平面向量与三角形的面积问题_吕兆鹏
2012年7月18日
学科研究
平面向量与三角形的面积问题
文/吕兆鹏
平面向量与三角形有着千丝万缕的联系,我们常常遇到在平面向量背景下,研究有关三角形面积的比例问题或最值问题。解“面积的比例”问题转化为相应三角形决这类问题的关键就是:把“线段的比例”问题。
一、等底共高所谓“等底共高”就是相应三角形的“底”相等,“高”共线或平行,这样三角形面积的比例问题,就可转化为有关线段的比例问题。
例1. 已知O 为△ABC 内一点,且OA +OC +2OB =0,则△AOC 与△ABC 的面积之比是
A.1∶2C.2∶3
(B.1∶3D.1∶1
)
A
D
O
B
C
刘锦屏
解析:又AB =AP +PB ∴PA PB PA +PB PC AB 则△PAB 与△ABC 是等高2PA PC ∴A 、P 、C 共线,PC AP PB 共底的.
因此选A. ∴S =PA =1,
△ABC 三、“等底共高”与“等高共底”互相转化例3. 已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 上任意一点,E 是边AC 的中点,连接DE ,F 是线段DE 上的一点,连接BF ,设AD =λAB ,DF =λDE ,则△BDF 的面积S 的最大值是
A. 1
C. 14
(B. 1D. 18
)
B D
E
C
A
解析:经观察发现△AOC 与△ABC 等底(均为AC ),只要求出在同一底边AC 上相应高的比就行了.
取AC 的中点D ,则有OA +OC =2OA +OC =-2OB ,∴OD OB ∴OD 二、等高共底
所谓“等高共底”就是相应三角形的“高”相等,“底”共线或平行,这样三角形面积的比例问题,就可转化为有关线段的比例问题。
例2.在△ABC 所在平面上有一点P ,满足PA +PB PC =AB 则△PAB 与△ABC 的面积之比是(
A. 1C. 2B. 1D. 3A
P
C
S △AOC =OD =1因此,选A. △ABC 解析:连接BE ,∵E 为中点,∴S △ABE =1S △ABC =1,∵△BDF 与
(BD ),共高(高线平行)△BDE 为等底
(0<λ<1),又∵△BDE 与△ABE 等高(高线∴S △BDF =DF =λ
△BDE 相同),共底(底BD 、),AB 共线∴S △BDE =BD =1-λ,∴S △BDE =1
△ABE )(1-λ+λ]21(1-λ),)因此,选D. S △BDF =11-λλ≤1=,
)
(作者单位山西省太原市第五中学)
探究教学过程中积极创设竞争氛围,在学生分组探究实验时组织一定形式的比赛活动,如,进行小组的阶段汇报竞赛活动,对实验方法的创新度进行评价,对实验数据进行分组汇报并进行实验误差分析的严密度进行评价等。通过竞赛活动使学生大脑处于高效率的最佳学习状态,使他们能够全身心投入探究学习过程,并对实验方法、实验设计、实验技巧等方面的创新性加以考虑,提高学生的创新意识与创新能力,通过小组的汇报加强语言组织能力的培养,并培养学生的竞争意识。
三、灵活掌控环节
学生探究能力的培养是一个循序渐进的过程,教师在整个高中教学中应该有一个整体的规划。特别在高一的物理教学中不能高估学生的探究能力,对于一些需要深入探究的问题要安排足够的时间给学生,使他们能逐步提高这方面的能力。如,在摩擦力的教学中,由于课程的教学时间安排是一课时,但是如果要安排滑动摩擦力的探究活动,一课时是远远不够的,所以在教学中要做出调整,可以安排两个课时进行教学,留出足够的时间让学生参与探究活动。而在高一最初一段时间里尽量安排一些简单的探究活动,对探究活动的环节也不要做出太高的要求,可以先加强学生在提出假设部分和实施探究部分的能力的提高。因此,不是每一个探究点都要有完整的探究环节,可以有选择性的先锻炼某一
必须有一个方面的能力。特别是一堂课中有两个探究点的课堂,
探究点为简单的探究,所以不要过于看重探究环节是否到位。如,在探究两力合成规律中,可以先提出这样的问题:两个力的合力大小是不是只有相加与相减两种情况?如有其他情况则在什么情况下合力大小不是相加与相减呢?设计这样的问题学生是比较容易用实验得出两个力不在一条直线上时,合力大小即不是相加,也不是相减。然后就非常流畅地过渡到不在一条直线上的两个力的合成会遵守哪个规律,接下去就可以进行这方面的探究活动了。所以,如果说这里是两个探究点的话,第一个探究点就不需要实施各个探究环节,而第二个探究点可以让学生进行深入探究后,进行归纳总结,评价评估,提高学生归纳总结、相互评价的能力。
总之,课堂探究教学的调控需要教师经过长期的教学实践和总结经验不断提高自己课堂的调控能力,我将在以后的教学中不断努力提高课堂的调控能力,并与各位同仁共勉。
参考文献:
[1]何赛君.高中物理课堂探究教学的三个误区[J ]. 物理教师,(4)2005.
[2]陈峰.新课程物理课堂探究教学实施中的问题解决[J ]. 课程·教材·教法,(11)2005.
(作者单位广西壮族自治区桂林市阳朔镇阳朔中学)
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