1-2一些常用的抽样分布

§2 一些常用的抽样分布

首先介绍三种来自正态母体的

t -分布、χ-分布、重要的抽样分布：

2

F -分布.

2.1

χ-分布

2

（1）Γ 函数、B 函数及其性质： γ>0, 定义：对称

Γ(γ) =

+∞

⎰0

x

γ-1-x

e

dx 为Γ 函数；

对

a >0, b >0

x )

b -1

称

B(a , b ) =

1a -1

(1-⎰0x

dx 为B 函数.

性质：

1

Γ(1) =1, Γ() =; ① 2②

Γ(γ+1) =γΓ(γ), Γ(n +1) =n ! , 对γ∈(0, 1), 查表可求Γ(γ);

1

n +1Γ()

1=; lim

2 ③n →∞n Γ(n )

2

Γ(a ) Γ(b )

B(a , b ) =. ④Γ(a +b )

χ分布的定义：X 1, X 2, , X n 是（2）

来自母体X ~N (0, 1) 的一个子样，则称

222χ2=X 1+X 2+ +X n 服从自由度为n 的

2

χ分布，记为：

χ2~χ2(n )

2

（3）概率密度函数f n (x ) 及其图形：

利用数学归纳法、卷积公式可证，

n x ⎧-1-1

⎪n x 2e 2, x >0时⎪

f n (x ) =⎨22Γ(n )

2⎪

⎪0，

⎩ x ≤0时

2

>>hold off

>>x=[0:0.5:40];

>>f1=chi2pdf(x,1);f2=chi2pdf(x,4);f3=chi2pdf(x,10);f4=chi2pdf(x,20);

>>plot(x,f1,'r') >>hold on

>>plot(x,f2,'g') >>hold on

>>plot(x,f3,'b') >>hold on

>>plot(x,f4,'m')

3

2χ（4）分布的性质：

22

χ~χ(n ) ，则①期望、方差：

E (χ) =n , D (χ) =2n ；

2222

χ=X +X + +X 证明：12n ，其中

22

X 1, X 2, , X n 是来自母体X ~N (0, 1) 的一个

子样，故

n

n

i =1

i =1

E (χ2) =E (∑X i 2) =∑E (X i 2) =nE (X 2) =n [D (X ) +E 2(X )]=n

n

n

i =1

i =1

D (χ2) =D (∑X i 2) =∑D (X i 2) =nD (X 2) =n [E (X 4) -E 2(X 2)]=

2

χ~χ(n 1) ，②可加性，即：若1

2

2

χ2

2

χ~χ(n 2) ，且χ1与2相互独立，则有

2

2

χ1+χ2~χ2(n 1+n 2) .

22

注：用数学归纳法、卷积公式、

Γ 函数与B 函数的关系可证，略.

③极限性质：设χ~χ(n ), 则对

4

22

的分2n

F (x ) =Φ(x ) lim F (x ) n 布函数n 满足：n →∞.

即当n 充分大时，

∴χ

2近似

∀x ∈R 有χ的标准化变量

2

χ-n

2

χ2-n 近似

2n

~N (0, 1) ，

~N (n ,

2n ) .

2

2

222χ2=X 1+X 2+ +X n

证明：χ~χ(n ), 故可设：

其中X 1, X 2, , X n 相互独立，且

X i ~N (0, 1), i =1, 2, n . 从而有

22X 1, X 2, , X 2由n 相互独立且同分布，

中心极限定理及χ分布的性质①知：χ的标准化变量足：

n →∞

5

22

χ-n

2

F n (x ) 满分布函数2n

lim F n (x ) =Φ(x )

证毕. 即当n 充分大

时，

χ-n 近似

2n .

2

~N (0, 1), 从而χ

2近似

~N (n , 2n )

2χ（5）分布的上侧分位数：

①随机变量的上侧分位数

定义：设X 的分布密度为f(x), 则

+∞

P (X ≥x α) =⎰x f (x ) dx =α α

对∀α∈（0，1）, 存在唯一实数x α, 使

称实数x α为X 的上α分位数．

②N (0, 1) 的上侧分位数

定义：设U ~N (0, 1) ,

则

对∀α∈（0，1）, 存在唯一

实

6

数

u α

+∞

⎰u αφ(

, 使

P (U ≥u α) =

x ) dx =α

称实数u α为U 的上α分位数．

求法：P (U ≥u α) =1-P (U ≤u α) =1-Φ(u α) =α，故：Φ(u α) =1-α，反查标准正态分布函数表，可得u α值.

