线性代数考研模拟

考 研 模 拟

主要掌握的内容提要

⎧|A |,i =j .

一、掌握行列式计算及开展定理：∑a it Ajt =⎨

⎩0, i ≠j .

二、掌握初等变换

三、掌握矩阵运算及运算性质。特别是：

⎧(1) 定义法:AB =I (抽象矩阵) ⎪

*

⎪A

1）求A 的逆⎨(2) 公式法:A -1=

|A |⎪

⎪(3) 行变换法:(行变|

A -1)

⎩

2）判别逆法：A 可逆⇔AB =I ⇔|A |≠0⇔r (A ) =n

n ⨯n

⇔A 的n 个列（行）无关⇔A X =0 仅零解

n ⨯n

⇔A 的n 个特征值非零。

3）求解矩阵方程：对等式变形化简。

k k -1⎧(1) A =αβ, (列乘行), A =l A . ⎪n ⨯11⨯n k

4）求A ⎨

-1k k -1

⎪⎩(2) P AP =Λ(可对角化), A =P ΛP .

四、掌握判别向量组的线性相关性，线性组合，求极大无关组

1）线性表示：β=k 1α1+k 2α2+ +k m αm

⇔A K =β的解。

n ⨯m m ⨯1

2）向量组α1, α2, , αm 相关性, A =(α1α2 αm ) ,

⎧有不全为零解k i ⇔相关⇔(1) ∑k i αi =0⎨

i =1⎩仅当所有k i =0⇔无关

m

⎧有非零解⇔相关

⇔(2) A K =0⎨

n ⨯m m ⨯1⎩仅零解⇔无关⎧r

⇔(3) r (A ) =r ⎨

n ⨯m ⎩r =m ⇔A 的m 个列无关.

五、掌握行初等变换解方程组及解结构

1）理解三个参数n , r (A ), r (A |b ) ⇒掌握解定理。 2）r (A ) =r , 设AX =0的基础解系为X 1, X 2, , X n -r ， 解空间：N (A ) ={X |AX =0},dim N (A ) =n -r (A ) =解空间N (A ) 中极大无关解个数。

3）AX =b 解结构

X 非齐次通解=X C 齐次通解+η非齐次特解

=(k 1X 1+k 2X 2+ +k n -r X n -r ) +η

六、掌握求特征值及特征向量

1）AX =λX , X ≠0 （定义）

2）|λI -A |=0，求λi 。（若|λ0I -A |=0，λ0必是A 的特征值。） 3）(λi I -A ) X =0，齐次方程组非零解集就是λi 的特征向量。 七、掌握A 对角化充要条件，判别A 可否对角化

⎛λ1⎫

⎪-1

求可逆P ，使 P AP = ⎪，

λn ⎪⎝⎭

其中P =(α1, α2, , αn ) 的n 个列必是A 的对应于特征值

λ1, λ2, , λn 的线性无关特征向量。

特别关注：

（1）对称阵A 的不同特征值对应的特征向量是正交的。（用于求参数及另一些特征向量）

（2）对称阵A 必相似于对角阵。 八、掌握正交变换化二次型为标准形

1）f =X T AX

X =CY 正交阵

222

λ1y 1+λ2y 2+ +λn y n

对称阵A ，存在正交阵C ，使

⎛λ1⎫

⎪-1T

C AC =C AC = ⎪

⎪λ⎝n ⎭

2）了解二次型正定的一些充要条件（判别法）。 主要掌握用正定的定义及A 的顺序主子式判别法。

2001年考题类型及题要

2002年考题类型及题要

明

2003年考题类型及题要

2004年考题类型及题要

2005年考题类型及题要

明

2006年考题类型及题要

模拟题（一）

一、填空题

⎛21⎫1）A = 矩阵B 满足BA =B +2E ， -12⎪⎪，E 为2阶单位矩阵，

⎝⎭

则|B |= 2 。

|2E |4

[思路] BA =B +2E ⇒B (A -I ) =2E ⇒|B |===2

|A -I |2

2）已知α1, α2为2维列向量，矩阵A =(2α1+α2, α1-α2) ，

B =(α1, α2) ，若行列式|A |=6，则|B |=。

[思路]|A |=|2α1+α2, α1-α2|=|3α1, α1-α2|=3|α1, α1-α2|

=3|α1, -α2|=-3|B |=6⇒|B |=-2。

二、选择题

1）设α1, α2, , αs 均为n 维列向量，A 是m ⨯n 矩阵，下列选项正确的是（（A ））

（A ）若α1, α2, , αs 线性相关，则A α1, A α2, , A αs 线性相关。 （B ）若α1, α2, , αs 线性相关，则A α1, A α2, , A αs 线性无关。 （C ）若α1, α2, , αs 线性无关，则A α1, A α2, , A αs 线性相关。 （D ）若α1, α2, , αs 线性无关，则A α1, A α2, , A αs 线性无关。 [思路] 由相关式 k 1α1+k 2α2+ +k s αs =0

左乘A 得 k 1A α1+k 2A α2+ +k s A αs =0

当α1, α2, , αs 相关，必有不全为零的k 1, k 2, , k s 使上两式成立。故选（A ）。其他选项不一定成立。

2）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的

⎛110⎫ ⎪第1列的(-1) 倍加到第2列得C ，记P = 010⎪，则（（B ））。

001⎪⎝⎭

（A ）C =P -1AP

（C ）C =P T AP （B ）C =PAP -1 （D ）C =PAP T

⎛110⎫⎛1-10⎫ ⎪ ⎪[思路] B = 010⎪A ⇒C =B 010⎪

001⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭

⎛110⎫⎛1-10⎫ ⎪ ⎪-1 ∴C = 010⎪A 010⎪=P A P 。

001⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭

三、计算证明题

⎧x 1+x 2+x 3+x 4=-1⎪1）已知非齐次方程组 ⎨4x 1+3x 2+5x 5-x 4=-1

⎪ax +x +3x +bx =1⎩1234

有3个线性无关解。

（I ）证明方程组系数矩阵A 的秩r (A ) =2；

（Ⅱ）求a , b 的值及方程组的通解。

[思路] （I ）设A X =β的三个无关解为ξ1, ξ2, ξ3⇒则3⨯4

X 1=ξ1-ξ2, X 2=ξ1-ξ3是AX =0的两个无关解。

⇒n -r (A ) =4-r (A ) ≥2⇒r (A ) ≤2

因A 中有二阶子式11

43≠0, ∴r (A ) =2。

（Ⅱ）由AX =β有解，且r (A ) =2。

⎧4-2a =0⎧a =2 r (A ) =r (A |B ) ⇒⎨⇒⎨⎩4a +b -5=0⎩b =-3

⇒AX =β的通解

X =k 1(-2, 1, 1, 0) T +k 2(4, -5, 0, 1) T +(2, -3, 0, 0) T 。

2）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α1=(-1, 2, -1) T , α2=(0, -1, 1) T 是AX =0的两个解

