列简易方程解应用题
十二、列简易方程解应用题
到目前为止,我们学过许多应用题的算术解法,下面我们来列方程解答应用题,请看例题.
一个数加上2,减去3,差乘以4,积再除以5,最后得12,你猜这个数是多少?
用算术方法解,从12开始,因为12是积除以5所得的商,所以积为(12×5=)60.这个60是差乘以4得出的,那么差为(60÷4=)15,15是被减数减3得来的,故被减数为(15+3=)18,18是由这个数加2得来的,所以这个数为(18-2=)16,这就是说这个数是16.
如果采用方程的方法解,可这样想:先设这个数为x,按题意可以列出方程:
(x+2-3)×4÷5=12
解这个方程,得x=16.
对比上面两种解法我们可以看出,用算术方法解应用题就是把所求的量直接用算式表达出来;列方程解应用题就是先把所求的数用字母表示,然后寻找一个等量关系,用已知数和字母表示出来,最后算出字母表示的数.一般来说,用方程解应用题比用算术方法解应用题简便.
例1 一个机床厂,今年第一季度生产车床198台,比去年同期的产量的2倍多36台,去年第一季度产量是多少台?
分析与解 题目要我们求去年第一季度产量是多少台,我们就先设去年第一季度产量为x台,下面利用数量关系建立方程.
因为去年第一季度的产量为x台,那么它的2倍就是2x台,又因为去年第一季度产量的2倍加上36台跟今年第一季度的产量198台相等,所以有方程:2x+36=198.
解这个方程: 2x=198-36
2x=162, x=81
答:去年第一季度的产量是81台.
例2 一个生产队共有耕地208亩,计划使水浇地比旱地多62亩,那么水浇地和旱地各应是多少亩?
分析与解 题目中有两问,水浇地和旱地各多少亩,我们可设其中一个量为x亩,如假设旱地的亩数为x亩.因为生产队共有耕地208亩,所以水
浇地的亩数为(208-x).根据水浇地比旱地多62亩这一条件,可列下面方程:
208-x=x+62
解这个方程: 2x=208-62
2x=146, x=73
代入208-x,得208-73=135.
答:水浇地是135亩,旱地是73亩.
请读者想一想,当我们设旱地是x亩后,建立下面的方程:x+(x+62)=208,你认为这个方程对吗?应怎么解释?
从上面的例子可以知道,列一元方程解应用题的一般步骤如下:
1.弄清题意,看哪些是已知数,哪些是未知数,它们之间有什么关系.选择一个未知数用字母x(也可以用其他字母y、z等)来表示它,根据题目中所说的已知数与未知数之间的关系,用含有x的式子来表示其他的未知数.
2.利用上面1中没有用过的等量关系,列出方程.
3.解所得方程.
4.根据方程的解,得出题目里所求的未知数的值,并进行验算,最后写出答案.
例3 汽车若干辆装运一批货物.如果每辆装3.5吨,这批货物就有2吨不能运走;如果每辆装4吨,装完这批货物后,还可以装其他货物1吨.这批货物有多少吨?
分析与解 如果与例1、例2一样,题目问什么就设什么,这里便应设货物共有x吨,如果每辆装3.5吨,运走的货
面的方程:
解这个方程要用到比和比例知识,这部分知识小学六年级才学,下面我们看能否采用别的方法来列方程.
题目问这批货物有多少吨,如果我们知道运货物的汽车的辆数,也可以算出货物有多少吨.下面我们先假定运货的汽车共有x辆,如果每辆装
3.5吨,运走的货物为3.5x吨,这批货物就是(3.5x+2)吨.如果每辆装4吨,这批货物就是(4x-1)吨.因为3.5x+2和4x-1都表示这批货物的吨数,所以有方程:3.5x+2=4x-1.
解这个方程: 2+1=4x-3.5x
0.5x=3, x=6
代入4x-1得:4×6-1=23
答:这批货物有23吨.
在列方程解应用题时,有时不直接设题目里所求的未知数是x,而间接设题目里另外一个未知数是x,这样解起来比较方便,称这种间接设题目里另外一个未知数为x的设元方法为间接设元法.直接设题目里所求的未知数是x的方法,叫直接设元法.
