阶常系数非齐次线性微分方程的特解

第２８卷第３期２００８年６月

桂林电子科技大学学报

Ｊ仰ｍ蚰ｏｆＧｕｍｎＵｎｉｖｅ噶ｉｔｙ

ｏｆＥＩｅｃｔｒｏｎｉｃ

Ｖ０１．２８，Ｎｏ．３

Ｔｅｃｈ∞Ｉ哩ｙＪｕｎ．２００８

一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

杨晓辉，陈克东

（桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林５４１００４）

摘要：利用二阶常系数非齐次线性微分方程求特解的待定系效法，得到求一类特殊形式的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的公式。这些公式很有规律性，并可以简化求特解的问题．关键词：微分方程；特征方程；特解中图分类号：０１７５．１

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７３—８０８Ｘ（２００８）０３．０２６１一０３

Ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆ

ａ

ｃｌａｓｓｏｆｏｒｄｅｒ２ｎｏｎ—ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ

ｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

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求二阶常系数非齐次线性微分方程冥中Ａ，日，Ａ，∞均为常数。它所对应的线性齐次方程的特征方程为

ｒ２＋ｐ，－＋ｇ＝Ｏ，

（２）

少＋缈７＋ｇｙ—ｅｋ（Ａｃｏｓ以ｚ＋Ｂｓｉｎ叫ｚ）

的特解时，不少教材中常用的方法是待定系数法，例如文献［１—２］．本文在文献［３］基础上提供了一种直接定出此类特殊形式微分方程特解的方法，它省去了一般教材上所介绍的先设出含有待定系数的特解，再求其一阶和二阶导数代入原微分方程，化简之后，再通过比较方程两边同类项的系数，然后建立代数方程组，最后确定待定常数的繁琐的计算过程。只要知道其特征方程，．２＋夕ｒ＋ｇ—ｏ的根的情况，就可由相应的求解公式得出原方程的特解。给出的求特解公式很有规律性，非常容易记忆。

如果设厂（，．）＝，＋户，．＋口，则原方程的特解形式有以下两种情况：

（１）当．：Ｉ＋缅不是特征方程的根时，则原方程特解为

ｙ‘＝Ｒｅ（志ｅｕ㈨１＋

ｚｍ（而‰∥叫；

㈣

（２）当Ａ＋汹是特征方程的单根时，则原方程特

解为

ｌ特解

１．１特解公式

设二阶常系数非齐次线性微分方程为

ｙ”＋户ｙ’＋ｇｙ＝Ｐｋ（Ａｃｏｓ∞ｚ＋Ｂｓｉｎ∞ｚ），（１）

ｙ‘＝Ｒｅ（死巷面硝抖叫＋

Ｉｍ（兀海丽√抖坳。）；

（４）

注：①特征根是虚担，虚根成对出现，不会出现Ａ＋汹

收稿日期：２００８一０３．０６

基金项目：广西“新世纪教改工程”课题（２００６—６８）

作者简介：杨晓辉（１９７２一），女，湖南益阳人。硕士，讲师，主要从事最优化理论与方法及基础数学教学与科研工作．

　

２６２

桂林电子科技大学学报２００８年６月

是特征方程的重根的情形。

②若Ａ、Ｂ其中一个为ｏ，计算更简便。

’

