数教专业例谈四边形中的辅助线

目 录

摘 要 .............................................................. 1 Abstract ........................................................... 2 1 辅助线的涵义 ..................................................... 3 2 添加辅助线的基本思路 ............................................. 3 3 四边形中的辅助线 ................................................. 3

3.1 一般四边形常用的辅助线 ...................................... 3 3.2 多边形中常用的辅助线 ....................................... 5

3.2.1连对角线转化 ........................................... 5 3.3平行四边形常用的辅助线（矩形、菱形，正方形与其相同） ........ 6

3.3.1过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题 .................................................... 6 3.3.2延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形 ....... 6 3.3.3 把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线 .......... 7 3.3.4把以一边中点为端点的线段延长，构造全等三角形 ........... 7

4 结束语 ........................................................... 8 参考文献 ........................................................... 9 致 谢 ............................................................. 10

例谈四边形中的辅助线

摘 要

几何是初中教学的一门重要课程，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但对不少初中学生来说，几何也是一门难度较大的学科。解数学题的一个基本思路是将复杂的问题转化为较为熟悉的或已经掌握的问题，不少几何问题都需要进行这种转化，添加适当的辅助线就是实现这种转化的一种重要手段。要系统地掌握添加辅助线的方法并非易事。尤其在四边形中有关辅助线问题，是几何学习的难点，不少学生感到比较难学。其实在此类问题中认识规律，掌握方法很重要，为此，这篇文章对初中四边形中添加辅助线的思路从以下几个方面进行了总结，希望帮助大家有效地学习。

关键词：四边形 辅助线 添法 技巧

Examples of the auxiliary line

quadrilateral

Abstract

Geometry is the junior high school teaching an important course, it's basic knowledge in the production practice and scientific research has a wide range of applications, but also continue to learn basic math and other subjects, but many middle school students, is a geometric Difficult subject. A math problem is the basic idea of a complex problem into a more familiar or already know the problem, many issues need to be such a geometric transformation, add the appropriate support line is to achieve an important means of such a transformation. Add to systematically master the method of auxiliary lines is not easy. In particular, auxiliary line in the quadrilateral in relation to the issue, is the geometry of learning difficulties, many students feel more difficult to learn. In fact, such problems in the understanding of the law of the master method is very important, this, this article adds to the junior secondary line quadrilateral ideas from the following aspects are summarized, hope to help you learn effectively.

Key words: quadrilateral add method skills guides

1 辅助线的涵义

为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线常用虚线表示。辅助线添作正确与否，有时是解题的关键。每一道题添作的辅助线都不同，有时不止一条，但却有一定的规律，这也是解题的一个难点。辅助线在几何题中的三个作用：

（1）辅助线能巧妙地连接起已知条件与未知条件，是解题的栋梁。 （2）辅助线能够把分散的条件集中起来，构成基本图形，便于利用图形性质去解题。

（3）辅助线能使隐蔽的条件明朗化，为顺利解几何题创造条件。

2 添加辅助线的基本思路

由于证明几何题有两种基本方法—综合法和分析法。因此，做辅助线有两条基本思路：一是从综合法的需要出发做辅助线。用综合法证题，从已知推证结论受阻时，可以从图形的特征入手，根据添加辅助线的规律，巧设辅助线，利用图形的性质继续推证；二是从分析法的需要做辅助线。用分析法证题，当从结论出发，寻找使结论成立的条件，难以进行下去时，可以添加辅助线，使追溯过程进行下去。

3 四边形中的辅助线

我们知道添加辅助线的目的是将分散的元素集中，是使隐蔽的条件显现，把复杂的问题化简。对常用的作辅助线的方法，曾有书把它总结为：两点连线法，线段延长法，添加平行线法，添加垂线法，分点相连法，添角平分线法，及添辅助圆法等数种，而在四边形中，这些方法运用非常复杂，下面我们就从一般四边形常用的辅助线、多边形中常用的辅助线、平行四边形中常用的辅助线等方面浅析四边形中辅助线的添法。 3.1 一般四边形常用的辅助线

一般地，解决四边形问题的主要思想是向三角形转化，因此常见的做辅助线的方法有：

3.1.1连对角线构造三角形

【例1】 已知：如图（1），在四边形ABCD 中，

AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,

∠B =90︒. 求四边形ABCD 的面积。

分析：由∠B =90︒，AB=3,BC=4,联想到连结AC ，利用勾股定理解得AC=5,又AD=12,CD=13,由勾股定理的逆定理有∠DAC 为直角，从而

S 四边形ABCD =S ∆ABC +S ∆ACD 。

解：连结AC ，在Rt ∆ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25 CD =13, AD =12∴AD 2+AC 2=CD 2

