投影与视图

投影与视图

主讲：黄冈中学优秀数学教师 余燕

考点回顾：

考点一：投影的概念

1、平行投影：太阳光可以看成平行光线，这样的光线所形成的投影叫做平行投影．

2、中心投影：像探照灯、手电筒、路灯或台灯等的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．

3、正投影：当投影线与投影面垂直时，这种投影叫正投影；物体的正投影称为物体的视图、物体的三视图实际上是该物体在某一平行光线下的正投影．

（1）线段的正投影：当线段与投影面平行时，线段的长不变；当线段与投影面垂直时，线段成为一点；当线段与投影面既不平行又不垂直时，线段的长变短、简称为“平行长不变，倾斜长变短，垂直成一点”．

（2）平面图形的正投影：当平面图形与投影面平行时，投影后平面图形的形状不发生改变；当平面图形与投影面垂直时，投影成为一条线段；当平面图形与投影面既不平行又不垂直时，投影后平面图形的形状发生改变．简称为“平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段”．

（3）几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．

考点二：不同投影方式下的影子与光线的关系

1、因为灯光的光线可以看成是从一点出发的，所以我们可知在同一灯光下物体的影子与物体上对应点的连线必过灯泡所在的位置．

2、太阳光是平行光线，所以在同一时刻物体的影子也互相平行，且同一时刻不同物体及影长与光线构成的三角形是相似的．

考点三：物体在太阳光下形成影子的变化

物体在太阳光下的不同时刻，影子的长短和方向都在发生变化，以北半球为例，从早到晚，物体的影子的长短是由长变短，再由短变长，指向是西、西北、北、东北、东．

考点四：几何体的三视图

1、三视图的概念：一个立体图形从正面看到的平面图形叫做主视图，从上面看到的平面图形叫做俯视图，如果是从左面看，则称为左视图．主视图、俯视图和左视图统称三视图．

2、常见几何体的三视图

（1）正方体的三视图都是正方形，长方体的三视图均为矩形．

（2）圆柱的两个视图都是矩形，一个视图是圆．

（3）圆锥的两个视图都是三角形，一个视图是标有圆心的圆．

（4）球体的三视图都是圆．

3、几何体的三视图的画法及注意事项

（1）画三视图：画三视图时，要从三个方面仔细观察，从正面看时，可看到立体图形的长和高，即画主视图时 其长和高与原立体图形的长和高相等；从左面看时，可看到立体图形的高和宽，即画左视图时其高和宽与原立体图形的高和宽相等；从上面看时，可看到立体图形的 长和宽，即画俯视图时其长和宽与原立体图形的长和宽相等．

(2)注意事项：

①从不同的方向观察同一个物体得到的图形不一定相同．物体的三视图与物体的放置位置有关系．

②三视图的位置关系：主视图 左视图 俯视图

③在画三视图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．

4、立体图形的展开图

将几何体沿着它的某些棱剪开铺平得到一个平面图形，这个图形叫做几何体的平面展开图、将此平面图形折叠后还能还原成空间几何体．

考点精讲精练：

例1、如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（ ）

答案：D

解析：观察各选项知应选D ．

变式练习1、

如图，试画出该物体的三种视图．

解析：如图所示：

例2、如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）

A ．长方体 B ．正方体

C ．圆柱 D ．三棱柱

答案：D

变式练习2、

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）

A ．四棱锥 B ．四棱柱

C ．三棱锥 D ．三棱柱

答案：D

例3、下图是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由__________块长方体的积木搭成．

答案：4

变式练习3、

一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有__________个．

例4、长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ）

A ．3 B ．4 C ．12 D ．16

解：

由主视图易得高为1，由俯视图易得宽为3．

∴左视图面积＝1×3＝3，故选A ．

答案：A

变式练习4、

如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）

A ．18cm2 B ．20cm2

C ．

解析：

由三视图可知这个几何体是正三棱柱，所以侧面积为3×2×3＝18（cm2）． D ．

例5、下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（ ）

答案：C

变式练习5、

如图所示的几何体中，俯视图相同的是（ ）

A ．①② B ．①③

C ．②③ D ．②④

答案：C

例6、已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示，若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）

答案：D

变式练习6、

下图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的A （长的四等分点）处有一只壁虎、B （宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为__________m．

答案：

解析：

如图（1），若将A 点看做平面①内的点，B 点既可看做平面②内的点，又可看做平面③内的点．若展成平面图，则如图（2）所示（为了方便，我们可只展开与A 点、B 点相关的面①②③），则壁虎爬到蚊子处的距离，即为AB 或AB′或AB″的长．易知，

，． ．可见壁虎爬到蚊子处的最短距离应为

例7、我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得树的影长为3.6m ，则这棵树的高度约为__________m．

答案：4.8

解析：

太阳光可看成是平行光线，所以这是平行投影，同一时刻，同一地点，不同物体的自身高度与其影长成正比．设这棵树的高度约为x m，得

解得x ＝4.8．

变式练习7、

小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计 了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相 同．此时，测得小明落在墙，

上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A 、E 、C 在同一直线上）． 已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1m ）．

解：

过点D 作DG⊥AB，分别交AB 、EF 于点G 、H ，（如图）

则EH ＝AG ＝CD ＝1.2，

DH ＝CE ＝0.8，DG ＝CA ＝30．

∵EF∥AB，∴．

由题意，知FH ＝EF －EH ＝1.7－1.2＝0.5． ∴，解之，得BG ＝18.75．

∴AB＝BG ＋AG ＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0．

∴楼高AB 约为20.0米．

例8、如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是__________．

答案：左视图

变式练习8、

5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．

（1）该几何体的体积是__________（立方单位），表面积是__________（平方单位）；

（2）画出该几何体的主视图和左视图．

解：

（1）5；22

（2）

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备考模拟

一、选择题

1、如图所示的几何体的主视图是（ ）

2、如图所示的工件的主视图是（ ）

3、如果用□表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用■表示3个立方体叠加，那么由7个立方体叠成的几何体（如图），从正前方观察，可画出的平面示意图形是（ ）

4、如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）

5、小明为好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ）

6、长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ）

A ．3 B ．4 C ．12 D ．16

二、填空题

7、如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米、甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是__________米．

8、由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如下所示，则n 的最大值是__________．

9、图1是表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的正六边形表示该建筑物的俯视图．P 、Q 、M 、N 表示小明在地面上的活动区域，小明想同时看到的该建筑物的三个侧面，他应站在__________区域．

隐藏答案

答案：

7、6

8、18

9、Q

三、综合题

10、十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下图中几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

多面体 顶点数（V ） 面数（F ） 棱数（E ）

四面体 4 4

长方体 8 6 12

正八面体 8 12

正十二面体 20 12 30

你发现顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是__________；

（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________；

（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱、设该多面体外表面三角形的个数为x ，八边形的个数为y ，求x ＋y 的值．

隐藏答案

解：（1）6，6

V＋F －E ＝2．

（2）由题意可知：F ＝V ＋8，E ＝30．

∴V＋V ＋8－30＝2，

2V ＝24，

V ＝12．

∴F＝V ＋8＝12＋8＝20．

（3）设这个多面体的面数为x ＋y ，棱数为条， 根据V ＋F －E ＝2可得，24＋（x ＋y ）－36＝2， ∴x＋y ＝14．

-END-