极限思想的应用毕业论文

哈尔滨师范大学

学 年 论 文

题 目 论极限思想发展及应用 学 生 李超男 指导教师 何英华 讲师 年 级 2008级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院

哈尔滨师范大学 2011年6月

论 文 提 要

极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础，极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。所以，对极限概念及理论的理解和掌握的好坏将直接影响到整个本课程的学习。

极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折，极限概念描述的是变量在某一刻过程中的变化趋势，是从有限到无限，近似到精确，量变到质变的过程，与初等数学中的概念有很大的区别，因此学生掌握起来比较困难，一些学生到了毕业，还对为什么要用如此抽象的“N”定义来描述微积分的极限理论不甚理解。

但是如果能从数学的发展历史中了解极限思想和极限理论的形成过程，弄清极限理论概念的描述和逻辑表述形式并辅以典型的例题来加深理解，对于掌握和应用极限概念会起到很重要的作用。

论极限思想发展及应用

李超男

摘 要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的，所谓极限思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.所以证明极限存在和求极限的方法就需要我们去探究.

关键词：极限思想 无穷小 数学分析

一、极限思想的形成与发展

1.1极限思想的由来

和一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限的思想可追溯到古代，刘徽到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形中心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观大胆的运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明,因此，他就在无意中“提出了把极限方法发展成为一个使用概念的方法”.

然而，微积分学在其创立初期由于历史条件的限制，人们对他的基本概念及其关系的认识还不能突破力学和几何直观的局限，许多概念还没有确切的数学定义，特别是一些定理和公式的推导还处在逻辑混乱的局面.

1.2极限思想的完善

极限思想的完善的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法一一归谬法来完成有关的证明.

1917年，波尔察诺的著作《纯粹分析的证明》的出版是微积分开始严格化的标志.在该书中波尔察诺处于证明代数基本定理的需要，首次用极限观点给出了连续性的定义，如在区间内任一处，只要充分小，就能使两点间距离任意小，则说明该函数在该区间上连续，他把导数定义为无限接近的趋向的量，波尔察诺是微积分开始严格化的前驱.

柯西被公认为近代分析的主要奠基人，事实上，他在19世纪20年代陆续发表了3本著作：《工科学学分析教程》、《无限小计算概要》和《微积分讲义》，其中革新了微积分中长期沿袭下来的模糊的旧概念重整了他的理论，把它纳入到一个新的严密的理论体系之中，柯西看出核心的问题是极限，他把极限概念理解为潜无限。并且定义“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终是变量和改定值之差要多小就多小”.这个定值就叫做所有其它值的极限，第一次使极限概念摆脱了与几何和运动直观的任何牵连，给出了建立在属于函数概念上清楚的定义.

但是，柯西的极限概念并没有严格的数学定义而是停留在直观的描述上面，所以在他的著

作的叙述中不是用严格的数学语言表达，他的函数概念并没有完全脱离解析方式的束缚，在函数的连续性和可微性方面也欠明确等等.因此，他的微积分虽然具有近代的形式但它的基础并不牢固.

19世纪50年代，魏尔斯特拉斯（weierstrass,1815—1897）在分析严密化方面的工作改进了波尔察诺、阿贝尔和柯西的工作，他力求避免直观而把分析奠基在算数概念上，提出了关于极限的纯算术定义，从而完成了数学分析的严密化工作，从此，极限理论才得以充实和严密的自身体系成为微积分的基础理论，微积分也从此完全脱离过去集合的直观和不确切地描述，进入了一个新的发展时期.

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能决定的，极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，使唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用借助于极限思想，人们可以从有限认识无限、从不变认识变、从直线形认识曲线形、从量变认识质变、从近似认识精确.

二、极限思想在数学分析中的应用

2.1极限思想在概念里的渗透

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.

（1） 如以函数yf(x)在点x0连续的定义.记xxx0称为自变量x（在点x0）的增量或改变量，设y0f(x0)，相应的函数y（在点x0）的增量记为

yf(

x0

x)

f(0

x)

f(

x)x0(f)xyy，可见，函数yf(x)在点x0连续等价于

limy0，是当自变量x得增量x时，函数值得增量y趋于零时的极限.