例4 某县农机厂金工车间共有77个工人,已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个,或者乙种部件4个,或丙种部件3个.但加工3个甲种部件,1个乙种部件和9个丙种部件才恰好配成一套.问应安排加工甲、乙、丙种部件各多少人时,才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套? 分析与解 如采用直接设元,就要用三个字母分别表示加工甲、乙、丙三种部件的人数,解决这种问题的方法要到中学才能学到.下面我们试着用间接设元法来解答这一问题.
如果我们深入考虑一下,题目中除了上面提到的加工甲、乙、丙三种部件的人数这三个未知数外,还有别的未知数,即甲、乙、丙三种部件的件数.而题目中有关甲、乙、丙三种部件的件数之间又存在内在联系,这个内在联系可用等量关系表示,乙种部件的件数在等量关系中起媒介作用,因此我们可选择乙种部件的个数为未知数.
设加工后乙种部件有x个,那么甲种部件应有3x个,丙种部件有9x个.
解此方程:0.6x+0.25x+3x=77
3.85x=77,x=20
将x=20代入:0.6x=0.6×20=12(人)
0.25x=0.25×20=5(人)
3x=20×3=60(人)
答:应安排加工甲、乙、丙三种部件工人人数分别为12人、5人、60人.
综上所述,列方程解应用题中,重要的不在列出某个方程,而关键在学好分析问题的方法,对应用题中数量关系分析越深刻,所列方程就越优化.这样才能触类旁通,水到渠成.
练习十二
1.牧羊人赶着一群羊寻找草长得茂盛的地方去放牧,有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来.他对牧羊人说:“你赶的这群羊大概有100
只吧?”牧羊人答道:“如果这一群羊加上一倍,再加上原
满100只”.请问牧羊人的这群羊共有多少只?
2.妈妈带小敏去买布.妈妈带的钱如果买2米布后还剩1.80元;如果买同样的布4米,则差2.40元,问妈妈带了多少元钱?
3.小明放学后沿某路公共汽车路线,以每小时4千米的速度步行回家.沿途该路公共汽车每9分就有一辆车从后面超过他,每7分又遇到迎面开来的一辆车.如果这路公共汽车按相等的时间间隔以同一速度不停运行,那么公共汽车发车的时间间隔是多少?
4.早晨8点多有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去.两辆汽车的速度都是每小时60千米.8点32分的时候,第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍.到了8点39分的时候,第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍.那么,第二辆汽车是8点几分离开化肥厂的?
5.同院三家的灯泡,一家是一个15瓦的,一家是一个25瓦的,一家是两个15瓦的,这个月共付电费1.19元,按瓦数分配,各家应付电费多少?
练习十二
1.36只
设这群羊共有x只,列方程,有:
答:这群羊共有36只.
2.6元.
设妈妈带的钱数为x元.因为每米布的单价是一定的,所以单价可由下面
化简: 4x-7.20=2x+4.80
2x=12,x=6.
答:妈妈带了6元钱
.
设车速为每小时x千米.因为汽车按相等的时间间隔以同一速度运行,所以相邻两车之间的路程相等.从迎面相遇看,相邻两车之间的路程为:
从后面超车看,相邻两车之间的路程为:
化简得: (x+4)×7=(x-4)×9
2x=64,x=32.
4.8点11分
由于两辆车的速度都是每小时60千米,所以都是1分钟行驶1千米.从8点32分到8点39分,中间有7分,在这两个时刻第一辆车所在两地之间的路程为1×7=7(千米).同样,第二辆车在这两个时刻所在两地之间的路程也是7千米,故可根据题中的条件列方程.
设第一辆车是8点x分离开化肥厂的,所以
化简: 3(39-x)-2(32-x)=42
即: 117-3x-64+2x=42
x=11
答:第一辆车是8点11分离开化肥厂的.
5.0.26元,0.43元,0.51元
设每瓦应付电费x元,则有方程:
15x+25x+15×2x=1.19
化简 70x=1.19,x=0.017.
所以 0.017×15=0.255(元);
0.017×25=0.425(元);
0.017×30=0.51(元).
答:三家应付的电费分别为0.26元、0.43元、0.51元.