（I ）求A 的特征值与特征向量。

（Ⅱ）求正交矩阵Q 和对角阵Λ，使Q T AQ =Λ。

⎛1⎫⎛3⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪[思路] （I ）由A 1⎪= 3⎪=3 1⎪⇒λ3=3, α3=(1, 1, 1) T

1⎪ 3⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

由A α1=0α1, A α2=0α2⇒λ1=0, λ2=0 α1, α2为λ=0的两个无关特征向量。 （Ⅱ）把α1, α2正交化，单位化，把α3单位化得ε1, ε2, ε3正交向量，

⎛0⎫ ⎪T -1Q =(ε1ε2ε3), Q AQ =Q AQ = 0⎪。

⎪3⎝⎭

模拟题（二）

一、填空题

（1）三阶实对称矩阵的三个不同特征值为λ1, λ2, λ3，λ1, λ2对应的特征向量分别为α1=(1, a , 1) T , α2=(a , a +1, 1) T ，则λ3对应的特征向量α3=(1, 2, 1) T 。

T α2=0[思路] 因对称阵不同特征值对应的特征向量正交。由α1

T 求出a =-1，由α1α3=0, αT 2α3=0求出α3。

⎛121⎫ ⎪（2）A = 011⎪, 3⨯4阶方阵B ≠0，且AB =0，则矩阵B

341⎪⎝⎭

的秩 1 。

[思路] 由A B =0⇒r (A ) +r (B ) ≤3 3⨯3

由r (A ) =2⇒r (B ) ≤1, B ≠0, ∴r (B ) =1

二、选择题

1）设α,β,r 是三维向量，矩阵A =(α,β,r ), |A |=-5，则三阶行列式|4r -α, β-2r , 2α|等于（（A ））

（A ）40 （B ）5 （C ）–40 （D ）–5

[思路] |4r -α, β-2r , 2α|=2|4r -α, β-2r , α|

=2|4r , β-2r , α|=8|r , β, α| =-8|α,β,r |=-8⨯(-5) =40

2）设A 是三阶方阵，将A 的第1列与第2列互换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足AQ =C 的可逆矩阵Q 为（（D ））。

⎛010⎫ ⎪（A ） 100⎪

101⎪⎝⎭

⎛010⎫ ⎪（C ） 100⎪

. 011⎪⎝⎭ ⎛010⎫ ⎪（B ） 101⎪ 001⎪⎝⎭⎛011⎫ ⎪（D ） 100⎪ 001⎪⎝⎭

[思路] AP 1P 2=C ，对应可逆阵

⎛010⎫⎛100⎫⎛011⎫ ⎪ ⎪ ⎪Q =P 1P 2= 100⎪ 011⎪= 100⎪。

001⎪ 001⎪ 001⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭

三、计算与证明题

1）设A T 为n 阶方阵A 的转置矩阵。

（I ）证明A 与A T 的特征值相同。

（Ⅱ）举例说明A 与A T 的特征向量不一定相同。

（Ⅲ）若u 是A 的特征值λ1对应的特征向量，

v 是A T 的特征值λ2对应的特征向量，

且λ1≠λ2，证明u 与v 正交。

[思路] （I ）|λI +A T |=|(λI +A ) T |=|λI +A |

⎛11⎫⎛10⎫T （Ⅱ）例A = 01⎪⎪, A = 11⎪⎪，则 ⎝⎭⎝⎭

对于λ1=1，A 的特征向量为X =k (1, 0) T 。

对于λ1=1，A T 的特征向量为X =l (0, 1) T 。

（Ⅲ）Au =λ1u ⇒u T A T =λ1u T

u T A T v =λ1u T v ⇒λ2u T u =λ1u T v

2）设二次型

222f (x 1, x 2, x 3) =x 1+ax 2+x 3+2x 1x 2-2ax 1x 3-2x 2x 3正负惯性指(λ2-λ1) u T v =0⇒λ1≠λ2, u T v =0

数都为1。（I ）求a ，（Ⅱ）求曲面：f (x 1, x 2, x 3) =1，在(1, 1, 0) 处的切平面。

222[思路] （I ）f =X T AX X =PY y 1（规范型） -y 2+0y 3

1-a ⎫⎛1 ⎪ 得 r (A ) =r (f ) =2，由A = 1a -1⎪⇒a =-2

-a -11⎪⎝⎭

∂f （Ⅱ）求∂x 1

∂f , ∂x 2(1, 1, 0) ∂f , ∂x 3(1, 1, 0) ，即得切平面法矢。 (1, 1, 0)

模拟题（三）

一、填空题

1

⎛1 B =- 4

2⎝⎛021⎫ ⎪）A = 202⎪满足BA -1=4A +2B -A -1，则 120⎪⎝⎭42⎫⎪14⎪。 41⎪⎭

[思路] BA -1A =4A 2+2BA +(-AA -1) ⇒B (I -2A ) =-(I +2A )(I -2A ) ⇒B =-(I +2A )

2）α=(1, 1, 0, 0) T , β=(1, 2, 3, 4) T , A =αβT , B 是4阶方阵r (B ) =2，则r (AB -2B ) =。

[思路] AB -2B =(A -2I ) B ，由

|A -2I |≠0⇒r (AB -2B ) =r [(A -2I ) B ]=r (B ) =2

二、选择题

1）设A 为n (n ≥2) 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , A *, B *分别为A ，B 的伴随矩阵，则（（C ））

（A ）交换A *的第1列与第2列得B *。

（B ）交换A *的第1行与第2行得B *。

（C ）交换A *的第1列与第2列得–B *。

（D ）交换A *的第1行与第2行得–B *。

[思路] 设A 变为B 的初等阵为E 12，则B =E 12A

-1|B |=|E 12||A |=-|A |⇒B -1=A -1E 12=A -1E 12 |A |B -1=|A |A -1E 12⇒-|B |B -1=A *E 12 即 -B *=A *E 12。

2）向量β可由向量组α1, α2, , αm 线性表示，但不能由向量组（I ）：α1, α2, , αm -1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α1, α2, , αm -1, β，则（（B ））。

（A ）αm 不能由（I ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。

（B ）αm 不能由（I ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。

（C ）αm 可由（I ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。

（D ）αm 可由（I ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示。

[思路] 从β可由α1, α2, , αm 线性表示，得

β=k 1α1+k 2α2+ +k m αm ⇒k m ≠0，（否则与第二条矛盾）⇒ k m -1k 11αm =β-α1- -αm -1⇒αm 可由（Ⅱ）k m k m k m

