≥P (ξ=k), 当k >0时,P (ξ=k+1)<P (ξ=k), 其中k=6时,P (ξ=k+1)=P(ξ=k),
从而k=6或7时,P (ξ=k)取得最大值. 答案:6或7 11 解:(1)ξ、η的可能取值分别为3,2,1,0.
P (ξ=3)=P (ξ=2)=P (ξ=1)=
23
232335
×××
252535
××
2535
=
8751
,
2535
+×
325
×
1
25
+
2335
××
3525
×=
25
25
=
2875
,
1
35
×+×
3
1
×+×
3
, P (ξ=0)=×
3
×
35
=
325
;
根据题意知ξ+η=3,所以 P (η=0)=P(ξ=3)=P (η=2)=P(ξ=1)=(2)E ξ=3×
875
87525
,P (η=1)=P(ξ=2)=,P (η=3)=P(ξ=0)=
28753
, .
2315
25
+2×
2875
+1×
25
+0×
325
=
2215
; 因为ξ+η=3,所以E η=3-E ξ=.
12 解:根据题意可知随机变量ξ的取值为3,4,5.
当ξ=3时,即取出的三只球中最大号码为3,则其他两球的编号只能是1,2,故有P (ξ=3)=
C 2C
352
=
110
.
当ξ=4时,即取出的三只球中最大号码为4,则其他两球只能在编号为1,2,3的3球中取2个,故P (ξ=4)=
C 3
2
C 5
C 4C
352
3
=
310
.
P (ξ=5)=
=
610
. 可得ξ的分布列为
13 解析:
P (ξ=k +1) P (ξ=k )
=
k +11k +1220-k -1C 20() ()
33
1k 220-k k
C 20() ()
33
=
20-k k +1
×
12
≥1, 得k ≤6.
所以当k ≤6时,P (ξ=k+1)≥P (ξ=k), 当k >0时,P (ξ=k+1)<P (ξ=k),
其中k=6时,P (ξ=k+1)=P(ξ=k),
从而k=6或7时,P (ξ=k)取得最大值. 答案:6或7
提高训练
14解:设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ,由于机床类型相同,且机床的开动与否相互独立,因此ξ~B (10,p ). 其中p 是每台机床开动的概率,由题意p=
k
而P (ξ=k)=C10(
1260
=
15
. 从
15
)(
k
45
)
10-k
,k=0,1,2,„,10.
50 kW电力同时供给5台机床开动,因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作. 这一事件的概率为P (ξ≤5),
P (ξ≤5)=C10(
45
1
)10+C10··(
145
5
2
)9+C10(
15
)2·(
45
3
)8+C10(
15
)3(
45
4
)7+C10
(
15
)4·(
45
5
)6+C10(
15
)5·(
45
)5≈0.994.
因此,在电力供应为50 kW的条件下,机床不能正常工作的概率仅约为0.006,从而在一个工作班的8 h内,不能正常工作的时间只有大约8×60×0.006=2.88(min ),这说明,10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响.