１．２公式的证明

文中只就Ａ＋抽是特征方程（２）的单根情形进行

证明，即证式（４）成立，其他情况类似可证。

首先由解的叠加原理，微分方程（１）的特解ｙ’可

看成方程解

ｙ”＋缈’＋秽＝Ａｅｈｃｏｓ∽解ｙ？及

ｙ”＋户ｙ７＋秽＝Ｂｅｈｃｏｓ叫ｚ的特解ｙ；叠加而成，

即

ｙ。＝ｙｆ＋ｙ≠．又由于ｅ＾ｒｃｏｓ甜ｚ，ｅｈｓｉｎ甜ｚ分别是

ｅ蚌抽＝ｅｋ（ｃｏｓ叫ｚ＋ｉｓｉｎ们）实部与虚部。记方程

ｙ”＋户ｙ’＋ｇｙ＝Ａｅ‘件Ｍ。，（５）ｙ”＋户ｙ’＋口ｙ—Ｂｅ‘１＋抽ｈ，

（６）

则方程（５）的解ｙｆ的实部是方程

少＋户ｙ’＋秽＝Ａｅ＾ｆｃｏｓ∞ｚ的解ｙ？，

方程（６）的解ｙ；的虚部是方程

少＋户ｙ７＋ｇｙ—Ｂｅｈｓｉｎ血垸的解以．

下面证方程（５）的特解为

ｙ卜死寿面残ｎ㈨。・

设Ａ＋汹是其特征方程（２）的单根，设微分方程（５）的特解为

Ｗ＝如ｅ‘¨御。，

则

（ｙｆ）７＝６ｅ‘１＋Ｍ。＋６（Ａ＋ｉ∞）肌‘川咖，

（ｙｆ）”＝２６（Ａ＋ｉ∞）ｅ‘件神。＋６（Ａ＋ｆ叫）２ｚｅ‘１＋汹。，

将以上各式代入方程（５），并加以整理，得

６［２（Ａ＋ｉ叫）＋户］ｅｕ＋‘咖＋６［（Ａ＋ｉ山）２＋

户（Ａ＋ｉ甜）＋ｇ］ｚｅ‘冲抽ｈ—Ａｅ‘１＋柚。，

比较等式两边系数得

＾一

。

生

２（．＝【＋ｉ∞）＋户＋

由于２（Ａ＋ｉ∞）＋户＝尸（Ａ＋ｉ∞），

所以，在Ａ＋洳是特征方程（２）的单根的情况下，方程（５）的特解为

ｙｆ

１

１一尸（Ａ＋ｉ∞）。‘

２死巷丽ｄ蚌抽ｈ，

’

取ｙｆ的实部便得方程ｙ”＋缈’＋掣一Ａｅ＾ｒｃｏｓ∞ｚ的解

ｙｉ．

．

同理，在Ａ＋汹是特征方程（２）的单根的情况下，方程（６）的特解为

ｙｆ＝死南∥件Ｍ。，

。２一尸（Ａ＋曲）。‘‘

’

取ｙ≠的虚部便得方程ｙ”＋力’＋秽一Ｂｅ＾ｆｓｉｎ∞ｚ的解

　

ｙ≠．故原方程的特解

ｙ。＝ｙｆ＋ｙ；，ｙｆ，ｙ≠分别取ｙｆ，ｙ；实部和虚部。即

（４）式成立。

２举例

下面三例题选自参考文献［２，４］．

例１

求方程ｙ”＋ｙ＝２ｓｉｎｚ的特解。

解：考虑方程ｙ”＋ｙ＝２ｅｈ的特解，由于Ａ＝ｉ是特征方

程ｒ２＋１一。的单根，运用求特解公式（４）：

ｙ；＝死最丽爿ｋ丢ｚｅ抽一

一ｉｚ（ｃｏｓｚ＋ｉｓｉｎｚ），

取ｙ；虚部得原方程特解为

ｙ。＝Ｉｍ歹ｉ南勰ｂ一一ｚｃｏｓｚ・

文献［２］解答是：由于ｉ是特征方程，．２＋１＝ｏ的单根，故所求特解应具有形式：

ｙ。＝ｚ（Ａｃｏｓｚ＋Ｂｓｉｎｚ），

将此式代入原方程，确定系数Ａ、Ｂ．

（ｙ。）’一（Ａｃｏｓｚ＋成ｉｎｚ）＋ｚ（一Ａｓｉｎｚ＋Ｚｋｏｓｚ）＝

（Ａ＋Ｂｚ）ｃｏｓｚ＋（Ｂ—Ａｚ）ｓｉｎｚ，（ｙ。）”一（２Ｂ～Ａｚ）ｃｏｓｚ一（２Ａ＋Ｂｚ）ｓｉｎｚ，（ｙ。）”＋ｙ。＝２Ｂｃｏｓｚ一２Ａｓｉｎｚ一２ｓｉｎｚ，

