四边形知识点经典总结

四边形知识点：

一、 关系结构图：

是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.

※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：

n(n3)

. 2

三．精典例题解答：

1．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。 求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。

证明：（1）∵ AE=CF ∴ AE+EF=CF+FE 即 AF=CE

又ABCD是平行四边形， ∴ AD=CB，AD∥BC ∴ ∠DAF=∠BCE 在△ADF与△CBE中

∴ △ADF≌△CBE（SAS）

（2）∵ △ADF≌△CBE ∴ ∠DFA=∠BEC ∴ DF∥EB

例1图 例2图

2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC，OB=OD 又∵ AE=CF

∴ OA+AE=OC+CF 即 OE=OF ∴ 四边形BFDE是平行四边形

3．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD

上的点C’处，折痕DE交BC于点E，连结 求证：四边形

是菱形。

。

证明：根据题意可知

则

，

，

∴ ∠CDE=∠CED

∴ 四边

形

为菱

形

∵ AD∥BC ∴

∴ CD=CE ∴

例3图

4．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。 解：HG=HB。

证法1：连结AH，

∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形 ∴ ∠B=∠G=90° 由题意知AG=AB，又AH=AH ∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL） ∴ HG=HB 证法2：连结GB ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形 ∴ ∠ABC=∠AGF=90° 由题意知AB=AG ∴ ∠AGB=∠ABG

∴ ∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB 即∠HBG=∠HGB ∴ HG=HB

5．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。 （1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相

交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；

（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。

解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。 理由如下：

∵ 在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO， ∴ Rt△ADO≌Rt△AEO

∴ ∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE） ∴ AO⊥DE（等腰三角形的三线合一）

注：其它的结论也成立如GD⊥BE。

（2）∵ 四边形AEOD的面积为

∴ 三角形ADO的面积=

∵ AD=2

∴

∴ ∠DAO=30°

∴ ∠EAB=30°即旋转的角度是30°

例5图 例6图

6．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。 （1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。

证明：（1）如图，

∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90° 又 ∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE ∴ △ADE≌△CDG ∴ AE=CG

（2）猜想：AE⊥CG。

证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N ∵ △ADE≌△CDG ∴ ∠DAE=∠DCG 又∵ ∠ANM=∠CND ∴ △AMN∽△

CDN

∴ ∠AMN=∠ADC=90° ∴ AE⊥CG

7．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。 证明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC ∴ ∠BAD=∠DAC

∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线 ∴ ∠MAE=∠CAE

∴

又∵ AD⊥BC，CE⊥AN ∴ ∠ADC=∠CEA=90° ∴ 四边形ADCE为矩形

（2）当时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。

证明：∵ AB=AC，AD⊥BC于D

∴

又

∴ DC=AD

由（1）四边形ADCE为矩形 ∴ 矩形ADCE是正方形

例8图

8．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。 （1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。

证明：（1）由折叠可知：，，

∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD ∴ ∠B=∠D′，AB=AD′

∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3 ∴ ∠1=∠3

∴ △ABE≌△AD′F （2）四边形AECF是菱形。

由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5 ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC ∴ ∠5=∠6 ∴ ∠4=∠6 ∴ AF=AE ∵ AE=EC ∴ AF=EC 又∵ AF∥EC

∴ 四边形AECF是平行四边形

∵ AF=AE ∴ 四边形AECF是菱形。

9．如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．

（1）求证：BP=DP；

（2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不

是，请用反例加以说明；

（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边

形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论． 思路分析：（1）解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP． 解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．

（2）不是总成立．当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时， DP>DC>BP，此时BP=DP不成立．

说明：未用举反例的方法说理的不得分． （3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等． 在图中，可证四边形PECF为正方形， 在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC． 从而有BE=DF

10．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．

提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．

解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．

11．如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°。点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动。

（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围。 （2）设

，用t表示△AMN的面积。

（3）求△AMN的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN的形状。

解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P。 由已知：

，

。

∵ 四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°， ∴ ∠PAN=∠D=30°。

在Rt△APN中，，

即点N到AB的距离为 ∵ 点N在AD上， ∴ x的取值范围是

。

，点M在AB上，。

，

（2）根据（1）， （3）∵

，∴ 当t=0时，即x=10时，

有最大值25。

。

当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN。 此时，△AMN为等腰三角形。

12．（08通州22改编）如图，在ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于G，GF交AD于O，设AE=CF=x， （1）试用含x的代数式表示△CGF的面积； （2）当GF⊥AD时，求AE的值。

解：（1）∵ 在平行四边形ABCD中CD=AB=8，BC=AD=6 ∵ DM=2，AD=6，∴ AM=4，

取AM、ME中点P、Q，则由中位线定理知，PQ∥AE且 由AE∥GD可得PQ∥GD从而△DGM≌△PQM

。

∴

过点F作FN⊥CD于N， ∵ ∠C=∠A=60°，CF=x

，

∴

∴

（2）当GF⊥AD时，

∵ AD∥BC，∠GDA=∠A=60° ∴ ∠OGD=30°，GF⊥BC

∴ 在Rt△GFC中，

即：

∴

∴

∴ 当GF⊥AD时，