2χ③分布的上侧分位数

：设χ~χ(n ), 则

22

对∀α∈（0，1）, 存在唯一实数χα2(n ) , 使

P (χ≥χα(n )) =⎰+∞2

2

2

χα(n )

f n (x ) dx =α

22χ(n ) 称实数α为χ的上α分位数．

查表：附表3——χ分布的上侧分位数表（P261） 性质：当

2

n >45

时,

χα(n ) ≈n +u α2n

22χ~χ(n ), 由上侧分位数定证明：

2

义知

7

P (χ≥χα(n )) =α

22

∴P (

χ-n

2n

2

≥

χ(n ) -n

2n

2

) =α

对于U ~N (0, 1) , 有

2χ再由分布的极限性质知：

P (U ≥u α) =α

Y =

χ-n 近似

2n

2

~N (0, 1), 这里n =45

结合（1）、（2）即

χ(n ) -n

2n

2

≈u α

：

2

χα(n ) ≈n +u α2n

证毕.

求χ0. 05(120) 解

8

2

：

n =120>45, α=0. 05, Φ(u 0.05) =1-0. 05=0. 9查表知：u 0.05=1. 645

2

∴χα(n ) ≈n +u α2n =120+1. 645⨯2⨯12

例1.2.2 设X 1, X 2, , X 10是来自母体

2

P (X X ~N (0, 0. 3) 的一个子样，求∑i >1. 44) .

2

10

i =1

解：X 1, X 2, , X 10相互独立，且

X i ~N (0, 0. 32),

X i ∴~N (0, 1), 且当i =1, 2, ，10时相互独立0. 310X 22i ∴() ~χ（10）， i ∑

=10. 3

P (∑X i 2

i =1

10

10X 2X 21. 44>1. 44) =P (∑() >) =P (() >16∑2

i =10. 3i =10. 30. 3

10

则： χα(10) =16, 查表知 α=0.10.

2

2.2 t -分布

（1）定义：设X ~N (0, 1) ，

Y ~χ(n ) ，且X 与Y 相互独立，令

9

2

X T =T 服从自由度为n 的t 分，则称/n

布，记为：T ~t (n )

（2）概率密度函数f n (t ) 及其图形：

n +1

Γ() 2-n +1

t f n (t ) =(1+) 2, -∞

n n n () 2

>>hold off

>>x=[-5:0.1:5];

>>f1=tpdf(x,1);f2=tpdf(x,2);f3=tpdf(x,5);f4=tpdf(x,10); f5=normpdf(x,0,1);

>>plot(x,f1,'k') >>hold on

>>plot(x,f2,'g') >>hold on

>>plot(x,f3,'b') >>hold on

>>plot(x,f4,'m') >>hold on >>plot(x,f5,'r')

10

（3）性质：分布的极限分布是N (0, 1) .

f lim 证明：

n →∞

n

(t ) =lim

n →∞

n +1

n +1Γ() 2-t (1+) 2

n n πΓ() 2

n +1Γ() n +12

-1t 2

=(1+) lim lim n n →∞n Γ() n →∞

21t t 2

=[(1+) ]lim n 2n →∞

1

2

n

t 2

-2

t 2-1

[(1+) 2

n

11

1=e

2π

t 2-2

=ϕ(t )

证毕.

注：n 很大时，t (n ) ~N (0, 1)

（4）t 分布的上侧分位数

近似

（0，1）, 存定义：设T ~t (n ) 则对∀α∈

在唯一实数t α(n ) , 使

P (T ≥t α(n )) =

+∞

⎰t α(n ) f n (

x ) dx =

称实数t α(n ) 为T 的上α分位数．

查表：附表2——t 分布的上侧分位数表（P259）

：①t 1-α(n ) =-t α(n ) ②当

n >45时, t α(n ) ≈u α

2.3 F -分布

（1）定义：设X ~χ(n 1), Y ~χ(n 2),

12

2

2

X /n F =且X 与Y 相互独立，则称F 服Y /n 2，

n 1为第一自从自由度为(n 1, n 2) 的F 分布，

由度、

n 2

为第二自由度. 记为：

F ~F (n 1, n 2)

（2）概率密度函数f (z ) 及其图形：

⎧n 1+n 2

n 1Γ() n 1n 1+n 2

⎪-1-n n 12122

() z (1+z ) , z >0时⎪n

n 2f (z ) =⎨Γ(1) Γ(n 2) n 2

⎪22⎪

0， z ≤0时⎩

>>hold off

>>x=[0:0.05:6];

>>f1=fpdf(x,4,10);f2=fpdf(x,10,10);f3=fpdf(x,20,10);f4=fpdf(x,50, 10);

>>plot(x,f1,'r') >>hold on

>>plot(x,f2,'g') >>hold on

>>plot(x,f3,'b')

13

>>plot(x,f4,'m')

>>x=[0:0.05:6];

>>f1=fpdf(x,10,4);f2=fpdf(x,10,10);f3=fpdf(x,10,20);f4=fpdf(x,10, 50);

>>plot(x,f1,'r') >>hold on

>>plot(x,f2,'g') >>hold on

>>plot(x,f3,'b')

14

（3）F 分布的上侧分位数 ：设F ~F (n 1, n 2) ，则

对∀α∈（0，1）, 有唯一实数F α(n 1, n 2) , 使

P (F ≥F α(n 1, n 2)) =

+∞

⎰F α(n 1, n 2)

f (z ) dz =α

称实数F α(n 1, n 2) 为F 的上α分位数．

α 较小时, 查附表4——F 分布的上侧分位数表（P266）

：①F ~F (n 1, n 2) , 则

15

1

~F (n 2, n 1) ; F

2

T ~t (n ), 则 T ~F (1, n ) ; ②

1F (n , n ) =α12③F 1-α(n 2, n 1) .

