双曲线与抛物线 讲义
第一次课:双曲线
【考点1】双曲线的定义与标准方程2-6
定义:
x 2y 2
-=1的左焦点, A (1, 4), P 是双曲线右支上的动点,例1:(2009辽宁) 已知F 是双曲线
412
则|PF |+|P A |的最小值为_________. 练习
x 2y 2
1. -=1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点,F 2为其右焦点,则|MF 2|
43+|NF 2|-|MN |的值为____________.
x 2
2. 在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 的顶点A (-6,0) 和C (6,0),若顶点B 在双曲线-
25sin A -sin C y 2
=1的左支上,则________. 11sin B
3. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点所听到的时间比其他两个观测点晚4 s .已知各观测点到该中心的距离都是1020 m,试确定该巨响发生的位置.
(假定当时声音传播的速度为340 m/s,相关各点均在同一平面上) .
x 2y 2
例2:若方程1表示双曲线,则m 的取值范围是__________.
2-m |m |-3
练习:
1. 双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m =( )
11A .- B .-4 C .4 D.
44
2. (2013广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0), 离心率等于的方程是
( )
3
, 在双曲线C 2
x 22
A
.=1
4x 2y 2
B .-=1
45x 2y 2
C .-=1
25x 22
D
.=1
2
3. 已知α∈[0,π),试讨论α的值变化时, 方程x 2cosα+y 2sinα = 1 表示的曲线的形状.
【考点2】双曲线的几何性质 简单几何性质1-3
x 2y 2
例1:若双曲线-1上的一点P 到它的右焦点的距离为8,则点P 到它的左焦点的距
412离是( ) A .4 B.12 C .4或12 D .6
练习:
1.(1)等轴双曲线的渐近线互相垂直、离心率等于
x 2y 2y 2x 211
(2)若双曲线1(a >0,b >0)与1(a >0,b >0)的离心率分别是e 1,e 2,则
a b a b e 1e 2
(3)双曲线上的点P 和两个焦点F 1,F 2所构成的三角形称为双曲线的焦点三角形.若∠F 1PF 2=α,则S △F 1PF 2=
2. (2012年辽宁)已知双曲线x 2-y 2=1点F 1, F 2为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若
PF 1⊥PF 2, 则PF 1+PF 2的值为___________________.
3. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B
两点,
AB =,则C 的实轴长为
A. 2 B.22 C.4 D.8
双曲线的离心率3-9
x 2y 2
例2:设F 1,F 2是双曲线C, 2-2=1 (a>0,b>0)的两个焦点. 若在C 上存在一点P. 使
a b
PF 1⊥PF 2, 且∠PF 1F 2=30°, 则C 的离心率为________.
练习:
x 2y 2x 2y 2
1. 已知a >0,b >0,且双曲线C 1-=1与椭圆C 2有共同的焦点,则双曲线
a b a b C 1的离心率为( )
34A. 2 B .2 C. D. 33
x 2y 2
2. 已知F 1、F 2是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形
a b
MF 1F 2,若边MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()
A .4+23
B .3-1
C .
3+1
D .3+1 2
x 2y 2o
3. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双
a b
曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是() A. (1,2] B. (1,2) C. [2,+∞) D. (2,+∞)
例3:(2013浙江)如图F x 21.F 2是椭圆C1:4+y2
=1与双曲线C2的公共焦点 ( )
A .B 分别是C 1.C 2在第二. 四象限的公共点, 若四边形AF 1BF 2为矩形, 则C 2的离心率是
B .