（2）函数yf(x)在点

在点x0的某邻域内有定义，若极限lim

xx0xlim

y

x0

x0导数的定义.设函数yf(x)

f(x)f(x0)

xx0

xx0

存在，则称函数f在点x0处可导，令，

则

可

写

为

，

x

yf(x0x)f(x0)

比

x

yx

lim

f(x0x)f(x0)

xx0

f'x0，所以，导数是函数增量y与自变量增量x之

的极限.

（3） 函数yf(x)在区间a,b上的定积分的定义。设f是定义在a,b上的一个函数，

J是一个确定的实数，若对认给的正数，总存在某一正数，使对a,b的任何分割T，以及

n

在其上任意选取的点集i，

只要T，就有

fx

i

i1

i

J，则称函数f为在a,b

上的定积分，记J



ba

n

f(x)dx。是当分割细度趋于零时，积分和式f(i)xi的极限.

i1

（4）数项级数un的敛散性是用部分和数列Sn，s2.2极限思想在导数中的应用

u

n

的极限来定义的等等.

导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线.

（1） 瞬时速度 设一质点做直线运动，其运动规律为ss(t)，若t0为某一确定的时刻，t为邻近于t0的时刻，则v

s(t)s(t0)tt0

是质点在时间段t0,t上的平均速度.

s(t)s(t0)tt0

若t→t0时平均速度v的极限存在，则称极限vlim

tt0

为质点时刻t0的瞬时速度.

（2）切线的斜率 曲线yf(x)在其上一点px0,y0处的切线PT是割线PQ当动点Q沿此曲线无限接近于点p时的极限位置.

由于割线PQ斜率为k

f(x)f(x0)

xx0

f(x)f(x0)

xx0

因此当x→x0时如果k的极限存在，则极限klim

即为切线PT的斜率.

f(x)f(x0)

xx0

xx0

给出导数的定义：设函数yf(x)在点x0的某邻城内有定义，若极限lim

存

xx0

在，则称函数f 在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'x0.

令

x0

xx0xlim

x0

,

x

yf(x0x)f(x0)

f(x0).

,则上式可改写为

lim

yx

f(x0x)f(x0)

2.3极限思想在积分中的应用

积分是数学分析中的重要概念，其中的不定积分是求导数的逆运算而定积分则是某种特殊和式的极限，下面给出在定积分中极限思想的重要应用.

定积分提出的背景：曲边梯形是由非负连续曲线yf(x).

直线xa,yb以及x轴所围成，求此曲边梯形的面积？

（1） 将曲边梯形分成n个小曲边梯形

（2） 当n很大，且当所有的xi(i1,2,,n)都很少小时，每个小时曲边梯形都可看成小矩形第k个小曲边梯形面积skf(sk)xk(k1,2,,n)其中xk1skxk，此时

n

ssk



k1

f(k)sk（k1,2,n）,.

（3）当n无限增大时，即

当max

f(sk)xkk(



xxn



个无限趋近于0时，

0

1,2,n就无限趋近于曲边梯形的面积,s，故sf(sk)xk.

定积分在闭区间a,b内有n1个点，依次为ax0x1xn1xnb它们把a,b分成n个小区间ixi1,xi， i1,2,,n，这些分点或这些闭子区间构成对a,b的一个分割，记T

1in



x0,x1,xn

Tmaxxi设f

或1,2,,n。小区间i长度为xixixi1并记

是定义在a,b上的一个函数，J是一个确定的实数，若对任给正数，总

有在某一正数，使得对a,b的分割T，以及在其上任意选取的点集i，

只要Tf就有

n

fx

i

i1

i

J

，则称函数在区间a,b上可积，数J称为a,b上的定积分，记作

J



ba

f(x)dx.

三、证明极限存在及求极限的方法

求函数和数列的极限是数学分析的基本运算，求极限的主要方法有用定义、四则运算、两边夹法则、实数连续性定理等，除这些常规的方法外还有许多技巧，这些技巧隐含在函数论的相关理论中，以下主要以例题的形式介绍相关方法与技巧.

3.1用极限的四则运算法则和简单技巧求极限

利用极限的四则运算法求函数极限时需对所给的函数进行逐一验证，若满足条件才可利用此法则进行计算，并不是不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，可将函数进行恒等变形使其符合条件后再求，而对函数进行恒等变形时往往运用一些简单技巧，如拆项、分子分母有理化、变量替换等.

