高中数学不等式习题及详细答案

第三章 不等式

一、选择题

x 2－4x ＋55

1．已知x ≥，则f (x ) ＝有( ) ．

2x －42

55

A ．最大值 B ．最小值 C ．最大值1

44

11

2．若x ＞0，y ＞0，则(x ＋) 2＋(y ＋) 2的最小值是( ) ．

2y 2x

D ．最小值1

A ．3 B ．

7 2

C ．4 D ．

9 2

3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( ) ． A ．a ＋b ＋

1ab

≥22

B ．(a ＋b )(

11

＋) ≥4 a b

22

C

≥a ＋b

D ．

2ab

≥ab a +b

f (x ) －f (－x )

＜0

x

4．已知奇函数f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数，且f (1) ＝0，则不等式的解集为( ) ．

A ．(－1，0) ∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞)

B ．(－∞，－1) ∪(0，1) D ．(－1，0) ∪(0，1)

π1＋cos 2x ＋8sin 2x

5．当0＜x ＜时，函数f (x ) ＝的最小值为( ) ．

2sin 2x

A ．2

B ．2

C ．4

D ．4

6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( ) ． A ．18

B ．6

C ．2

D ．24

0⎧x ≥

4⎪

4，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋分为面积相等的两7．若不等式组⎨x ＋3y ≥

3⎪3x ＋y ≤ 4⎩

部分，则k 的值是( ) ．

A ．

7

3

B ．

3 7

C ．

4 3

D ．

3 4

8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为

3，则点P 的坐标是( ) ．

A ．(－5，1)

B ．(－1，5)

C ．(－7，2)

D ．(2，－7)

9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0) 在平面区域内取得最优解(最大值) 有无数多个，则m 的值为( ) ．

A ．－C ．

7

20

B ．

7 20

1 2

D ．不存在

10．当x ＞1时，不等式x ＋的取值范围是( ) ．

A ．(－∞，2] 二、填空题

1

≥a 恒成立，则实数a x -1

(第9题)

B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]

⎧(x －y ＋5)(x ＋y ) ≥0

11．不等式组⎨ 所表示的平面区域的面积是

⎩0≤x ≤3 ⎧x ＋2y －3≤0 ⎪

12．设变量x ，y 满足约束条件⎨x ＋ 3 y － 3 ≥ 0 ， 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0) 仅在点(3，

⎪y －1≤0 ⎩

0) 处取得最大值，则a 的取值范围是

13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是 b a

14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0＋＝1，则x ＋y 的最小值为 ．

y x

15．函数y ＝log a (x ＋3) －1(a ＞0，且a ≠1) 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则

21

＋的最小值为 ． m n

16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为 ．

三、解答题

x 2＋7x ＋10

17．求函数y ＝(x ＞－1) 的最小值．

x ＋1

18．已知直线l 经过点P (3，2) ，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．

(第18题)

19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨. 那么该企业可获得最大利润是多少？

51，求函数y ＝4x －1＋的最大值； 44x －5

91＊

(2) 已知x ，y ∈R (正实数集) ，且＋＝1，求x ＋y 的最小值；

y x

20．(1) 已知x ＜

b 2

(3) 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋＝1，求a ＋b 2的最大值．

2

2

参考答案

1．D

x 2－4x ＋5(x －2) 2＋11

解析：由已知f (x ) ＝＝＝

2x －42(x －2) 2

1⎤⎡， (x －2) ＋⎢⎥x －2⎦⎣

∵ x ≥

5

，x －2＞0， 2

∴

12

11⎤1⎡≥·2x －2) ⋅＝1， (x －2) ＋⎢⎥x －22x －2⎣⎦

当且仅当x －2＝

2．C 解析：(x ＋

1

，即x ＝3时取等号． x －2

121) ＋(y ＋) 2 2y 2x

＝x 2＋

x 1y 1＋2＋y 2＋＋2 y 4y x 4x

＝ x 2＋

⎛⎝

1⎫⎛x y ⎫1⎫⎛2

⎪＋ ＋． y ＋＋⎪2⎪2⎪ ⎪ 4x ⎭⎝4y ⎭⎝y x ⎭

∵ x 2＋

121122x ⋅≥2＝1，当且仅当x ＝，x ＝时取等号；

24x 24x 24x 2

y 2＋

112122

≥2＝1，当且仅当y ＝，y ＝时取等号； y ⋅22

4y 24y 4y 2

x x y y

⋅＝2(x ＞0，y ＞0) ，当且仅当＝，y 2＝x 2时取等号．

y y x x

x y

＋≥2y x

1⎫⎛21⎫⎛x y ⎫⎛⎪＋ ∴ x 2＋2⎪＋ y ＋ y ＋x ⎪⎪≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立2⎪ 4x 4y ⎝⎭⎝⎭⎭⎝