线性表示，排除（A ），（D ）。又假定αm 可由（I ）表示，则推得：

β=h 1α1+h 2α2+ +h m -1αm -1，与第二条件矛盾，排除（C ）。

三、计算证明题

1．设向量α=(a 1, a 2, , a n ) T , β=(b 1, b 2, , b n ) T 都是非零向量，且满足αT β=0，记n 阶矩阵A =αβT ，求

1）求A 2。

2）求矩阵A 的特征值和特征向量。

3）证明A 不可对角化。

[思路]（1）A 2=A ⋅A =α(βT α) βT =(βT α)(αβT ) =0αβT =0

（2）A 2=0⇒λi =0。 λ=0代入(λI -A ) X =0, (-A ) X =0，

⎛-a 1b 1 -a 2b 1-A = -a b ⎝n 1 -a 1b n ⎫⎛b 1b 2⎪ -a 2b n ⎪ 00⇒ ⎪ ⎪ ⎪ -a n b n ⎭ ⎝00 b n ⎫⎪ 0⎪ , b 1≠0，⎪ ⎪ 0⎪⎭

b 3b n -b 2解方程：x 1=x 2-x 3- -x n 得基础解系： b 1b 1b 1

-b i αi =(, 0 0, 1, 0, 0) T , i =2, n 。 b 1

（3）因A 仅有n -1个无关特征向量，故A 不可对角化。 n ⨯n

2．设A 为m ⨯s 矩阵，B 为矩阵，且r (AB ) =r (B ) ，试证明齐s ⨯n

次方程组A X =0与B X =0的基础解系是等价的。 m ⨯n n ⨯1s ⨯n n ⨯1

[思路] r (AB ) =r (B ) =r ⇒ABX =0与BX =0的基础s ⨯n

解系含解向量相等，皆为n -r 。

设ABX =0的基解系为α1, α2, , αn -r

BX =0的基解系为β1, β2, , βn -r

∵BX =0的解必是ABX =0的解⇒β1, β2, , βn -r 可由

α1, α2, , αn -r 线性表示，考虑向量组

α1, α2, , αn -r ，β1, β2, , βn -r ，

∵ β1, β2, , βn -r 线性无关，可做为一个极大无关组，故α1, α2, , αn -r 可由β1, β2, , βn -r 线性表示。这就证明两组基础解系等价。

模拟题（四）

一、填空题

⎛a 1 1⎫ ⎪1 1a 1⎪1．n 阶方阵A = 的秩为n -1，则a =。 ⎪1-n 11 a ⎪⎪⎝⎭

[思路] |A |=(a +(n -1))(a -1) n -1。当a =1或a =-1时n -1

-1则A 中有一|A |=0, r (A ) ≤n -1。当a =1时，r (A ) =1，当a =n -1

个n -1阶子式≠0，故r (A ) =n -1。故应填a =1。 1-n

2．设三元二次型f (x 1, x 2, x 3) =X T AX 的秩为2，且f 的矩阵A 满足|E +A |=|E -A |=0，则|2E +3A |= –10 。（E 为单位阵）

[思路] f =X T AX 通过正交变换化为标准形为

222，λ1, λ2, λ3为A 的三个特征值；f =λ1y 1+λ2y 2+λ3y 3

r (f ) =r (A ) =2⇒A 有一个特征λ3=0，又|E +A |=0，则λ1=-1, |E -A |=0, λ2=1, 2E +3A 的特征值为

2+3λi , |2E +3A |=(2+3λ1)(2+3λ2)(2+3λ3) =-10。

二、选择题

1．A ，B 为n 阶方阵，A 可逆，则下面运算正确的是（（D ））。

（A ）|-A -1|=-|A |-1

（C ）(k A *) =k A *

n ⨯n （B ）|A |B =|A ||B | （D ）(A *) -1=(A -1) * n ⨯n [思路] |k A |=k n |A |,(k A ) *=k n -1A *⇒排除（A ），（B ），

（C ）。

A =(α1, α2, α3，α4), A *2．设α1, α2, α3，α4是4维非零向量组，

为A 的伴随阵。已知方程组AX =0的基础解系为(1, 0, 2, 0) T ，则方程组A *X =0的基础解为（（C ））。

（A ）α1, α2, α3

（C ）α2, α3，α4 （B ）α1+α2, α2+α3, α3+α1 （D ）α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1

[思路] 由(1, 0, 2, 0) T 是AX =0基础解系⇒

r (A ) =4-1=3, ⇒r (A *) =1⇒A *X =0

的基解系中含有3个解向量（无关）。

因 A *A =|A |I =0⇒A 的列是A *X =0的解

又因(α1, α2, α3, α4)(1, 0, 2, 0) T =0

⇒α1+2α3=0⇒α1, α2, α3相关⇒α2, α3, α4无关。⇒排除

（A ），（B ），（D ）选（C ）。

三、计算证明题

1．设n 维列向量α=(a 1, a 2, , a n ) T , α≠0, A =ααT 。

（I ）证明存在数l ，使A =l A ，并求l 。

（Ⅱ）证明A 相似于对角阵Λ，并求P , Λ，使P -1AP =Λ。

[思路] （I ） A 2=A ⋅A =α(αT α) αT =(αT α)(ααT ) =l A ，其中

l =αT α=∑a i 2≠0 （Ⅱ）A T =(ααT ) T =ααT =A ⇒A 为对称阵，可对角化 又 A 2=l A 。特征值为l 或0，r (A ) =1，则可求出P ， 使 ⎛l P -1AP = ⎝⎫⎪0⎪ ⎪ ⎪0⎪⎭

⎛139⎫ ⎪2．已知A ，B 为三阶非零方阵，A = 206⎪。

-31-7⎪⎝⎭

⎛0⎫⎛a ⎫⎛b ⎫ ⎪ ⎪ ⎪β1= 1⎪, β2= 2⎪, β3= 1⎪为齐次线性方程组BX =0的三个解 -1⎪ 1⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

向量，且AX =β3有非零解。

（I ）求a , b 的值，（Ⅱ）求BX =0的通解。

[思路] （I ）由β1, β2, β3为BX =0的解，B ≠0知β1, β2, β3必线性相关⇒|β1β2β3|=0⇒得a =3b 。

又由AX =β3有非零解⇒r (A ) =2, β3可由A 的列线性表示，⇒β3也可由A 的前两列α1, α2表示⇒

|β3α1α2|=0⇒得a =15, ⇒b =5。

（Ⅱ） B ≠0, r (B ) ≥1, BX =0的基解系含向量个数≤3-r (B ) ≤2，又，β1, β2是BX =0两无关解，故

dim B =n -r (B ) =2, X =k 1β1+k 2β2

模拟题（五）

一、填空题

1）设A 为三阶方阵，R 3的基为α1, α2，α3，向量A α1, A α2, A α3在此基下的坐标分别为(1, 2, 0) T , (1, -2, 1) T , (0, 1, -3) T ，则 |A |=