A .2 3
C .32
D 62
1.[2012·浙江卷] 如图8-50-2所示,F x 2y 2
1,F 2分别是双曲线C :a b 1(a ,b >0)的左,右
焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M . 若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是( ) A. 2 33 62 C. 2 3
2. (2011年福建文)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线I’上存在点P 满足
PF 1:FF 12:PF 2 4:3:2,则曲线I’的离心率等于
A. 12或32 B. 2
3或2 C. 12或2 D. 233或2
)(
x 2y 2
3. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦点,而且被该双曲线的右
a b
准线分成的弧长为2:1的两段圆弧,那么该双曲线的离心率e 等于 A. B.
x 2y 2
例4:已知椭圆,F 2(c ,0),若椭圆+=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)
22a b
5
C. 2 D. 2
上存在点P 使 练习
a c
=,则该椭圆的离心率的取值范围为.
sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1
x 2y 2
1. 已知椭圆,F 2(c ,0),若椭圆上存+=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)
22a b
在点P 使
a PF
2
=
c PF
1
,则该椭圆的离心率的取值范围为.
x 2y 2
2. (2010四川文理数)椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点F ,其右准线与x 轴的交点为
a b
A ,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆离心率的取值范围是
A. ⎝⎛
⎛1⎤⎡1⎫
1,1D. ⎢,1⎪ B. 0, ⎥C. ⎦⎝2⎦
⎣2⎭
)
|PF1|2
3. 已知F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点,P 的最小值
|PF2|为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A .(1,+∞) B .(1,2]
C .(1,3 ] D .(1,3]
双曲线的渐近线2-6
x 2y 2
例5:(2013北京)若双曲线2-2=
1则其渐近线方程为 ( )
a b
A .y =±2x 练习
1. (2010辽宁文理数)设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B , 如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为
2. 心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线方程为( ) A .x 2-y 2=2 C .x 2-y 2=1
B .x 2-y 22 1
D .x 2-y 2=2
B .y
= C .y =±
1x 2
D
.y =x
11
D. 22
3. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在y 轴上,一条渐近线方程为x -2y =0,则它的离心率为( ) A. 5
B. 52
C. 3
D .2
x 2
(2,-2)-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是 例6:过点且与双曲线
2
x 2y 2
-=1 A.
24
练习
x 2y 2y 2x 2
-=1 C. -=1 B.
4242
x 2y 2
-=1 D.
24
x 2y 2x 2y 2
1.[2012·天津卷] 已知双曲线C 11(a >0,b >0) 与双曲线C 2-1有相同的渐
a b 416近线,且C 1的右焦点为F 5,0) ,则a =________,b =________.
x 2y 22.[2012·山东卷] 已知椭圆C 1(a >b >0)的离心率为. 双曲线x 2-y 2=1的渐近线与
a b 2椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( ) x 2y 2x 2y 2
A. 1 B. +=1 82126x 2y 2x 2y 2
C. +=1 D. 1 164205
x 2y 2
3. 已知双曲线2-2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线均和圆C:x 2+y 2-6x +5=0相切,
a b
且双曲线的右焦点为圆C 的圆心, 则该双曲线的方程为
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-=1 (B) -=1 (C) -=1 (D) -=1 (A)
54453663
【考点3】标准方程的求法
根据几何性质或中间量的关系求双曲线方程2-6
例1:求适合下列条件的双曲线的方程
(1) 若双曲线的渐近线方程为y =±3x ,它的一个焦点是10,0) ;
4
(2) 已知双曲线的渐近线方程为y =,并且焦点都在圆x 2+y 2=100上.
3
5
(3) 虚轴长为12
4
3
(4)顶点间距离为6,渐近线方程为y =x .
2
练习:
x 2y 2
1.[2012·湖南卷] 已知双曲线C :=1的焦距为10,点P (2,1) 在C 的渐近线上,则C
a b 的方程为( )
x 2y 2x 2y 2
A. -=1 B. -1 205520x 2y 2x 2y 2
C. -1 D. =1 80202080
32. 如图,在周长为48的Rt △MPN 中,∠MPN =90°,tan ∠PMN =,求以M 、N 为焦点,且
4过P 的双曲线的方程.
3. 已知双曲线E 的中心为原点,P (3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A , B 两点,且AB 的中点为N (-12, -15) , 则E 的方程式为
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-=1 B. -=1 C. -=1 A.
364563x 2y 2
-=1 D.
54
例2:已知动圆M 与圆C 1:(x +4) 2+y 2=2外切,与圆C 2:(x -4) 2+y 2=2内切,求动圆圆心M 的轨迹方程 练习
1.