时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝

3．D 解析：

2

时原式取最小值4． 2

方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有不成立．

2ab

≥ab a +b

方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋

1ab

≥2ab ＋

1ab

≥22ab ⋅

1ab

＝22，不等式成立．

B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，

11111＋≥2>0，相乘得 (a ＋b )( ＋) ≥4成立． a b a b ab

2

2

⎛a +b ⎫⎛a +b ⎫

C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ≥(a ＋b ) 2－2 ⎪＝2 ⎪，

22⎝⎭⎝⎭

a +b 2

122

又ab ≤≥≥a ＋b 成立． ⇒

2a +b ab

D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒不成立．

4．D

解析: 因为f (x ) 是奇函数，则f (－x ) ＝－f (x ) ，

12ab 2ab 12ab

≤，∴≤＝ab ，即≥ab a +b 2ab a +b 2ab a +b

f (x ) －f (－x ) 2f (x )

＜0⇔＜0⇔xf (x ) ＜0，满足x 与f (x ) 异

x x 号的x 的集合为所求．

因为f (x ) 在(0，＋∞) 上是增函数，且f (1) ＝0，画出f (x ) 在(0，＋∞) 的简图如图，再根据f (x ) 是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0) 的图象．

(第4题)

由f (x ) 的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0) ∪(0，1) 时，x 与f (x ) 异号． 5．C

π

，有sin x ＞0，cos x ＞0． 2

1＋cos 2x ＋8sin 2x 2cos 2x ＋8sin 2x cos x 4sin x f (x ) ＝＝＝＋

cos x sin x sin 2x 2sin x cos x

解析：由0＜x ＜≥2

1cos x 4sin x cos x 4sin x

＝4，当且仅当＝，即tan x ＝时，取“＝”． ·

2cos x sin x sin x cos x

1π

，∴ 存在x 使tan x ＝，这时f (x ) min ＝4．

22

∵ 0＜x ＜6．B

解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥23a ⋅3b ＝23a +b ＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．

故3a ＋3b 的最小值是6．

7．A

解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．

由⎨

4⎧x ＋3y ＝4

得A (1，1) ，又B (0，4) ，C (0，) ．

3⎩3x ＋y ＝4

由于直线y ＝k x ＋

44

过点C (0，) ，设它与直线 33

3x ＋y ＝4的交点为D ，

115S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝，∴ y D ＝， 2221457

∴ ＝k ×＋，k ＝．

2233

则由S △BCD ＝8．A

⎧

⎪

解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0) ，则⎪

⎨⎪⎪⎩

x 0＋2y

0＋3＝0 ，

⎧x ＝－5 ，x 0－1＜ y 0 － 0 ， 解得⎨0

y ＝1 . ⎩02x 0＋y 0-6

＝3 . ∴ 点P 坐标是(－5，1) ． 9．B

解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．

22

＝－7， ∵ k AC ＝

205－1

3－

∴ －m ＝－10．D 解析：由x ＋

77

，即m ＝． 2020

11

＝(x －1) ＋＋1， x －1x －1

∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1) ＋则a ≤3．

11

＋1≥2x －＋1＝3， 1)· x －1x －1

二、填空题 11．24．

解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y ) ≥0可转化为两个 二元一次不等式组． ⎧(x －y ＋5)(x ＋y ) ≥0 ⎨

⎩0≤x ≤3

⎧⎪⇔⎨⎪⎩

x －y ＋5≥0 ⎧

⎪

x ＋ y ≥ 0 或⎨

⎪0≤x ≤3 ⎩

x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤

3

(第11题)