[思路] 由已知，写成矩阵乘积

(A α1A α2A α3) =(α1α2α3) K 3⨯3， A (α1α2α3) =(α1α2α3) K

1

1

101=11 -3|A |=|K |=2-20

2）四阶方阵A 与B 相似，A 的特征值为0，1，2，3，则 |I +B |=。

[思路] A 与B 相似，则λi (A ) =λi (B ) ，

4I +B 的特征值1+λi (B ), |I +B |=∏(1+λi (B )) 。

i =1

二、选择题

1）设α1, α2, α3, α4是齐次线性方程组AX =0的基础解系，则该方程组的基础解系还可选（（B ））。

（A ）α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1。

（B ）与α1, α2, α3, α4等价的向量组。

（C ）α1-α2, α2-α3, α3-α4, α4-α1

（D ）α1+α2, α2+α3, α3-α4, α4-α1

[思路] （A ），（C ），（D ）中4个向量都线性相关，故选（B ）。

2）设A ，B 的n 阶矩阵，A *, B *分别为A ，B 对应的伴随矩阵，

⎡A 0⎤*C 分块矩阵C =⎢，则的伴随矩阵（D ）） C =（⎥⎣0B ⎦

⎛|A |A *0⎫⎪ （A ） *⎪ 0|B |B ⎭⎝

⎛|B |B *0⎫⎪ （B ） *⎪ 0|A |A ⎭⎝

⎛|A |B *0⎫⎪ （C ） *⎪ 0|B |A ⎭⎝ ⎛|B |A *0⎫⎪ （D ） *⎪ 0|A |B ⎭⎝

[思路] 由CC *=|C |I ⇒（D ）项成立。

-1⎛A 0⎫-1 ⎪ 得C *=|C |C -1。 另法：|C |=|A ||B |,C = -1⎪0B ⎝⎭

三、计算证明题

1）设三元非齐次线性方程组A X =b 的通解为3⨯3

X =k 1(1, 1, 2) T +k 2(1, 2, 0) T +(0, 0, 1) T ，且b =(0, 0, 2) T 。

（I ）求A 的三个特征值及特征向量。

（Ⅱ）求A 。

[思路] （I ）记α1=(1, 1, 2) T , α2=(1, 2, 0) T , α3=(0, 0, 1) T ，由AX =b 解的结构定理⇒A α1=0α1, A α2=0α2, A α3=(0, 0, 2) T =2α3⇒, λ1=λ2=0, λ3=2

⎛0⎫ ⎪-1（Ⅱ）P AP = 0⎪

2⎪⎝⎭

⎛0⎫⎛000⎫ ⎪-1 ⎪ ⇒A =P 0⎪P = 000⎪

⎪ -842⎪2⎝⎭⎝⎭

其中 P =(α1α2α3) 。

α1=(1, 0, 2) T , α2=(1, 1, 3) T , α3=(1, -1, a +2) T 2）设有向量（I ）

和（Ⅱ）β1=(1, 2, a +3) T , β2=(2, 1, a +b ) T , β3=(2, 1, a +4) T ，试问：当a 为何值时，向量（I ）与（Ⅱ）等价，当a 为何值时向量组（I ）与（Ⅱ）不等价。

[思路] 设A =(α1α2α3), B =(β1β2β3)

（I ）与（Ⅱ）等价⇔（I ）与（Ⅱ）互相线性表示

⎧AX =β1⎪首先考虑（Ⅱ）由（I ）线性表示：⎨AX =β2，

⎪AX =β⎩3

即A K =(β1β2β3) 有解。 3⨯3

2-111⎫⎛10 ⎪(α1α2α3β1β2β3)⇒ 01-1211⎪。

00a +1a -1a +1a -1⎪⎝⎭

（1）当a ≠-1, |A |=|α1α2α3|=a +1≠0⇒AX =βi 有唯一解，故（β1, β2, β3）可由（I ）线性表示。

而|β1, β2, β3|=6≠0, r (β1, β2, β3) =3, ⇒α1α2α3可由（Ⅱ）线性表示⇒（I ）与（Ⅱ）等价。

（2）当a =-1，

⎛102-111⎫ ⎪(α1α2α3β1β2β3)⇒ 01-1211⎪，

000-20-2⎪⎝⎭

AX =β1无解，故β1不能由（I ）线性表示。

（I ）与（Ⅱ）不等价。

模拟题（六）

一、填空题

1⎛1 a 2 a 11）A = n ⨯n a n -1a n -1⎝12

a 1, a 2, , a n 相异。 ⎛1⎫ ⎪1⎫⎛x 1⎫⎪ ⎪ 1⎪a n ⎪ x 2⎪ 1⎪，其中, X =, b = ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪n -1⎪ ⎪a n ⎭⎝x n ⎭ 1⎪⎝⎭

方程组A T X =b 的解为X =(1, 0, , 0) T 。

D [思路] |A |≠0, D 1=|A |,D 2=0, , D n =0, x i =T 。 |A |T T

2）设A 为n 阶方阵，α1, α2, , αn 是n 个线性无关列向量，A α1=α2, A α2=α3, , A αn -1=αn , A αn =α1，则|A |=(-1) n +1。

[思路] (A α1, A α2, , A αn ) =(α2α3 αn α1)

则 A (α1α2 αn ) =(α1α2 αn ) K n ⨯n |A |=|K |=(-1) n +1

二、选择题

⎛1⎫⎛100⎫⎛200⎫ ⎪ ⎪ ⎪1）设三阶方阵A = 2⎪, B = 024⎪, C = 021⎪，

⎪ 002⎪ 001⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭

下面错误的结论是（（C ））。

（A ）A 与C 相似

（C ）A 与B 相似 （B ）A 与B 等价 （D ）A 与C 等价

[思路] 因r (A ) =r (B ) =r (C ) =3，故它们是等价的，排除（B ），

（D ）项。

又因|λI -A |=|λI -B |=|λI -C |=(λ-1)(λ-2) 2，但对重特征值λ=2，

⎛⎛000⎫⎫⎛⎛100⎫⎫ ⎪⎪⎪⎪r (2I -C ) =r 001⎪⎪=1, r (2I -B ) =r 004⎪⎪=2

000⎪⎪ 000⎪⎪⎭⎭⎭⎭⎝⎝⎝⎝

B 的λ=2对应只有一个无关特⇒C 的λ=2对应有两无关特征向量，

征向量⇒P -1CP =A ，而不存在Q 使Q -1BQ =A 。故选（C ）。

2）下面命题正确的是（（B ））。

（A ）n 阶方阵A 的秩r (A ) =r (r

（B ）n 阶方阵A 的行列式|A |≠0，则A 的任意r 个行向量线性无关。

（C ）A 为n 的方阵，r (A ) =r (r

（D ）设A 为m ⨯n 矩阵(m

[思路] |A |≠0⇔r (A ) =n ⇔A 的n 个行线性无关⇒r 个

行线性无关。

三、计算证明题

1）设α1, α2, α3, α4，β为4维列向量，A =(α1α2α3α4) ，已知方程组AX =β的通解是(-1, 1, 0, 2) T +k (1, -1, 2, 0) T