例1

：求lim

1x

00

x0

解：此式为型，且分母极限为0，因此先分子有理化，所以，原式

lim

x0

lim

x0



02

0.

3.2用迫敛性准则求极限

收敛数列的迫敛性：设收敛数列an，bn都以a为极限，数列cn满足：存在正数N0，当nN0时有ancnbn，则数列cn收敛，且limcna.

n

函数极限的迫敛性：设limf(x)limg(x)A，且在某U(x0;)内有f(x)g(x)，则

xx0

xx0

xx0

limh(x)A.

例2：求lim(

x

1n1

2



2n2

2



nnn)

2

的极限

n(n1)

由

1n12n1nn(n1) nn22n22

nnnnn1n2nnn12(n1)

所以，根据迫敛性定理有：原式 limn(n1).

x

2(n2

n)



12

3.3用泰勒公式求极限 常用的泰勒公式： ex

1xx2

2!x

n

n!

(xn

)

cosx1x

2

x4

1

2!

(1)m

x

2m

4!

(2m)!(x

2m)

sinx1

x

3x

5

2m1



(1)

m1

x

(x

2m

3!5!(2m1)!

)

2

ln(1x)x

x

x

3

(1)

m1

x

n

n

2



3

n

(x)

11xx2

1x

xn

(xn

)

(1x)

1x

(1)

2

2!

x

(1)(n1)

nn!

x(xn

).

x

2

2

例3：求lim

cosxe

x0

x

4

解：由泰勒公式知 2

cosx1x

x

4

4

2

24

(x)

x

2

ex

1x

x

2

x

4

4

2

(x2

) e

2

1

x

2

2



8

(x)

1

x

2

x

4



(1

x

2



x

4

)(x4

)

所以，原式lim

x

4

x0

1x

4

lim

x0

x

4

112

.

3.4用等价无穷小求极限

常用的等价无穷小：当x0时，sinx~x，tanx~x，1x

~1x，1cosx~

x

2

2

，ln(1x)~x，e

x1

~x.

arctanx~x，

例4：lim

xtanxx(1cosx)

3

4

x

2

x0

解：因为 tanx~x，1cosx~所以，原式lim

xxx

3

4

2

x0

x0

12

2(x0). x

2

3.5用洛比达法则求极限 洛比达法则只直接适用于单变换，可化为

00



00

型和



型不定式极限，0,1,0,,,等类型，经过简

型或



型极限.

例5：求limxlnx

x0

解：由是0型不定式极限，有恒等变形xlnx

lnx1x

转化为



型不定式极限。

所以，应用洛必达法则

1

原式lim

x0

lnx1x

lim

x0



limx0.



1x0x

2

3.6利用微分中值定理和积分中值定理求极限

（1）第一积分中值定理：若f在a,b上连续，则至少有在一点 a,b使得

ba



f(x)dx

f()ba



b

b

（2）第二积分中值定理：设函数f在a,b上可积。若g在a,b上减(增)且gx0，则存在 [a,b]使f(x)g(x)dxg(a)f(x)dx或f(x)g(x)dxg(b)f(x)dx.

a

a

a

b



例6：求lim

22

x

3

xsinx

22

3x

sinx

x0

解：有微分中值定理

xxsinx1cosxln2

原式lim2.ln2lim. 2

0x03x6

2



22

xsinx



xsinxx

3



2ln2 (介于x与sinx之间)

例7：求lim

n



30

x

n

1x

dx

解：令f(x)xn,gx[0,],3n031x1

2

,在0,上可积，故不变号连续，由积分第一中值定理，

31x

2

1

2

2

2

x

n

1



30

xdx，由

n

11

2

为有界量，3xndx为无穷小量

故lim

n



30

x

n

1x

0.

四、总结

极限理论是数学分析的基础，数学分析主要研究微分和积分，而极限又是微积分学大厦的基石，可以说没有充分的极限理论就不可能有今天数学蓬勃发展的局面，所以，我们应学好极限理论及极限思想.

参考文献:

［1］明清河：数学分析的思想与方法 [M].山东大学出版社.2004. ［2］李克典,马云苓：数学分析选讲[M].厦门大学出版社.2005. ［3］华东师范大学数学系：数学分析[M].高等教育出版社.1999.9. [4] M.克莱因：古今数学思想（第四册）[M].上海科技出版社.1983.10.

附件一

学年论文（设计）成绩表