新技术讲座论文张敏

课程名称：新技术讲座学生姓名：张敏学 号：日 期： 1123160151 2014年12月

状态反馈控制概念特性及一阶倒立摆状态反馈控制系统的应用

状态反馈

1、状态反馈的概念

状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。设SISO系统的状态空间表达式为：

x=Ax+bu,y=cx

状态反馈矩阵为K，则状态反馈系统动态方程为：



x=Ax+b(v-Kx)=(A-bK)x+bv y=cx 式中：

K为1×n矩阵，即K=[k0 k1 … kn-1],称为状态反馈增益矩阵。(A-bK）称为闭环系统矩阵。闭环特征多项式为|λI-(A-bK）|可见，阴郁状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，b、c阵均无变化。



2、状态反馈系统的可控性和可观性 2.1 状态反馈系统的可控性

定理：多变量线性系统（定常的或时变的）0{A,B,C}，在任何形如u(t)=r(t)+K(t)x(t)的状态反馈下，状态反馈闭环系统K{ABK,B,C}完全可控的充要条件是被控对象0{A,B,C}完全可控。

证明：充分性证明，即若∑0可控，则∑K就可控。

令x0和x1是状态空间中的任意两个状态，据∑0可控的假定，必存在能将x0在有限时间内转移到x1的输入u。现在对于∑K，若选r=u+Kx，则输入r也能将x0转移到x1，因此断定∑K也可控。充分性得证。

必要性证明，即若∑0不可控，则∑K也不可控。

由结构图一可见，输入r不直接控制x，而必须通过产生控制信号u来控制x，因此，如u不可控制x，则r也不能控制x，换言之，若∑0不可控，则∑K也不可控。必要性得证。

注意到上述证明过程没有哟感到单变量和定常的条件，所以，上述定理对于多变量时变系统也是合适的。

2.2状态反馈系统的可观性

虽然状态反馈保持了动态方程的可控性，但总可以选择某一状态反馈阵K，破坏动态方程的可观性。用一个特例就可以证明。

例2.1 设对象的动态方程为

因为

所以，该系统是完全可控的，但不是完全客观的。若取状态反馈的控制规律为

则状态反馈系统的动态方程为

容易验证，闭环系统仍然是可控的，而且是可观的。

上面的例子说明，状态反馈不改变系统的可可能更行，但可能改变系统的可观性。一般地说，当用状态反库配置的系统极点与原系统相同时，即出现零、极点对消时，状态反馈就改变了系统的可观性。