这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．

图中A (3，8) ，B (3，－3) ，C (0，5) ，阴影部分的面积为

3⨯(11＋5)

＝24． 2

12．⎨a a ＞⎬．

⎧⎩1⎫2⎭

解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0) 仅在点(3，0) 处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－

13．a b ≥9．

解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用构造一个不等式．

∵ ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即a b ≥2ab ＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立) ， ∴ (ab ) 2－2－3≥0，

∴ (ab －3)(ab ＋1) ≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立) ． 14．(a ＋b ) 2． 解析：由已知

11

，即a ＞．

22

a ＋b

≥ab 2

ay bx ，均为正数，

y x

∴ x ＋y ＝(x ＋y )(

ay bx b ay bx a

＋) ＝a ＋b ＋＋≥a ＋b ＋2 ＝a ＋b ＋2ab ， y y x x x y

ay bx

＝

2x y 即 x ＝a ＋ab 时取等号． 即x ＋y ≥(＋) ，当且仅当 a b y ＝b ab ＋＝1 x y

15．8．

解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0) ，故函数y ＝log a (x ＋3) －1的图象恒过定点A (－2，－1) ，把点A 坐标代入直线方程得m (－2) ＋n (－1) ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知

n 4m ，均为正，

n m

∴

12n 4m 1n 4m 2

⋅＋＝(2m ＋n )(＋) ＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当m n n n m m m n

1

n 4m m ＝＝4时取等号． m n 即 12m ＋n ＝1n ＝

2

16．

p 1+p 2

． 2

解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p ) 2＝a (1＋p 1)(1＋p 2) ，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，

1＋p 1＋1＋p 2⎫＝a ⎛p ＋p ⎫所以a (1＋p ) ＝a (1＋p 1)(1＋p 2) ≤a ⎛ ⎪ 1＋12⎪，解得

22⎭⎝⎝⎭

2

2

2

p ≤

p 1＋p 2p ＋p

，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是12． 22

三、解答题

17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，

(t －1) 2＋7(t －1) ＋10t 2＋5t ＋444y ＝＝＝t ＋＋5≥2t ⋅＋5＝9，

t t t t

当且仅当t ＝

4

，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9． t

18．解：因为直线l 经过点P (3，2) 且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ， 则l 的方程可写成y －2＝k (x －3) ，其中k ＜0． 令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－

(第18题)

2

＋3． k

S △AOB ＝

112

(2－3k )(－＋3) ＝

k 22

4⎤4⎤1⎡⎡

12＋2－9k ) ⋅(－) ⎥≥12＋(－9k ) ＋(－) ⎢⎢⎥k ⎦k ⎦2⎣⎣

＝12，当且仅当(－9k ) ＝(－y －2＝－

24

) ，即k ＝－时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 k 3

2

(x －3) ，即2x ＋3y －12＝0． 3

19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：

⎧x >0 ⎪y >0⎪则有⎨，目标函数z ＝5x ＋3y

13⎪3x +y ≤

⎪18 ⎩2x +3y ≤

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.

(第18题)

5

，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． 411

y ＝4x －1＋＝－(5－4x ＋) ＋4．

4x －55－4x

20．解：(1) ∵ x ＜∵ 5－4x ＋

11

≥25＝2， －4x

5－4x 5－4x

∴ y ≤－2＋4＝2， 当且仅当5－4x ＝

13

，即x ＝1或x ＝(舍) 时，等号成立， 5－4x 2

故当x ＝1时，y max ＝2．

(2) ∵ x ＞0，y ＞0，91＋＝1， y x

∴ x ＋y ＝(99x 1y ＋)(x ＋y ) ＝＋＋10≥2y y x x y 9x ·＋10＝6＋10＝16． x y

当且仅当9x 9y 1x ＝4 ，＝，且＋＝1，即⎧时等号成立， ⎨y y x y ＝12x ⎩

∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y ) min ＝16．

2⎛21b 2⎫321b 2⎛1b 2⎫(3) a ＝2·a ≤＝， ＋＋b ＝a 2 a ＋2＋2⎪⎪ 2＋2⎪⎪2422⎝⎭⎝⎭2

32321b 2

当且仅当a ＝，即a ＝，b ＝时，a ． ＋＋b 2有最大值22422

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