∴∆ACD 是直角三角形，∠DAC =90︒∴S 四边形ABCD =S ∆ABC +S ∆ACD =

=

3.1.2 延长对边构造三角形

【例2】 如图（2），在四边形ABCD 中，

∠A =60︒, ∠B =∠D =90︒, BC =2, CD=3,

11

AB ∙BC +AD ∙AC 22

11

⨯3⨯4+⨯12⨯5=3622

则AB 等于多少？

分析：∠A =60︒, ∠B =90︒, 如果延长AD 、BC 即可出现30︒角的直角三角形，从而把四边形问题转化为三角形只是解决。

解：延长AD 交BC 的延长线于点G

∠ABC =90︒, ∠A =60︒∴∠G =30︒

又 ∠ADC =90︒

∴CG =2CD =6, BG =BC +CG =8在Rt ∆ABG 中，设AB =x , 则AG =2x , BG =

88

∴x =3即AB =3

33

3x =8

3.1.3化为三角形和特殊四边形

【例3】 在四边形ABCD 中，AD=3,BC =3,BD=7,

∠BAD =120︒, ∠ABC =90︒. 如图（3），求： CD的长

和AB 的长。

3.2 多边形中常用的辅助线

一般地，解决多边形问题的思路是：转化为三角形和特殊四边形的问题来解决。

3.2.1连对角线转化

【例4】 已知：如图（4），求证：

∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =360︒

分析：要证此六角只和为360︒，想到四边形的内角和为360︒，故转化为一个四边形的四个内角，由图很容易想到连结BE 。

证明：连结BE

∠1=∠C +∠D , ∠1=∠CBE +∠DEB ∴∠C +∠D =∠CBE +∠DEB

∴∠A +∠ABC +∠C +∠D +∠DEF +∠F =∠A +∠ABC +∠CBE +∠DEB +∠DEF +∠F =∠A +∠ABE +∠BEF +∠F =360︒3.2.2延长边的转化

【例5】 如图（5），在六边形ABCDEF 中

∠A =∠B =∠C =∠D =∠E =∠F =120︒。

求证：AB+BC=EF+ED。

分析：由题意知各角都为120︒，想到它的外角

为60︒，如果延长各边，能得到等边三角形，又由求证AB+BC=EF+ED想到延长所涉及的边构成线段；当题中涉及到120︒, 60︒, 45︒, 30︒等特殊角时，常想到把他们转化到特殊三角形中，如等边三角形、直角三角形等。

3.3平行四边形常用的辅助线（矩形、菱形，正方形与其相同）

3.3.1过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题

【例6】 如图（8），已知点P 是矩形ABCD 内一点，PA=3,PB=4,PC=5,求PD 的长。

分析：利用已知条件，可过P 分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题。

3.3.2延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形

【例7】 已知如图（9），正方形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点。求证：AP=AB。

分析：F 为AB 的中点，若延长CF 交BA 延长线于点K ，则有

∆CDF ≅∆KAF , 故AK=CD=AB,再利用

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证题。

3.3.3 把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线

【例8】 已知：如图（11）

中，AN=BN,BE =求BF:BD。

分析：N 为AB 的中点，若连结AC 与BD 交于点O ，则ON 为∆ABC 的中位线，利用对应线段成比例，则结论可证。

1

BC ，NE 交BD 于点F 。3

解：连结AC 交BD 于点O , 连结ON . 。 四边形ABCD 为平行四边形 AN =BN 1BC 3BF 1∴=BD 5 BE =

∴AO =OC , BO =OD =

BD 2

1BE BF

∴ON //BC , =

2ON FO

BF 2

∴BE :ON =2:3, =

FO 3

∴

BF 2

=BO 5

3.3.4把以一边中点为端点的线段延长，构造全等三角形

【例9】 如图（12），过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE。求证：∠BCF =

1

∠AEB 。 2

分析：由BE//AC,CF//AE,AE=AC知四边形AEFC 是菱形，连结BD, 作AH ⊥BE 垂足为H 点，根据正

方形的一些性质可以知道，四边形AHBO 是正方形， 从而AH =AO =

11

AC =AE ，可得∠E =∠ACF =30︒, ∠BCF =15︒ 22

证明：连结BD 交AC 于O ，作AH ⊥BE 交BE 于H

在正方形ABCD 中，AC ⊥BD , AO =BO 又BE //AC , AH ⊥BE ∴BO ⊥BE , 四边形AOBH 为正方形 AE =AC

∴∠AEH =30︒

∴四边形ACFE 是菱形，∠AEF =∠ACF =30︒

∴∠ACB =45︒, ∠BCF =15︒

∴AH =AO =

1

AC 2

BE //AC , AE //CF

1

∠AEB 2

AC 是正方形的对角线∴∠BCF =

4 结束语

上面对几何问题中四边形添加辅助线问题作了简单的分析，使学生在学习中对数学产生兴趣，培养自信心。几何添加辅助线只是解决诸多数学问题的一个方面，通过解决这一类问题，使学生掌握考虑数学题的基本思想方法，从而有效处理其它的问题。这几种常用的几何变换它们之间并非是相互独立、互不联系的，在特定的情况下，它们是可以相互转换的。但它们都是做为作辅助线的方法而为完善图形而服务的，因此如果能够把这四种变换运用得当，就会准确、迅速地找到题目与结论之间的联系，使证题变的清晰、简捷，从而可以取得事半功倍的效果。

参考文献

[1] 薛金星. 初中平面几何添加辅助线的方法与技巧[M].北京：北京教育出版社，

2007.5； [2] 俞海军，葛广德. 添加辅助线举一反三[M].陕西人民教育出版社，2003.8；[3] 王长明. 怎样添加平面几何辅助线[M].中国致公出版社，2001.7 [4] 王伟. 初中几何常见辅助线作法口诀[D].人民教育出版社，2008.6 [5] 余立军，几何证题中如何添加辅助线.[C].2009.4 [6] 张富升. 借助辅助线提高数学实践能力[D].2010.10

例谈四边形中的辅助线

致 谢

从开始写论文至今已经有一个月的时间了，值此论文付梓之际，内心感慨无限。在论文编写过程中，得到了很多关心我的人的无私帮助，正是在这些帮助下我才得以完成论文。

首先，我要感谢我的指导老师黄新仁老师，他在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文，老师严肃的教学态度、精益求精的工作作风深深激励着我，从课题的选择到论文的最终完成，黄老师都始终给予我细心的指导和帮助，在此谨向老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意；其次还要感谢教过我的所有老师们，他们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作工作学习中的榜样；最后，我要感谢我的朋友们，正是由于他们的鼓励、帮助和支持，我才能克服种种困难，直至论文顺利完成。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完 成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的 谢意! 最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!

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