可求得Ａ＝一１，Ｂ＝ｏ．所求特解为ｙ‘＝一ｚｃｏｓｚ．

例２

求方程ｙ”＋ｙ’一２ｙ—ｅ。（ｃｏｓｚ一７ｓｉｎｚ）的特

解。

解：考虑方程ｙ”＋ｙ’一２ｙ—ｅ‘１＋‘Ⅻ，

少＋ｙ’一２ｙ＝一７ｅ‘件７虹

由于１＋ｉ不是特征方程，＋ｒ一２一。的根，运用求特

解公式（３）：

ｙｆ

２而寺面ｅｎ“ｈ＝

百干万干乞了面ｒ（ｃｏ缸＋诂ｉｎｚ）一

一紫以ｃ眦帕ｉ㈣，

取ｙｆ实部得

ｙ？＝Ｒｅ‘冗本面ｅｎ“ｈ）＝高（３８ｉｎｚ—ｃｏｓｚ）ｅ。・

ｙ；。而耳％ｅ‘１“ｈ＝

百干再了前了而ｒ（ｃ０８ｚ＋ｉｓｉｎｚ）５

巡≯以ｃ眦柚ｉｎ班

取ｙ≠虚部得

第３期

杨晓辉等：一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

２６３

ｙ；－Ｉｍ（耥ｅ（１＋。刁＝

南（ｓｉｎｚ＋３ｃｏｓｚ）ｅ。・

故原方程特解为

・

ｙ—Ｗ＋Ｗ＝（ｓｉｎｚ＋２ｃｏｓｚ）ｅ。．例３

解方程ｙ。＋４ｙ—ｓｉｎ２ｚ．由文献［４］给出的如下两种解答：

解法一（常数变易法）特征方程，．２＋４一ｏ，特征根，．一±２ｉ，对应线性齐次方程的通解

歹＝＝ｃｌｃｏｓ２ｚ＋ｃ２ｓｉｎ２ｚ．

变易常数，设多＝ｃｌｏ）ｃｏｓ２ｚ＋ｃ２０）ｓｉｎ弘，组成关于ａ（ｚ）和岛（ｚ）的代数方程组

ｆｃ；（ｚ）ｃｏｓ２ｚ＋ａ（ｚ）ｓｉｎ２ｚ—ｏ，

Ｉ一２ａ（ｚ）ｓｉｎ红＋２ａ（ｚ）ｃｏｓ红＝ｓｉｎ２ｚ，

ｆｑ（ｚ）＝（一１＋ｃｏｓ４ｚ）／４，

解得

１岛（ｚ）一ｓｉｎ４詈，

积分得．｛

一，，。

ｌｃ－（ｚ）一一詈＋ｓｉｎ４矗＋ｃ・，‘

一

ｌｃ２（ｚ）＝一ｃ０５４蠢＋ｃ２，

所以题设线性非齐次方程的通解为

ｙ—ｃｌｃｏｓ２ｚ＋ｃ２ｓｉｎ２ｚ一÷盘Ｉｃｏｓ２ｚ＋

去ｓｉｎ４ｚｃ０Ｓ２ｚ一矗ｃｏｓ４矧ｎ２ｚ＝

ｃ・ｃ。ｓ２ｚ＋ｃｚｓｉｎ２ｚ一｛ｚｃ。ｓ２ｚ＋击ｓｉｎ２ｚ—

ｃｌｃ∞２ｘ＋ｃ２ｓ珈２ｘ一÷ｘｃ０５２ｘ

解法二（待定系数法）考察题设方程，Ｐ（ｚ）＝１，口＝ｏ，ｐ一２，谬＝２ｉ是特征根，

故设特解ｙ。一ｚ（Ｃｃｏｓ２ｚ＋Ｄｓｉｎ２ｚ），将此式代入原方程得，

一４Ｃｓｉｎ２ｚ＋４Ｄ℃ｏｓ２ｚ兰ｓｉｎ２ｚ．

（７）

用赋值法确定待定系数Ｃ，Ｄ：取ｚ使ｃｏｓ２ｚ＝ｏ，则

ｓｉｎ２ｚ≠ｏ，由式（７）解得ｃ＝一÷；

同理取ｚ使ｓｉｎ２ｚ—ｏ，则，由式（７）比较系数，知Ｄ＝ｏ，

所以特解ｙ’一一÷ｚｃｏｓ２ｚ．

　

通解ｙ—ｃｌｃｏｓ２ｚ＋ｃ２ｓｉｎ２ｚ一÷ｚｃｏｓ２ｚ．

本文解法如下：

解法三考虑方程ｙ”＋４ｙ—Ｐ撕的特解，由于Ａ＝２ｉ是特征方程，．２＋４一Ｏ的单根，运用求特解公式（４）：