（I ）β能否由β1, β2, β3线性表示？

（Ⅱ）求α1, α2, α3, α4，β的一个极大线性无关组。

[思路] （I ）由AX =β通解X =k α+η⇒AX =0基解系为α=(1-1, 2, 0) T ⇒，r (A ) =3⇒α1, α2, α3, α4相关。

假定β=k 1α1+k 2α2+k 3α3⇒ξ=(k 1, k 2, k 3, 0) T 是AX =β的解。由于η=(-1, 1, 0, 2) T 是AX =β的解，则

r =η-ξ=(k 1+1, k 2-1, k 3, -2) 是AX =0的解，但又已知α=(1, -1, 2, 0) T 是AX =0的解，则α,r 是AX =0的两个无关解，矛盾。故β不能由α1, α2, α3线性表示。

（Ⅱ）由α=(1, -1, 2, 0) T 是AX =0的解，⇒α1-α2+2α3=0，α1=α2-2α3⇒r (α1α2α3α4) =3⇒α2, α3, α4为极大无关组。

2）设二次型f (x 1, x 2, x 3) =X T AX 经正交变换X =CY 化为标准

222-y 2+2y 3形f =y 1，

（I ）求|A *|及|2A -1-A *|。

（Ⅱ）证明A 3-2A 2-A +2I =0。

222[思路] （I ）f =X T AX X =CY y 1 -y 2+2y 3

*⇒λ1=1, λ2=-1, λ3=2, |A |=λ1λ2λ3=-2 A 的特征值为|A |

λi ，得–2，2，–1

**A A |A *|=(-2)(2)(-1) =4。又A -1= =|A |-2

*A |2A -1-A *|=|2⨯-A *|=|-2A *|=(-2) 3|A *|=-32。 -2

或 A *=-2A -1, |2A -1-A *|=|2A -1+2A -1|

=|4A -1|=(4) 3|A |-1

⎛1⎫ ⎪-1（Ⅱ）因 C AC = -1⎪=Λ, A k =C Λk C -1

⎪2⎝⎭

∴A 3-2A 2-A +2I =C (Λ3-2Λ2-Λ+2I ) C -1=C0C -1=0。

模拟题（七）

一、填空题

1）设4维列向量α1, α2, α3, α4线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1, B =(β1β2β3β4) ，则秩 B

⎛1 1[思路] B =(β1β2β3β4) =(α1α2α3α4) 0 0⎝

001⎫⎪100⎪， ⎪110⎪011⎪⎭

⎛1 1r (B ) =r 0 0⎝001⎫⎪100⎪=3。 ⎪110⎪011⎪⎭

⎛100⎫ ⎪111-12）A = -21-1⎪，则(A +3I ) 的特征值为, , 。 428 023⎪⎝⎭

[思路] 可不必先求(A +3I ) -1，设AX i =λi X i ，则A +3I 的特征值为λi +3, (A +3I ) -1的特征值为

-11。再计算：λi +3111|λI -A |=(λ-1)(λ+1)(λ-5) 。则(A +3I ) 的特征值为, , 。 428

二、选择题

1）设α1=(-1, 1, a , 4) T , α2=(-2, 1, 5, a ), α3=(a , 2, 10, 1) T 是4阶方阵A 的三个不同特征值对应的特征向量，则a 取值为（（A ））。

（A ）a ≠5

（B ）a ≠-4 （C ）a ≠-3 （D ）a ≠-3且a ≠-4

[思路] α1, α2, α3线性无关⇒r (α1α2α3) =3⇒a =?

a 4⎛-11⎫ ⎪ (α1α2α3) ⇒ 0-15-2a a -8⎪⇒a ≠5。

00(a +4)(5-a ) (a +3)(a -5) ⎪⎝⎭

⎛1 02）A = 0 1⎝

值为（（C ））。 01⎫⎛t ⎫⎪ ⎪31⎪ 2⎪方程组AX =b 有无穷多解，则t 取, b = ⎪，⎪0t 0⎪ ⎪2⎪⎪ 01⎭⎝t ⎭

（A ）t =0或t =1

（C ）t =0 （B ）t ≠0或t ≠1 （D ）t =1

[思路] A X =b 有无穷多解⇒r (A |b ) =r (A ) ≤2⇒t =0，4⨯33⨯1

选（C ）。

三、计算证明题

⎧3x 1-6x 2+2x 3-x 4=b 1⎪-2x +4x +x +3x =b ⎪123421．设线性方程组 ⎨

⎪x 3+x 4=b 3

⎪⎩x 1-2x 2+x 3=b 4

有解，求所有向量b =(b 1, b 2, b 3, b 4) T 。

[思路] 有解⇒r (A |b ) =r (A )

⎧b 1+b 3-3b 4=0⇒⎨，

⎩b 2-3b 3+2b 4=0

解上齐次方程组b =k 1(-1, 3, 1, 0) T +k 2(3, -2, 0, 1) T 。

2．设A 为三阶方阵，α1, α2, α3为三维线性无关列向量，且A α1=α2+α3, A α2=α3+α1, A α3=α1+α2，

（1）求A 的全部特征值；

（2）A 是否可对角化。

[思路] （1）令(α1, α2, α3) =P 3⨯3，

(A α1A α2A α3) =(α2+α3, α3+α1, α1+α2)

