03第三节行列式的性质

第三节 行列式的性质

行列式的奥妙在于对行列式的行或列进行了某些变换(如行与列互换、交换两行(列)位置、某行(列)乘以某个数、某行(列)乘以某数后加到另一行(列)等)后,行列式虽然会发生相应的变化,但变换前后两个行列式的值却仍保持着线性关系,这意味着,我们可以利用这些关系大大简化高阶行列式的计算. 本节我们首先要讨论行列式的在这方面的重要性质,然后,利用进一步讨论如何利用这些性质计算高阶行列式的值.

分布图示

★引言

★ 性质1 ★ 例1 ★ 性质2 ★ 例2 ★ 性质3 ★ 例4 ★ 性质4 ★ 例7 ★ 性质5 ★ 例9 ★ 利用“三角化”计算行列式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例14 ★ 例15 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3

★ 例3 ★ 例5 ★ 例8

★ 例6

★ 例12 ★ 例16

★ 例13

内容要点

一、行列式的性质

将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为DT或D',即若

a11a12aa22

D21

an1an2

a1na11a2na

, 则 DT12

anna1n

a21

a22a2n



an1an2

. ann

性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即DDT.

注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.

性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.

推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k乘行列式的某一行(列), 等于用数k乘此行列式, 即

a11D1kai1

an1

a12kai2an2

a1na11kainkai1annan1

a12

ai2an2

a1n

ainkD. ann

第i行(列)乘以k,记为ik(或Cik).

推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,

a11a12Dbi1ci1bi2ci2

an1an2

a1n

bincin. ann

则

a11



Dbi1

an1

a12bi2an2

a1na11binci1annan1

a12ci2an2

a1n

cinD1D2. ann

性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.

注: 以数k乘第j行加到第i行上,记作rikrj; 以数k乘第j列加到第i列上，记作

cikcj.

二、利用“三角化”计算行列式

计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:

如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0; 再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.

例题选讲

10

212

1

311

01

01D. 2

例1若D10

1, 则DT223

1

1

1

例2（1）0

1112

210212

1

1

1

2

1（第一、二行互换）.

1

（2）0

11011（第二、三列21020

1

（3）1

11212

00（第一、二两行相等） 71

20（第二、三列相等）

52

（4）4

7

331

112

2

50 因为第三行是第一行的2倍. 22

例3（1）0

2

141283（2001145

05

0因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍. 47

2

4

1

2

例4若D3

01202a11

2

44

0, 则3

112

1

10(2)3102D

211212

又 1

043104D.

1121a12a22a32

a13

6a11

2a12a22a32

10a135a23. 5a33

例5 (E01) 设a21

a31

a231, 求3a21a333a31

解 利用行列式性质，有

6a11

3a213a31

2a12a22a32

10a132a115a2323a215a33

3a31

a12a22a32

5a13a115a232(3)5a215a33a31

a12a22a32

a13a23

a33

2(3)5130.

例6 (E02) 证明奇数阶反对称行列式的值为零. 证 设反对称行列式

0a12

Da13

a1na120a23a2na13a230a3n

a1na2na3n 0

其中aijaji(ij时),aij0(ij时). 利用行列式性质1及性质3的推论1,

有

a120a23a2n

a13a230a3n

a1na2n

a3n(1)nD, 0

0a12

DDT(1)na13

a1n

当n为奇数时有DD,即D0.

例7（1）

2313030

. 111111

5

1

1(2)

5

1

1

5

1

2

57.

703270370221(2)12122

1

（2）0

12

32212

3122403212

例8 因为12,而(92)(04)15.

1230131320

因此

31223212

. 

12301320

注: 一般来说下式是不成立的

a11b11a21b21

a12b12a22b22



a11a21

a12a22



b11b12

b21b22

.

131

例9（1）1

131

0,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不1

41r2r10123123

变.

131

（2）1

130

41c3c1140,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变. 231233

3

6例10计算行列式D2

30.

512解 先将第一行的公因子3提出来：

3

6

12

1

2

4

2303230, 51

2512再计算

12412

4

124

122

10D3230307827078540745403512091801201100

3112

例11 (E03)计算D

5134

2011 1533

1312cc解 D

12

1534r1312

r2r1

45r10840211

6

0211 513301627

13121312 r0211r4r0211

2r3 0846 32

420081001627001015

1312r50211

4r3

081040.

002

2

4543162.

1

31

例12 (E04) 计算D

[1**********]1 13

解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.

D

r1r2r3r4

[**************]3611311

13111r2r11031610r4r1301

200102010

48. 02

注：仿照上述方法可得到更一般的结果:

abbbbabb

[a(n1)b](ab)n1.

bbba

a1a100a2a2

例13 (E05) 计算

00a3111

0 a31

解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使D4中的零元素增多.

a1

D4c2c1

0a202

0a202

00a33

0a2a31

01

a1

0c3c2

a3011

a20200a3300 a31

c4c3

a100100

4a1a2a3. 04

abcdaababcabcd

例14 (E06) 计算D

a2ab3a2bc4a3b2cda3ab6a3bc10a6b3cd

解 从第4行开始，后一行减前一行：

a0

D0r2r1

r4r3r3rbcdaababc

a2ab3a2bca3ab6a3bcar4r3

00r3r2

0bcdaababc

.

aa2abaa2ab

r4r3

a

000bcdaababc

a4.

0a2ab00a

例15 (E07) D

a11a1k

ak1akkc11c1kcn1cnk

00

00

b11b1nbn1bnn

，

a11a1k

D1det(aij),

ak1akkb11b1n

D2det(bij),

bn1bnn

证明 DD1D2.

证 对作运算rikrj,对D2作运算cikcj,可分别把D1和D2化为下三角形行列式.

p110q110

p11pkk;D2q11qnn. D1

pk1pkkqn1qnn

对D的前k行作与对D1相同的运算rikrj,再对后n列作与对D2相同的运算cikcj,即把

D化为下三角形行列式，且Dp11pkkq11qnnD1D2. 证毕.

例16 (E08) 解方程

a1a2a3a1a1a2xa3a1a2a2a3xa1a1

a2a2

a3a3

an1an1an1ananan

an2an1xanan1an1anx

0,其中a10.

解 从第二行开始每一行都减去第一行得

a100

00

a2a1x000

a30



an1000

an000an1x

a1(a1x)(a2x)(an2)(an1x),

a2x00



an2x

由a1(a1x)(a2x)(an2)(an1x)0,解得方程的n1个根：

x1a1,x2a2,,xn2an2,xn1an1.

课堂练习

011110

1.计算行列式D

12121122 00

abbbbabb

2.计算n阶行列式

bbba