函数y =2的图象是
()
A. 圆的一部分 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 双曲线的一部分
2. 已知定点A (0,7)、B (0,-7) 、C (12,2),以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆,求另一焦点F 的轨迹方程.
(-4,0)、(B 4,0)3. 三角形ABC 中,已知A ,且sin A -sin B =
程是___________.
1
sin C , 则点C 的轨迹方2
【考点4】直线与双曲线的位置关系1-3
x 2y 2
例1:已知双曲线C :2-2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为3,
a b
直线y =2与C
(I)求a , b ; ;
(II)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A 、B 两点,且AF 1=BF 1, 证明:
AF 2AB BF 2成等比数列
练习
1. 若直线l 过点(3,0)且与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则这样的直线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条
x 2y 2
2. -=1的右焦点F 2,倾斜角为30°的直线
36交双曲线于A ,B 两点,O 为坐标原点,F 1为左焦点. (1)求AB ;
(2)求△AOB 的面积;
(3)求证:AF 2+BF 2=AF 1+BF 1.
3. 已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 22,且过点(410) . (1)求双曲线的方程;
→→(2)若点M (3,m ) 在双曲线上,求证:MF 1·MF 2=0; (3)同条件(2),求△F 1MF 2的面积.
第二次课:抛物线
【考点1】定义与标准方程2-6
例1:抛物线y 2=24ax (a >0) 上有一点M ,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )
A .y 2=8x B .y 2=12x C .y 2=16x D .y 2=20x 练习
1. 若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线
2. 已知直线x -y -1=0与抛物线y =ax 2相切,则a =__________.
3. 已知点M (1,0),直线l :x =-1,点B 是l 上的动点,过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ,则点P 的轨迹是( ) A .抛物线 B .椭圆
C .双曲线的一支 D.直线
例2:(2010·陕西) 若抛物线y2=2px(p>0) 的准线与圆x 2+y 2-6x -7=0相切,则p 的值为( ) 1
A. B .1 2
C .2 D .4 练习
1. 已知抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点为F ,点P 1(x 1,y 1) ,P 2(x 2,y 2) ,P 3(x 3,y 3) 在抛物线上,且2x 2=x 1+x 3,则有 ( ) A .|FP 1|+|FP 2|=|FP 3| B .|FP 1|2+|FP 2|2=|FP 3|2 C .2|FP 2|=|FP 1|+|FP 3| D .|FP 2|2=|FP 1|·|FP 3|
2. 设F 为抛物线y =4x 的焦点,A ,B ,C 为该抛物线上三点,若FA +FB +FC =0,则2
F A +B +C =()
A .9 B .6 C .4 D .3
3. 已知抛物线y 2=2x 的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点,又有点A (3,2).
(1)求|P A |+|PF |的最小值,并求出取最小值时P 点的坐标;
11(2)求点P 到点B (-1) 的距离与点P 到直线x =-的距离之和的最小值. 22
【考点2】几何性质
简单几何性质1-3 例1:设O 是坐标原点, F 是抛物线y =2px (p >0) 的焦点,A 是抛物线上的一点,FA 与 OA 为. x 轴正向的夹角为60,则2
练习
1. (2010全国)已知抛物线C :y 2=2px (p >0) 的准线为l ,过M
(1,0) 与l 相交于点A ,与C 的一个交点为B .若AM =MB ,则p =.
x 2y 2
2. (2013天津)已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p >0) 的a b
准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB
则p =
A .1
B .3 C .2 2D .3
y 23. 设直线l :2x +y -2=0与椭圆x +1的交点为A 、B ,点P 是椭圆上的动点,则使△P AB 42
1面积为的点P 的个数为( ) 3
A .1 B .2 C .3 D .4
焦半径,焦点弦1-3
例2:(2012安徽)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A , B 两点,O 为坐标原点。若AF =3,则∆AOB 的面积为()
A.
2
C.
2D.
