线性规划练习题

y≥2x2

1．若实数x,y满足y≥x1，则z2xy的最小值为（ ）

y≤x1

A．2 B．1 C．1 D．2

xy0

2．已知x,y满足约束条件xy2，若z=ax+y的最大值为4，则a的值为（ ）

y0

A．3 B．2 C．-2 D．-3

3．实数x，y满足不等式组A．

B．

C．

则的取值范围是（ ） D．

xy1

4．已知实数x,y满足约束条件xy1，若目标函数zaxbya0,b0的

2xy2

最大值为7

（ ） A．3 B．4 C．7 D．12

xy1

5．若x,y满足约束条件xy1，目标函数zax2y仅在点1,0处取得最小值，

3xy3

则a的取值范围是（ ）

A、6,2 B、6,2 C、3,1 D、3,1

6．已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m

＝（ ）

A、6 B、5 C、4 D、3 x2y10

7．已知实数x,y满足：，z|2x2y1|，则z的取值范围是（ ） x2

xy10

A

．[0,5) C．[0,5] D

x10

22

8．对满足不等式组xy40的任意实数x,y，zxy4x的最小值是（ ）

xy0

A．2 B．0 C．1 D．6

xy1,

9．设变量x，y满足约束条件xy2,则目标函数zx2y2的取值范围

y2,

是 ．

x0

10．若点x,y满足约束条件x2ya，且点x,y所形成区域的面积为12，则

实数a的值为 ．



xy2

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：根据不等式组画出目标函数的可行域， 然后分析目标函数z2xy最小值与函数y2xb截距之间的关系，在可行域中对函数y2xb进行平移，当截距最大时，

z取值最小，此时z1，故选B．

考点：1、不等式组；2、线性规划． 2．B 【解析】

试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则

过点A时取得最大值4，则，平移直线

合题意．若

，即

的最大值为6，不符合题意．

．此时目标函数为

，

，若，即

，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符

过点B时取到最大值4，则

，平移直线

．

，此时目标函数为

，当直线过点A时截距最大，此时z

考点：简单的线性规划．

【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划

类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误． 3．D 【解析】

试题分析：作出不等式组表示的平面区域，

，问题转化为求点（-1，1）到平面区域上点的斜率加

1的取值范围，由图可知，故．选D 考点：线性规划求值域． 【方法点睛】线性规划求最值和值域问题的步骤：（1）先作出不等式组表示的平面区域；（2）将线性目标函数看作是动直线在y轴上的截距；（3）结合图形看出截距的可能范围即目标函数z的值域；（4）总结结果．另外，常考非线性目标函数的最值和值域问题，仍然是考查几何意义，利用数形结合求解．例如目标函数为与点（0，0）两点间的距离的平方；目标函数

可看作点（-1，1）到平面区域上点的斜率加1的取值

范围， 4．C 【解析】

试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC内部（含边界），作直线l:axby0，当把直线l向上平移时z增大，当直线l过点A(3,4)时，z取最大值3a4b，所以

可看作是可行域内的点（x，y）

3a4b

7

，

ab1时等号

7，故选C．

考点：简单的线性规划问题，基本不等式． 5．B 【解析】

试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC及其内部，且A（1，0）．当a=0时，显然在点（1，0）处目标函数取得最小值；当a0时，目标函数zax2y仅可看作

2倍，显然要使截距仅在点（1，0）处最小，即z

0a2;同理当a0即此时6a0．综上，a6,2，故选B．

考点：线性规划问题．

【方法点睛】线性规划求最值和值域问题的步骤：（1）先作出不等式组表示的平面区域；（2）将线性目标函数看作是动直线在y轴上的截距；（3）结合图形看出截距的可能范围，从而确定目标函数z的值域或最值；（4）总结结果．本题需根据题意对参数a分类讨论，对于每一

类都如同常规题目一样求解．另外，常考非线性目标函数的最值和值域问题，仍然是考查几何意义，利用数形结合求解．当遇到求参数问题同上． 6．B 【解析】

试题分析： 画出x，y满足的可行域如下图：

故可得直线y=2x-1与直线x+y=m的交点

使目标函数z=x-y取得最小值，

联立 得：，代入，解得，故选B．

考点：线性规划． 7．B 【解析】

试题分析：由约束条件作出可行域如图：

x2，A2,1 xy10令u2x2y1，当目标函数线过点A2,1时，纵截距最小，此时

u取得最大值，即

umax222115u取得

B正确．

考点：线性规划．

【方法点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误． 8．A 【解析】 试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC及其内部，且A（-1，-1），B（2，2），

C（-1，5）．而目标函数zxy4x(x2)y4可看作是可行域内的点（x

，y）与点P（2，0）两点间的距离的平方再减

4．易知三角形OBP为等腰直角三角形，显然过点P向AB作垂线交AB于点Q，则PQ的长是点P2

2

22

A．

所以目标函数z考点：线性规划求最值问题．

【方法点睛】线性规划求最值和值域问题的步骤：（1）先作出不等式组表示的平面区域；（2）将线性目标函数看作是动直线在y轴上的截距；（3）结合图形看出截距的可能范围即目标函数z的值域；（4）总结结果．另外，常考非线性目标函数的最值和值域问题，仍然是考查几何意义，利用数形结合求解．例如目标函数为zxy可看作是可行域内的点（x，y）与点（0，02

2

22

x，y）与原点（0，0）2

2

连线的斜率；本题目标函数zxy4x(x2)y4

可看作是可行域内的点（x，y）与点P（2，0）两点间的距离的平方再减4．

13]． 9．[2，

【解析】

试题分析：zx2y2可看作可行域内的点到原点的距离的平方，从而

有

13]．故应填[2，13]． z[2，考点：1、一元二次不等式组所表示的平面区域． 10．8 【解析】

试题分析：由题意作出其平面区域，∵点x,y所形成区域的面积为12，∴a0，由

x2ya，令x=0

得

由

x2ya

xy2

解

得

考点：简单的线性规划

【易错点拨】确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法：（1）“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式（组）表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．（2）当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．