⎛011⎫ ⎪-1⇒AP =PB , P AP =B = 101⎪，

110⎪⎝⎭

|λI -B |=(λ+1) 2(λ-2) ，A 的特征值与B 的特征值皆为-1, -1, 2，且有相同特征向量。

（2）λ=-1, (-I -B ) X =0, r (-I -B ) =1解得λ=-1有两个无关特征向量，故A 有三个线性无关特征向量，故可对角化。

模拟题（八）

一、填空题

⎛a ⎫⎛b ⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1）向量组α1= 0⎪, α2= c ⎪, α3= a ⎪线性无关，则a , b , c 的关

c ⎪ 0⎪ b ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

系为______。

[思路] α1, α2, α3无关⇔r (α1α2α3) =3⇔|α1α2α3|≠0⇒

2）A 为三阶方阵A 3+3A 2+2A =0，则A 可相似于最简的矩阵为______。

[思路] 设X 是A 对应特征值λ的特征向量，AX =λX ， (A 3+3A 2+2A ) X =0⇒λ3X +3λ2X +2λX =0

⇒(λ3+3λ2+2λ) X =0, X ≠0⇒λ(λ2+3λ+2) =0

⎛0⎫ ⎪-1λ1=0, λ2=-1, λ3=-2⇒P AP = -1⎪。

-2⎪⎝⎭

二、选择题

1）A 为m ⨯n 矩阵，r (A ) =m

（A ）A T X =0只有零解 n ⨯m m ⨯1（B ）A T A X =0有无穷多解 n ⨯m n ⨯1

（C ）A T X =b 有唯一解 n ⨯m m ⨯1（D ）∀b , AX =b 有无穷多解

r (A T A ) =r (A ) =m

r (A ) =r (A |b ) =m

无穷多解。r (A T |b ) ≠r (A T ) =m ，故选（C ）。

2）n 阶实对称阵A 合同于矩阵B 的充分必要条件是（（D ））。

（A ）r (A ) =r (B )

（B ）A ，B 的正惯性指数相等

（C ）A ，B 为正定矩阵

（D ）r (A ) =r (B ) 且A ，B 的正惯性指数相等

[思路] 选（D ）。r (A ) =r (B ) =r ，矩阵A ，B 的正惯性指数为

⎛I p T T p ，则存在可逆矩阵P , Q 使得： P AP =Q BQ = ⎝

⇒(PQ -1) T APQ -1=B ⇒R T AR =B 。

三、计算证明题

1．A 为n 阶实对称阵，r (A ) =r ，且A 2=A

1）证明A 相似于对角阵，求出此对角阵。

2）计算行列式|I +A +A 2+ +A n |=

[思路] （1）实对称阵必相似对角阵，

-I r -p ⎫⎪⎪ 0⎪⎭ A 2=A ⇒A 特征值为λ=1或0，又r (A ) =r ，故有 ⎛1⎫ ⎪r ⎪ ⎪1⎪ P -1AP = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎝⎭

（2）A K =P Λk P -1

∴|I +A +A 2+ +A n |=|I +Λ+Λ2+ +Λn |=(n +1) r

⎛1 32．设4阶方阵A = 0 4⎝

4⨯44⨯1251⎫⎪012⎪*，为A 的伴随阵 A ⎪214⎪263⎪⎭1）证明A *X =0有无穷多解。

2）求A *X =0的一个基础解系

[思路] 1）由A ⇒|A |=0, r (A ) =3, ⇒r (A *) =1

⇒A *X =0有无穷多解。

2） A *A =|A |I =0⇒A 的列是A *X =0的解，r (A *) =1，A *X =0的基础解系含有三个无关的解向量⇒A 的任三个无关列是A *X =0的基础解系。

模拟题（九）

一、填空题

1．设(2I -C -1B ) A T =C -1其中I 是2阶单位矩阵，A T 是A 的转

⎛12⎫⎛12⎫置，B = 21⎪⎪, C = 01⎪⎪，则A =_______。 ⎝⎭⎝⎭

[思路] 方程组代简，C (2I -C -1B ) A T =I ⇒A T =(2C -B ) -1

-1⎛12⎫= -21⎪⎪⎝⎭1⎛1-2⎫= ⎪=A ⎪5⎝21⎭

2．二次型

f (x 1, x 2, x 3) =(ax 1+2x 2-3x 3) 2+(x 2-2x 3) 2+(x 1+ax 2-x 3) 2

是正定的，则a ≠ a ≠1且a ≠-1/2。

⎧ax 1+2x 2-3x 3=0⎪[思路] f 正定是⎨x 2-2x 3=0 仅零解⇔|A |≠0，

⎪x +ax -x =0⎩123

|A |=(a 2-a -1) =(2a +1)(a -1) ≠0。得 a ≠1且a ≠-1/2。

二、选择题

1．设n 阶方阵A =(α1α2 αn ), B =(β1β2 βn ) ，

C =AB =(r 1r 2 r n ) 。

记向量组I ：α1, α2, , αn ，Ⅱ：β1, β2, , βn ，Ⅲ：r 1, r 2, , r n ，如果向量组Ⅲ线性相关，则（（D ））。

（A ）向量组I 线性相关。

（B ）向量组Ⅱ线性无关。

（C ）向量组I 与Ⅱ都线性相关。

（D ）向量组I 与Ⅱ至少有一个线性相关。

[思路] 因Ⅲ线性相关，|C |=|AB |=|A ||B |=0⇔|A |=0或|B |=0，A ，B 至少有一个不可逆，即（I ）与（Ⅱ）至少有一个相关。

2．设A 为m ⨯s 矩阵，B 为s ⨯n 矩阵，要使ABX =0与BX =0为同解方程组的充分条件是（（B ））。

（A ）r (A ) =m

（C ）r (B ) =S （B ）r (A ) =s （D ）r (B ) =n

[思路] 显然BX =0的解X 也是ABX =0的解。要使ABX =0的解X 也是BX =0的解，即从A (BX ) =0推出BX =0，只有AX =0仅零解⇔r (A ) =S ，故选（B ）。 m ⨯s

三、计算证明题

⎛322⎫⎛010⎫ ⎪ ⎪1．设矩阵A = 232⎪, P = 101⎪, B =P -1A *P ，求

223⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭

B +2I 的特征值与特征向量。

[思路] 求出

00⎫⎛5-2-2⎫⎛7 ⎪ ⎪*-1* A = -25-2⎪⇒B =P A P = -25-4⎪

-2-25⎪ -2-23⎪⎝⎭⎝⎭

⇒求 |λI -(B +2I ) |=(λ-9) 2(λ-3) ，λ1=λ2=9 得 X =k 1(-1, 1, 0) T +k 2(-2, 0, 1) T ，λ3=3, X =k (0, 1, 1) T 。

2．1）设三维列向量α1, α2线性无关，β1, β2线性无关，证明存在非零向量η，使得η既可由α1, α2线性表示，又可由β1, β2线性表示。

2）当α1=(1, 3, 4) T , α2=(2, 5, 5) T , β1=(2, 3, -1) T ，β2=(-3, -4, 3) T 时，求所有既可由α1, α2线性表示，又可由β1, β2线性表示的向量。

[思路] 1）因四个三维向量相关，有不全为零k 1, k 2, k 3, k 4，使k 1α1+k 2α2+k 3β1+k 4β2=0成立，

即： k 1α1+k 2α2=-k 3β1-k 4β2 成立，

即：k 1, k 2不全为零（否则-k 3β1-k 4β2=0推出k 3=0, k 4=0） 令 η=k 1α1+k 2α2=-k 3β1-k 4β2≠0

⎛k 1⎫ ⎪ k 2⎪2）有(α1α2β1β2) ⎪=0， k 3 k ⎪⎪⎝4⎭

解约 K 4⨯1=l (1, 0, -5, -3) T ，即有一组k 1=1, k 2=0, k 3=-5，k 4=-3, η=k 1α1+k 2α2=k 1α1=(k , 3k , 4k ) T 。