练习
1. (2010辽宁)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,P A ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF
的斜率为|PF |=( )
A .4 B .8
C .8 D .16
2. 已知F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 3的直线交C 于A ,B 两点.设|F A |>|FB |,则|F A |与|FB |的比值等于__________.
3. 过抛物线x 2=2py (p >0) 的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A 、B 两点,A 、B 在x 轴上的正射影分别为D ,C . 若梯形ABCD 的面积为122,则p =__________.
【考点3】求抛物线的方程1-3
例1:与圆C: (x -2) 2 + y 2=1 外切,且与直线x +1=0相切的动圆圆心M 的轨迹方程是?
练习
1. 边长为1的等边三角形AOB ,O 为原点,AB ⊥x 轴,以O 为顶点,且过A 、B 的抛物线方程是__________.
2. (2013课标II )设抛物线C:y =4x 的焦点为F ,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点. 若2
|AF|=3|BF|,则L 的方程为( )
A. y =x -1或y =-x +1 B. y =(x -1) 或y =-(x -1) 33
22(x -1) 或y =-(x -1) 22C. y =3(x -1) 或y =-(x -1) D. y =
3. 如图,已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A 在抛物线上,其横坐标为4,且位于x 轴上方,A 到抛物线准线的距离等于5. 过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M .
(1)求抛物线方程;
(2)过M 作MN ⊥F A ,垂足为N ,求点N 的坐标.
【考点4】直线与抛物线的位置关系
位置关系问题1-3
例1:抛物线y =2x 上两点A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 关于直线2y =x +m 对称,且x 1⋅x 2=-
练习 1,则m =. 2
1. 已知抛物线y =-x +3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ,则AB 等于.
2
2. 如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P (1,2),A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) 均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;
(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率.
弦长问题1-3
例5:已知动圆过定点F (0,2),且与定直线L :y =-2相切.
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;
(2)若AB 是轨迹C 的动弦,且AB 过F (0,2),分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线,设两切线交点为Q ,证明:AQ ⊥BQ .
练习
1. 过抛物线y =ax 2(a >0) 的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AF 、BF 的长分
mn 别为m 、n ( ) m +n
1 2a
C .2a
2. 过抛物线y =ax (a >0) 的焦点F 作一直线交抛物线于P ,Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是p , q ,则
A. 2a
3. 已知抛物线C 的顶点为原点, 其焦点F (0, c )(c >0)到直线l :x -y -2=
0设P 为直线l 上的点, 过点P 作抛物线C 的两条切线PA , PB , 其中A , B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 当点P (x 0, y 0)为直线l 上的定点时, 求直线AB 的方程;
(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时, 求AF ⋅BF 的最小值.
B. 21 4a a 411+ p q C. 4a D. 1 2a 4 a .
定点、定值问题1-3
例1. 已知动圆过定点 p ⎛p ⎫,0⎪,且与直线x =-相切,其中p >0. 2⎝2⎭(I )求动圆圆心C 的轨迹的方程;
(II )设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α, β变化且α+β为定值θ(0
练习:
1. 抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上,直线x +y -1=0与抛物线相交于A 、B 两点,且|AB |=8611
(1)求抛物线的方程;
(2)在x 轴上是否存在一点C ?使△ABC 为正三角形.若存在,求出C 点的坐标;若不存在,请说明理由.
2. A 、B 是抛物线y 2=2px (p >0) 上的两点,且OA ⊥OB .
(1)求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积;
(2)求证:直线AB 过定点;
(3)求弦AB 中点P 的轨迹方程;
(4)求△AOB 面积的最小值.
3. 已知点H (0,―3),点P 在x 轴上,点Q 在y 轴正半轴上,点M 在直线PQ 上,且满足 3 HP PM =0, PM =-MQ 。 2
(Ⅰ)当点P 在x 轴上移动时,求动点M 的轨迹曲线C 的方程;
(Ⅱ)过定点A (a , b ) 的直线与曲线C 相交于两点S 、R ,求证:抛物线S 、R 两点处的切线的交点B 恒在一条直线上。