定理：输出反馈闭环系统可控的充要条件是被控系统可控；输出反馈闭环系统可观的充要条件是被控系统可观。

3、极点配置问题

极点配置定理 线性（连续或离散）多变量系统{A,B,C}能任意配置极点的充分必要条件是，该系统状态完全可控。

证明 下面仅给出连续系统情况下的证明，离散系统的证明类似。 必要性证明：采用反证法，即设系统部完全可控，于是可以通过状态方程的线性变换进行可控性规范分解，即

~~~

对于任一状态反馈增益阵K=[K1 K2]，状态反馈系统的特征方程为

因此，只有当系统完全可控时，才有可能任意配置状态反馈系统的闭环极点。必要性得证。

充分性证明：下面只证明单输入单输出的情况。由前面的论述，若{A,b}是可控的，则存在非奇异线性变换=Tx,将{A，b}化为第一可控标准型：

容易求得状态反馈闭环系统的特征多项式为

设闭环系统的期望极点为λ1，λ2，… ，λn，则系统的期望特征多项式为

要使闭环系统的极点取期望值，只须令

比较上式两边系数得：

因此

从而得到对于状态下的状态反馈增益阵为

上式表明，总存在状态反馈增益矩阵，使系统具有给定的期望特征多项式。充分性得证。

注意，用输出反馈不能保证能够任意配置系统的极点。

若系统{A,B,C}不是状态完全可控，则状态反馈系统的一部分闭环极点就是对象不可控部分的极点，这部分极点是不能被配置的。显然，如果不可控的极点全部是稳定极点，则可以采用状态反馈使可控部分的极点配置到期望值，从而使整个闭环系统稳定，因此，称这样的系统为可镇定的或可稳定的系统。 定理： 线性乱序或离散系统{A,B,C}能镇定的充分必要条件是系统的不可控极点都是稳定极点。

一阶倒立摆状态反馈控制系统

一：原理：1.被控对象模型及其线性化

根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程，计及u=F，得

cosmlsinub2xml(Mm)x (1)

2

(Jml)b1mlxcosmglsin0 (2)

2



保留低阶项，项，忽略微小的高次项，在竖直位置处进行线性化。由(1)(2)得



b2xmlu (3) (Mm)x



(Jml)b1mlxmglsin0 (4)

令z(x

x)，y(x)，输入为vx，则状态方程为



T

2



T



0

0z00

1000

000mglJml200

01

z0v （5） 1

b1ml



Jml2Jml2

10000y0010z0v 代入参数，忽略摩擦得

0

0z

00

1

00

0001

zv （6）0010



029.403

10000

y0010z0v 

该状态方程输入是加速度，输出是小车位置和摆杆角度。 2、时不变线性连续系统的状态反馈控制与观测器 对时不变线性连续系统

xAxBu

yCx

以系统状态为反馈变量产生控制

uvKx 这种控制方式称为状态反馈控制，但状态作为系统内部变量，一般很难直接测出，为此引入状态观测器。

全维状态观测器的动态方程为

xAxBuL(yy)(ALC)xBuLy 若输出矩阵C为满秩时，可设计较简单的降维状态观测器，其最小维数为n-m（n代表状态个数，m代表输出个数）。









二：状态反馈及极点配置 能控性检查：

输入代码： clear;

A = [0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0]; B = [0 1 0 3]'; C = [1 0 0 0; 0 1 0 0]; D = [0 0]'; Uc = ctrb(A,B); rank(Uc) 输出： ans = 4

系统能控性矩阵满秩，即系统状态完全能控。

系统极点配置

选取系统主导极点：12

j22j闭环非主导极点距虚轴的距离为主导极点的5倍以上，则 取：310-0.0001j，4100.0001j

输入代码： clear;

A = [0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0]; B = [0 1 0 3]';

P = [-10-0.0001*j,-10+0.0001*j,-2-2*sqrt(3)*j,-2+2*sqrt(3)*j]; K = place(A,B,P) 输出： K =

-54.4218 -24.4898 93.2739 16.1633

极点配置系统仿真

根据系统空间表达式，搭建模型。

仿真波形如图

从仿真结果可以看出，小车最终稳定，小车速度，摆杆角度，角速度最终都稳定在0位置，小车位置超调≤5%，调整时间≤2s，基本符合控制要求。

三：采用状态观测器的状态反馈系统设计 （1）闭环观测器极点配置 判断可观性 输入代码：

A = [0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]; B = [0;1;0;3];

C = [1 0 0 0;0 0 1 0]; D = 0;

sys = ss(A,B,C,D);

observe_matrix = obsv(A,C);

rank_of_obsv = rank(observe_matrix)

输出：

rank_of_obsv =4 系统完全可观。

输出矩阵C的秩为2，所以降维观测器的最小维数为4-2=2。

设定降维观测器的期望极点

观测器特征值的选取一般是状态反馈配置极点2-3倍，所以选取状态观测器为-5，-5。 输入代码：

R = [0 1 0 0;0 0 0 1];

P = [C;R];

invP = inv(P);

p = [-5;-5];

求取等价系统的模型

输入代码：

AA = P*A*invP

A11 = [AA(1:2,1:2)];

A12 = [AA(1:2,3:4)];

A21 = [AA(3:4,1:2)];

A22 = [AA(3:4,3:4)];

BB = P*B

B1 = BB(1:2);

B2 = BB(3:4);

CC = C*invP

输出：

AA = 0 0 1.0000 0

0 0 0 1.0000

0 0 0 0

0 29.4000 0 0

BB = 0

1

3

CC =1 0 0 0

0 1 0 0

求取矩阵L

输入代码：

syms s

system_eq = expand((s-p(1))*(s-p(2)))

syms L_1 L_2 L_3 L_4

syms s

L = [L_1 0;0 L_4];

eq = collect(det(s*eye(2)-(A22-L*A12)),s)

输出：

system_eq =s^2 + 10*s + 25

eq =s^2 + (L_1 + L_4)*s + L_1*L_4

选取

L= LL = [5 0;0 5];

求取降维观测器的动态方程

输入代码：

AW = (A22 - LL*A12)

BU = (B2 - LL*B1)

BY = (A21 - LL*A11) + (A22 - LL*A12)*LL

CW = invP(1:4,3:4)

DY = invP(1:4,1:2)+invP(1:4,3:4)*LL

输出：

AW = -5 0

0 -5

BU = 1

3

BY =-25.0000 0

0 4.4000

CW = 0 0

1 0

0 0

0 1

DY =1 0

5 0

0 1

0 5

系统仿真

仿真波形如图

与不带观测器的状态反馈波形基本一致，达到预期效果。

从仿真结果可以看出，小车最终稳定，小车速度，摆杆角度，角速度最终都稳定在0位置，调整时间

总结：

综上所述，状态反馈控制是一种很好的控制方法，能够满足绝大部分的控制需求，而且控制效果可以达到要求，并且随着知识的不断发展，状态反馈控制也会变得更加完善，满足更多科学工作者们的要求。