模拟题（十）

一、填空题

⎛200⎫ ⎪1．已知三阶矩阵A = 012⎪满足A *AB =4BA -2I ，则

001⎪⎝⎭

B =_________。

[思路] A *A =|A |I =2I ⇒B (2A -I ) =I

⎛1/300⎫ ⎪⇒B = 01-4⎪。

001⎪⎝⎭

⎛a b b ⎫ ⎪2．三阶矩阵A = b a b ⎪, r (A *) =1, A *为A 的伴随矩阵，则

b b a ⎪⎝⎭

a 与b 的关系为a =-2b 。

[思路] r (A *) =1⇒r (A ) =2⇒|A |=0，

|A |=(a +2b )(a -b ) 2=0⇒a =-2b 。

二、选择题

1．n 阶矩阵A 经初等行变换化为B ，下面结论错误的是（（C ））。

（A ）A 与B 等价

（B ）齐次方程组AX =0与BX =0同解

（C ）A 与B 的特征值相同

（D ）A 的行向量与B 的行向量等价

[思路] 行变换化A 为B ，即存在可逆阵P ，使PA =B ，

（A ），（B ），（D ）正确，而等价方阵的⇒A =P -1B 。故A 与B 等价，

特征值不一定相等，故选（（C ））。

2．设A , B 为满足AB =0的任意两个非零矩阵，则必有（（A ））。 m ⨯k k ⨯s

（A ）A 的列向量线性相关，B 的行向量线性相关。

（B ）A 的列向量线性相关，B 的列向量线性相关。

（C ）A 的行向量线性相关，B 的行向量线性相关。

（D ）A 的行向量线性相关，B 的列向量线性相关。

[思路] 因A ≠0, B ≠0⇒r (A ) ≥1, r (B ) ≥1，又A B =0，有m ⨯k k ⨯s r (A ) +r (B ) ≤k ⇒r (A )

相关。

三、计算证明题

⎛11a ⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪1．设矩阵A = 1a 1⎪, β= 1⎪，已知方程组AX =β有解

a 11⎪ -2⎪⎝⎭⎝⎭

但不惟一，试求

1）a 的值。

2）求正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角阵。

[思路] 1）AX =β有解不惟一⇒r (A |B ) =r (A )

λ1=3, λ2=-3, λ3=0分别对应的特征向量为α1, α2，α3（已正交）

单位化为ε1, ε2, ε3⇒Q =(ε1ε2ε3) 正交阵，Q -1AQ =Λ。

2．设A ，B 为4阶方阵，满足AB +2B =0, r (B ) =2，且行列式|I +A |=|I +2A |=0，

（1）求A 的特征值。

（2）证明A 可对角化。

（3）计算|A +3I |=？

[思路] （1）由 |I +A |=0⇒λ1=-1，

1|I +2A |=0⇒λ2=- 2由 AB +2B =0, (A +2I ) B =0⇒可见

B =(β1β2β3) 的列是(A +2I ) X =0的解，因r (B ) =2，故B 中有两个无关列β1, β2是(A +2I ) X =0的解，故有AX =-2X ⇒λ3=-2，且λ4=-2。

1（2） λ1=-1, λ2=-, λ3=λ4=-2对应有4个线性无关特征2

向量，α1, α2，β1, β2，故A 可对角化。

5A +3I 的特征值为u i =λi +3，（3）即u 1=2, u 2=, u 3=u 4=1, 2

5∴|A +3I |=u 1u 2u 3=2⨯⨯1⨯1=5。 2

模拟题（十一）

一、填空题

0⎫⎛1t -1⎫⎛-1t ⎪ ⎪1．A = t 12⎪为正定，而B = t -10⎪为负定，则

-125⎪ 00-1⎪⎝⎭⎝⎭

t =_______。

[思路] 由A 正定得 -4/5

得-4/5

2．3阶方阵A 与B 相似，E 为3阶单位阵，|A +E |=0，|A -2E |=0，且齐次方程AX =0有非零解，则与B 相似的对角阵为_______。

[思路] |A +E |=0⇒λ1=-1, |A -2E |=0⇒λ2=2，AX =0，X ≠0⇒λ3=0，A 与B 相似，有相同特征值，

⎛-1⎫ ⎪-1Q BQ = 2⎪。

⎪0⎝⎭

二、选择题

⎛a 11a 12 a 21a 221．设A = a 31a 32 a ⎝41a 42

⎛0 0P 1= 0 1⎝a 13a 23a 33a 43a 14⎫⎛a 14⎪ a 24⎪ a 24, B = ⎪a 34a 34⎪ ⎪ a a 44⎭⎝4400⎫⎪10⎪ ⎪00⎪01⎪⎭a 13a 23a 33a 43a 12a 22a 32a 42a 11⎫⎪a 21⎪， ⎪a 31⎪a 41⎪⎭001⎫⎛10⎪ 100⎪ 00, P 2= ⎪01001⎪ ⎪ 00000⎭⎝

其中A 可逆，则B -1等于（（C ））

（A ）A -1P 1P 2

（C ）P 1P 2A -1

（B ）P 1A -1P 2 （D ）P 2A -1P 1 [思路] 因B 是A 的第2列与第3列对换，第1列与第4列得到

-1-1A =P 1P 2A -1。故选（C ）的，即AP 2P 1=B ⇒B -1=P 1-1P 2。

2．设向量组α1, α2, , αr 是向量组α1, α2, , αr ，β的一个极大线性无关组，记n ⨯r 矩阵A =(α1α2 αr ) ，则非齐次线性方程组

（B ））。 AX =β （

（A ）必无解。

（B ）必有解，且解唯一。

（C ）必有解，且有无穷多组解。

（D ）不能确定，可能有解，可能无解。

[思路] r (A ) =r (α1α2 αr ) =r ，由条件知β必可由n ⨯r

α1, α2, , αr 线性表示⇒r (α1α2 , αr ) =r (α1α2 , αr , β) =r ，

。 ⇒A X =β有唯一解。选（B ）n ⨯r r ⨯1

三、计算证明题

⎛10⎫ ⎪1．设3阶方阵A 的每一行之和为4，矩阵B = 01⎪，且AB =0，

11⎪⎝⎭

（I ）求A 的特征值及特征向量；

（Ⅱ）求矩阵A 。

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪[思路] （I ）因A 1⎪=4 1⎪⇒λ1=4, α1= 1⎪。