证明：①

X /n F ~F (n 1, n 2) ∴可设 F =

Y /n 2,

22

Y ~χ(n 2) ，且X 与X ~χ(n ) 其中：1，

Y

相互独立

1Y /n ∴=

F X /n 1

1

则由F 分布的定义知: F ~F (n 2, n 1) .

X

∴可设T =② T ~t (n ) ， /n

其中：X ~N (0, 1) ，Y ~χ(n ) ，且X 与Y 相互独立

22

X X /12

∴T == Y /n Y /n

16

2

其中： X ~N (0, 1) ， X ~χ(1) ，且X 与Y 独立

222

∴T ~F (1, n ) .

2

③设F ~F (n 1, n 2) , 由上侧分位数定义知

111

α=P {F ≥F α(n 1, n 2)}=P {≤}=1-P {

F F α(n 1, n 2) F

11

∴P {≥}=1-α

F F α(n 1, n 2)

，又

1

~F (n 2, n 1) , 故: F

1

=F 1-α(n 2, n 1)

F α(n 1, n 2)

.

证毕

注：当α较接近1时，F α(n 1, n 2) 不能从附表4直接查到，故应查表求F 1-α(n 2, n 1) ，再用此公式计算F α(n 1, n 2) .

求F 0. 95(12, 9)

17

解

11

F 0. 95(12, 9) ===0. 375

F 0.05(9, 12) 2. 80

：

例1.2.4 X 1, X 2, , X 8是来自母体X ~N (μ, σ2) 的一个子样，求随机区间

(X -μ) 28(X -μ) 2(∑, ∑) 长度的期望与方差。 42i =1i =1

8

88

(X i -μ) 2(X i -μ) 2(X i -μ) 2

-∑=∑解：L =∑244i =1i =1i =1

8

88

(X i -μ) 2(X i -μ) 2(X -μ) 2

E (L ) =E (∑) =∑E () =∑E ()

444i =1i =1i =1

8

2

2

=2E (X -μ) =2E (X -E (X )) =2D (X ) =2σ

8(X i -μ) 2(X i -μ) 2

D (L ) =D (∑) =∑D ()

44i =1i =1

8

(X -μ) 21

=∑D () =D (X -μ) 2

42i =1

8

X

∴(

X -μ

~N (μ, σ)

2

∴

X -μ

σ

~N (0, 1)

σ

) 2~χ2(1)

∴D (

X -μ

σ

) =2

2

∴D (X -μ) =2σ

18

24

1

∴D (L ) =D (X -μ) 2=σ4

2

2.4 抽样分布定理

（1）单个正态母体情形

定理1 设母体X 有：

2

E (X ) =μ, D (X ) =σ, X 1, X 2, , X n 是X 的一个子样，X 是子样均值，则：

①E (X ) =μ, D (X ) =②

2

σ2

n

；

特别，

X ~N (μ,

当

σ2

n ),

X ~N (μ, σ) 时，

X -μ

∴~N (0, 1) . σ/n

2

定理2 X 1, X 2, , X n 是来自母体

X ~N (μ, σ) 的一个子样，则

*2

(n -1) S n

2

①

σ

~χ(n -1) ；

2

*2

②X 与S n

独立；

19

X -μ

③S n */n ~t (n -1) .

（2）两个正态母体情形

定理3 X 1, X 2, , X n 1是来自母体

2

X ~N (μ1, σ1) 的一个子样，Y 1, Y 2, , Y n 2是2

Y ~N (μ, σ来自母体22) 的一个子样，X , Y

相互独立则

①

(X -Y ) -(μ1-μ2)

σ

*2S *2S Y

21

n 1

+

σ

22

~N (0, 1)

；

n 2

②③

2/σ2/σ2

~F (n 1-1, n 2-1)

当

σ12=σ22=σ2

时，

(X -Y ) -(μ1-μ2)

~t (n 1+n 2-2)

11 *

S W +

n 1n 2

其中：

*2S W

=

*2

(n -1) S *2

+(n -1) S n 1+n 2-2

（3）大子样情形（子样容量n ≥50）

20

定理4 ①X 1, X 2, , X n 是来自母体X 的一个子样，n ≥50, E (X ) =μ，则X -μ近似~N (0, 1) ； S /n

②X 1, X 2, , X n 1是来自母体X 的一个

子样，n 1≥50, E (X ) =μ1，Y 1, Y 2, , Y n 2是来自母体Y 的一个子样，n 2≥50, E (Y ) =μ2，X , Y 相互独立, 则(X -Y ) -(μ1-μ2) 近似~N (0, 1) 22S 1S 2. +n 1n 2

21