广东佛山市石门中学2014届高三第二次检测数学(理)试卷

2013—2014学年度第一学期高三年级月考

理科数学

内容：集合逻辑、函数导数、三角、向量复数、数列、不等式、立体几何、直线与圆

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。 1、tan(600)的值等于（ ）

A．3 B． 

3 C．3 D． 33

4x1

2、函数fx的图象（ ）

2x

A. 关于原点对称 B. 关于直线yx对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 3、给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 （ ） Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④

x0

xy

4、设x、y满足y0，则的取值范围是（ ）

x2xy1



A．[0 , 1] B．[1 , 0] C．( , ) D．[2 , 2]

x2

5、设f(x)

2x

A．

x[0,1]

，则

x[1,2]



2

f(x)dx的值为

（ ）

3457 B． C． D． 4566

2

6、已知p:2x31，q:log1xx50，则p是q的 （ ）



2

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

2

的零点个数是（ ） x5

A．4 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ． 8

7、函数f(x)sinx

8、数列{an}前n项和为Sn，已知a1则实数a的最小值为（ ） A．

1

，且对任意正整数m,n，都有amnaman，若Sna恒成立3

123

B． C． D．2 232

12i

=i，则z=____________ z

2

二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分） 9、设复数z满足

10、若关于x的不等式|x1||x2|a是 .

a1(xR的)解集为空集，则实数a的取值范围

11、在直角ABC中，C90，A30， BC1 ，D为斜边AB的中点，则

ABCD

12、下面为某一几何体的三视图，则该几何体的体积为

13、数列an满足：a12，an11(n2，，34，)，若数列an有一个形如an

n1通项公式，其中、均为实数，且0、||

则=_________，=_______

（二选一，第14、15小题任选一题作答）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系,中,

过点极坐标方程为_______________.

15．(几何证明选讲选做题) 如图所示，AB，CD是半径为2的圆O的两条弦，它们相交于P，且P是

AB

3sin(n)

1的2



2

，





作圆4sin的切线,则切线的4

的中点，PD＝

4

，∠OAP＝30°，则CP＝____. 3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分，第1问6分，第2问6分） 数列an中，a11，前n项的和是Sn，且Sn2an1，nN.

*

（1）求数列an的通项公式；

（2）记bnlog2(2an)，求Tnb1b2b3bn.

17．（本小题满分12分，第1问6分，第2问6分）

如图，已知点A(3,4),C(2,0),点O为坐标原点，点B在第二象限，且OB3，记AOC （Ⅰ）求sin2的值；

（Ⅱ）若AB7，求BOC的面积．

18. （本小题满分14分，第1问6分，第2问8分）

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1， F为CE的中点。

（1）求证：AF⊥CD；

（2）求直线AC与平面CBE所成角的大小的余弦值。

19. （本小题满分14分，第1问4分，第2问4分，第3问6分）

如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，且M

在第一

象限，圆心O1的坐标为(2，0)，二次函数yxbxc的图象经过A，B两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM的函数解析式；

（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与

2

△OO1M相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说

明理由．

20、（本题满分14分，第1问4分，第2问4分，第3问6分） 已知曲线C:xy1,过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn

1

的直线交曲线C于另一点

xn2

An1(xn1,yn1),

(xnxn1,且xn0)，点列An的横坐标构成数列xn，其中x1

11． 7

（1）求xn与xn1的关系式； （2）令bn

11

，求证：数列bn是等比数列； xn23

n

**

（3）若cn3bn（为非零整数，nN），试确定的值，使得对任意nN,都有cn1cn成立。

21. （本小题满分14分，第1问3分，第2问5分，第3问6分）

已知函数f(x)(m

11

（其中常数m0） )lnxx，

mx

（1）当m2时，求f(x)的极大值； （2）试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性；

（3）当m3,时，曲线yf(x)上总存在相异两点P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2))，使得曲线

yf(x)在点P、Q处的切线互相平行，求x1x2的取值范围.

石门中学2013—2014学年度第一学期高三年级数学（理科）

第二次检测题 参考答案

一、选择题 ADDB CACA

二、填空题: 9．2i； 10．,10,； 11．1； 12．

13．

三、解答题：

16、解：（1）Sn2an1n1,2,... (1)

∴Sn12an11n2,nN

4

； 3

29，； 14．cos2； 15． 334



*

 (2) „„„„„„2分

(1)-(2)得 an2an2an1(n2,nN),

即an2an1(n2,nN)， „„„„„„4分 ∴数列an是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴an2n1（2）an2n1

„„„„„„6分

∴bnlog2(2an)n „„„„„„8分

∴Tnb1b2b3bn 123n

n(n1)