１

ｗ。死南∥ｋ

２一尸（Ａ＋ｉ∞）ｚ。

一

砉船２缸＝一言肠（ｃｏｓ２ｚ＋商ｎ２ｚ），

取Ｗ虚部得原方程特解为：

ｙ。一Ｉｍ‘歹刁芒Ｆ丽删撕）＝一寺矾ｏｓ２ｚ，

故所求线性非齐次方程的通解为

ｙ—ｃｌｃｏｓ缸＋ｃ２ｓｉｎ红一÷嬲ｏｓ２ｚ．３结论

由以上对比可知，欲求方程

少＋户ｙ＋ｇｙ＝ｅ＾ｆ（Ａｃｏｓ鱿ｃ＋Ｂｓｉｎ也拓）的特解，只要求方程

，＋户／＋口ｙ＝Ａｅ‘抖衲。

的解的实部以及方程

ｙ”＋户ｙ７＋ｇｙ＝Ｂｅ‘１＋‘－’２

的解的虚部相加即可。而求方程

ｙ”＋户ｙ’＋ｇｙ＝Ａｅ‘１＋抽ｈ

的解，只要知道其特征方程，．２＋户厂＋ｇ＝ｏ的根的情况，就可由相应的求特解公式（３）或（４）得出原方程的

特解。求一元二次方程ｒ２＋缈＋ｇ—ｏ的根非常容易。

因此，本文所给的求微分方程特解的方法，它省去教材上计算的繁琐过程，是此类二阶常系数非齐次线性微分方程的一种简便方法。

参考文献：

［１］

同济大学应用数学系．高等数学：下册［Ｍ］．５版．北京：高等教育出版社，２００２：３１１－３１６．

［２］东北师范大学微分方程教研室．常微分方程［Ｍ］．２版．北京；

高等教育出版社，２００５：１９７．１９８．

［３］王连昌。王锐。李文潮，赵清波．一类特殊形式的二阶微分方程

的特解［Ｊ］．第四军医大学学报，２００５（ｓ１）：３６．

［４］黄光谷。邹亚清．谭代富。方文波．高等效学学习指导与习题解析

（上册）［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版社，１９９９：３８３—３８４．

责任编辑林建玲英文编辑陆小明

一类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

杨晓辉， 陈克东， YANG Xiao-hui， CHEN Ke-dong

桂林电子科技大学,数学与计算科学学院,广西,桂林,541004桂林电子科技大学学报

JOURNAL OF GUILIN UNIVERSITY OF ELECTRONIC TECHNOLOGY2008，28(3)0次

参考文献(4条)

1. 同济大学应用数学系 高等数学:下册 20022. 东北师范大学微分方程教研室 常微分方程 2005

3. 王连昌. 王锐. 李文潮. 赵清波 一类特殊形式的二阶微分方程的特解[期刊论文]-第四军医大学学报 2005(z1)4. 黄光谷. 邹亚清. 谭代富. 方文波 高等数学学习指导与习题解析 1999

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