1⎪ 1⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪因 AB =0⇒A 0⎪=0 0⎪, A 1⎪=0 1⎪，

1⎪ 1⎪ 1⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛1⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⇒λ2=0, α2= 0⎪, λ3=0, α3= 1⎪。

1⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭

（Ⅱ） α1, α2, α3线性无关，故A 可对角化

⎛4⎫⎛4⎫⎛44-4⎫ ⎪ ⎪-1 ⎪-1P AP = 0⎪, A =P 0⎪P = 44-4⎪。

⎪ ⎪ 44-4⎪00⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛11-1⎫⎪-1 其中 P =(α1α2α3), P = 0-11⎪。

-101⎪⎝⎭

222+3x 2+3x 3+2ax 2x 3, a >0，通过正交变2．已知二次型f =2x 1

222+y 2+5y 3换X =QY 化为标准形2y 1

（I ）求a 及正交变换X =QY

222+x 2+x 3=1下的最大，最小值。 （Ⅱ）求f 在条件x 1

⎛200⎫ ⎪[思路] （I ）由于矩阵A = 03a ⎪相似于

0a 3⎪⎝⎭

⎛2⎫ ⎪Λ= 1⎪⇒|A |=|Λ|，求出a =2。

⎪5⎝⎭

由λ1=2, λ2=1, λ3=5求出对应的特征向量。

α1=(1, 0, 0) T , α2=(0, 1, -1) T , α3=(0, 1, 1) T 。

正交化单位化得标准正交组ε1ε2ε3，构成正交阵

00⎫⎛1 ⎪Q = 01/21/2⎪, X =QY 。 0-1/21/2⎪⎝⎭

X =QY 222222（Ⅱ）f 2y 1+y 2+5y 3≤5(y 1+y 2+y 3) =5 |Y |=|X |=1

f X =QY 222222y 1+y 2+5y 3≥(y 1+y 2+y 3) =1。

模拟题（十二）

一、填空题

⎛0a 1⎫ ⎪1．则a 与b 的关系为a +b = 0。 A = 020⎪相似于对角矩阵，

42b 0⎪⎝⎭

[思路] 由A 可对角化，则A 的二重特征值对应两个线性无关的特征向量。因|λI -A |=(λ-2) 2(λ+2) ，对于λ=2， r (2I -A ) =1⇒a +b =0。

2．向量组α1=(1, 1, 1, 1) T , α2=(2, 3, 1, -1), α3=(t , 4, 2, 0) T 所生成的向量空间维数是2，则t = 3 。

[思路] L [α1α2α3]={α=k 1α1+k 2α2+k 3α3}的维数为2，则空

间的基含两个无关的向量（即极大无关向量只有两个），从而α1, α2, α3线性相关⇒r (α1, α2, α3) =2⇒t =3。

二、选择题

1．设任两个n 维向量组α1, α2, , αm 和β1, β2, , βm 若有两组不全为零的数λ1, λ2, , λm 和k 1, k 2, , k m 使

(λ1+k 1) α1+(λ2+k 2) α2+ +(λm +k m ) αm

+(λ1-k 1) β1+(λ2-k 2) β2+ +(λm -k m ) βm =0，则有（（D ））。

（A ）α1, α2, , αm 和 β1, β2, , βm 都线性相关。

（B ）α1, α2, , αm 和 β1, β2, , βm 都线性无关。

（C ）α1+β1, α2+β2, , αm +βm ，α1-β1, α2-β2, , αm -βm 线性无关。

（D ）α1+β1, α2+β2, , αm +βm ，α1-β1, α2-β2, , αm -βm 线性相关。

[思路] 已知式变形为：

λ1(α1+β1) +λ2(α2+β2) + +λm (αm +βm )

+k 1(α1-β1) +k 2(α2-β2) + +k m (αm -βm ) =0 因 λ1, λ2, , λm , k 1, k 2, , k m 不全为零，故推出线性相关。

2．A 为n 阶实对称矩阵|A |

（A ）对所有n 维向量X ≠0，都有X T AX

（B ）必存在n 维向量X ≠0，使得X T AX

（C ）对所有n 维向量X ≠0，都有X T AX >0。

（D ）对所有n 维向量X ≠0，都有X T AX ≤0。

[思路] |A |=λ1λ2 λn

222，取 f =X T AX =λ1y 1+λ2y 2+ +λn y n

Y 0=(y 1, y 2, , y n ) T =(0, 0, , 0, 1) T ，即有X 0=QY 0≠0 使 f =X T AX =λn

三、计算证明题

1．设n 阶方阵A 的n 个列向量为α1, α2, , αn ，设n 阶方阵B 的n 个列向量α1+α2, α2+α3, , αn -1+αn , αn +α1，试问，当r (A ) =n 时，方程组BX =0是否有非零解，证明你的结论。

[思路] B =(α1+α2, α2+α3, , αn +α1) =(α1α2 αn ) H n ⨯n A =(α1α2 αn ), r (A ) =n ⇒BX =0⇔HX =0。 ⎧|H |=0⇒有非零解。(n 为奇数) 当⎨ ⎩|A |≠0⇒仅零解。(n 为偶数)

b -2⎫⎛1 ⎪2．设A 为三阶实对称矩阵，且存在可逆阵P = a a +1-5⎪，

2⎪11⎝⎭

⎛1⎫ ⎪*-1A 使得P AP = ，又的伴随阵有特征值λ0，λ0所对2A ⎪ ⎪-1⎝⎭

应的特征值为α=(2, 5, -1) T 。

（I ）求λ0的值，（Ⅱ）求a ，b 的值，计算(A *) -1，（Ⅲ）计算|A *+E |，E 为单位阵。

[思路] 设α1=(1, a , 2) T , α2=(b , a +1, 1) T , α3=(-2, -5, 1) T

λ1=1, λ2=2, λ3=-1。 ⇒A α1=1α1, A α2=2α2, A α3=(-1) α3 ∵ A 为实对称⇒不同特征值对应特征向量正交

T ⎧α⎪1α3=0 ⎨⇒a =0, b =-2 T ⎪⎩α2α3=0

（I ） A α3=(-1) α3，A *与A 的特征向量相同，|A |=-2 A 的特征值λ0=

*-1*|A |λ3=-2=2 -1A -1==A ， |A |2（Ⅱ）(A ) =(|A |A ) -1-1

-1-1/5⎫⎛1⎫⎛7/5 ⎪-1 ⎪ A =P 2⎪P = -1-1/21/2⎪

-1/5-1/211/10⎪-1⎪⎝⎭⎝⎭

|A |-2|A |-2*（Ⅲ）A 的特征值为u 1===-2, u 2===1， λ11λ22

u 3=2

A *+E 的特征值为u i +1⇒|A *+E |

=(u 1+1)(u 2+1)(u 3+1) =-6。