„„„„„12分 2

17、解：（1） A点的坐标为(3,4)，

OA

sin

5

y4x3

,cos ………………3分 r5r5

24

……………6分 25

sin22sincos

（2）在OAB中， OA5,OB3,AB7，

5232721

cosAOB， ………8分

2532

0AOB180， ………9分

∴sinBOCsin（AOB）=sinAOBcoscosAOBsin

………10分 3145251 ………………12分 

BOC的面积SOBOCsinBOC

218、（1）证明：取CD的中点G，连接AG、GF，则GF//DE

∵AC=AD，∴AG⊥CD …………2分

∵DE⊥平面ACD ∴DE⊥CD ∴GF⊥CD …………4分 ∵AGGFG ∴CD⊥平面AGF

sinAOB∵AF平面AGF ∴AF⊥CD …………6分



（2）解：分别以GD、GF、GA为x、y、z轴建立如图空间直

角坐标系Gxyz，

则BC(1,0,0),E(1,2,0)

CBCE(2,2,0),CA

nCBxy0

设平面CBE的法向量为n(x,y,z),则

nCE2x2y0



设x1,则n(1,1,0)9分



CAn …………12分 CA,n

cos

|CA||n|4

设直线AC与平面CBE所成角为

，则cos

4

∴直线AC与平面CBE所成角的余弦值为

…………14分 4

19、解：（1）圆心O1的坐标为(2，0)，⊙O1半径为1，A(1，0)，B(3，0)……1分

1bc0

……2分 二次函数yx2bxc的图象经过点A，B，可得方程组

93bc0b4解得：二次函数解析式为yx24x3 ………………4分

c3

（2）由题意易知所求直线的斜率存在且大于0，设切线OM为ykx由点到直线的距离d

r(k0)

1 ………………6分

解得k

x…………8分 k（舍去）切线OM

的函数解析式为y

333

（3）存在．

①过点A作AP1x轴，与OM交于点P1∽Rt△MO1O

1．可得Rt△APO

x1xy

P1则由 ………………11分 ，解得13x1

y



②过点A作AP2OM，垂足为P2， 可得Rt△AP2O∽Rt△

O1MO

3

xyx34则由，解得

P2

44y01(x1)ykOM

3符合条件的P

点坐标有1

，4 ………………14分



20、解：（1）过An(xn,yn)的直线方程为yyn

1

(xxn) xn2

又直线过点An1(xn1,yn1) ∴yn1yn

1

(xn1xn) ………………2分 xn2

把yn

11和yn1代入上式可得xnxxnxn1

n1

xn2

即xn1

xn2

…………………………4分

xn

（2）bn1

x1111122

n2bn ……7分

xn123n232xn3xn23

xn

b1

11

2∴bn是以首项为2，公比为2的等比数列……………8分 x123

n

（3）由（II）知，bn(2)，要使cn1cn恒成立 由cn1cn3

n1

nnnn

(2)n13(2)233(2)=＞0恒成立， 

即(1)()

n

3

2

n1

恒成立． ………………………10分

n1

ⅰ. 当n为奇数时，即()

32

恒成立．又()

32

n1

的最小值为1．∴λ

n1

ⅱ. 当n为偶数时，即()即－

32

n1

恒成立，又()

32

的最大值为

33，∴． 22

3*

51

21、解（1）当m2时，f(x)lnxx

2x

51(x2)(2x1)

(x0) „„„„„ 1分 f(x)21

2xx2x2

11

，x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0 22

11

∴f(x)在(0,)和(2,)上单调递减，在(,2)单调递减 „„ 2分

22

53

故f(x)极大=f(2)ln2 „„„„„ 3分

22111mx2(m)x1(xm)(x)

11(x0,m0) （2）f(x)222xxxx

当0x

„„„„„„„„„„5分

①当0m1时，则

1

1，故x(0,m)时，f(x)0；x(m,1)时，f(x)0 m

此时f(x)在(0,m)上单调递减，在(m,1)单调递增； „„„„„ 6分

(x1)21

②当m1时，则1，故x(0,1)，有f(x)0恒成立，

x2m

此时f(x)在(0,1)上单调递减； „„„„„ 7分 ③当m1时，则0

111

1，故x(0,)时，f(x)0；x(,1)时，f(x)0 mmm11

此时f(x)在(0,)上单调递减，在(,1)单调递增； „„„„„ 8分

mm

（3）由题意，可得f(x1)f(x2)（x1,x20，且x1x2）

m

即

11m

1111  xx(m1)xx „„„„„ 9分

1212

x1x12x2x22m

x1x22

)恒成立，又x1,x2,m0 2

1xx224

∴x1x2(m)(1对m3,恒成立 „ 11分 )  x1x2

m2mm

11(m1)(m1)

令g(m)m(m3)，则g(m)120

mmm2

∵x1x2，由不等式性质可得x1x2(对m3,恒成立

∴g(m)在3,上单调递增，∴g(m)g(3)故

10

„„„„„12分 3

4m

1m



46

 „„„„„„„„„„„13分 g(3)5

从而“x1x2

4m

1m

对m3,恒成立”等价于“x1x2

46” g(3)5

∴x1x2的取值范围为(,) „„„„„„„„„„ 14分

65