关于维恩位移定律中常数b的计算
2010年9月 伊犁师范学院学报（自然科学版） Sept.2010 第3期 Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition） No.3
关于维恩位移定律中常数b的计算
阿克木哈孜
（伊犁师范学院 物理与电子信息学院，新疆 伊宁 835000）
摘 要：分别用单位波长对应的能量密度和单位频率对应的能量密度求出了维恩位移定律中的常数b，对比发现这两种方法所得b值不同. 通过对两种能量密度分布曲线进行比较，发现两种能量密度分布函数的意义不同，由单位频率对应的能量密度所求得b值的方法有误.
关键词：黑体辐射；维恩位移定律；能量密度
中图分类号：O413.1 文献标识码：A 文章编号：1673—999X（2010）03—0031—03
应用普朗克黑体辐射公式可以推导维恩位移定律，但是笔者发现不同文献中推导出来的维恩位移定律中常数b的数值不同，本文对此问题进行了研究.
1 维恩位移定律中常数b的两种计算法
文献[1]第一章习题中，有这样一道题： 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm与温度T成反比，即
dλ （3） λ2
，可得 式（1）和（3）代入式（2）
8πhcdλ
ρλ(T)dλ=5hckT （4）
λe−1
dv=
此式也是黑体辐射普朗克公式.
为了方便利用普朗克公式（4）导出维恩位移定律，令x=
c
hc
. 这样ρλ(T)可写成 λkT
8πk5T5x5
ρx(T)=44x，
che−1
λmT=b（常数），
并近似计算b的数值，精确到二位有效数字.
1.1 解法一：用单位波长对应能量密度ρλ(T)来求解b的数值
解：普朗克黑体辐射公式为：
8πhv3dv
ρv(T)dv=3 （1） hvkT
ce−1式中ρv(T)dv是黑体内频率在v到v+dv之间的辐射能量密度. 设ρλ(T)dλ是黑体内波长在λ到
为求ρx(T)的极大值，需求出dρx(T)/dx，并令它为0，即
dρx(T)8πk5T5d⎛x5⎞
=44⎜⎟ dxchdx⎝ex−1⎠
8πk5T55x4(ex−1)−x5ex=44 2xch(e−1)
λ+dλ之间的辐射能量密度，它们是等价的，即
ρv(T)dv=ρλ(T)dλ （2）
因为v=
=0，
于是得
5ex−xex−5=0，
即
c
λ
，等式两边进行微分可得
5−x=5e−x （5）
用图像法、迭代法等近似解法，求解超越方程（5），可得x≈4.9651，所以
收稿日期：2009—12—28
作者简介：阿克木哈孜（1964—），男（哈萨克族），伊犁师范学院物理与电子信息学院副教授.
32 伊犁师范学院学报（自然科学版） 2010年
x=
移项后，可得
hc
=4.9651， λmkThc
=2.8214 （10） kTλm
即
Tλm=b=5.1×10−3mgK （11） 这就是维恩位移定律.
[3]
hc
=2.898×10−3mgK （6）
4.9651k
[2]
这个值与实验中得出的b值相符，故上式可写成
λmT=b，
λmT=
2 讨论
以上两种不同解法，得出式（7）和式（11），比较两式可以看出，两种方法得出的维恩位移定律中b的数值不同. 那么，哪一个结果正确呢？下面通过做图法，全面考察两种能量密度分布的具体情况，进行具体数值一对一的比较，寻找问题根源.
当黑体温度 T=2000K时，利用Excel分别绘制
此即维恩位移定律，b的数值精确到二位有效数字
为
b≈2.9×10−3mgK （7）
1.2 解法二：用单位频率对应能量密度ρv(T)来求
解b的数值
，求解：直接利用普朗克黑体辐射公式（1）
ρv(T)极大值对应的频率v与温度T的数值关系，
并通过频率与波长之间的关系，估算维恩位移定律中b的数值. ρv(T)取极大值时，满足极值条件
ρλ(T)—λ图（如图1所示）和ρv(T)—v图（如图
2所示），波长范围为5×10-7 m～1.2×10-5 m，对应图
2频率范围为2.5×1013 Hz～6×1014 Hz.
图1中，能量密度ρλ(T)的极大值对应的波长为λm，根据（6）式或图1得λm=1.45×10-6m，此
c
波长相应的频率v0==2.07×1014Hz，它对应图
∂ρv(T)hv
=0. 令x=，极值条件亦即 ∂vkT
dx3
=0，
dxex−1
由此得出x满足的方程为
λm
2中的v0.
图2中，能量密度ρv(T)的极大值对应的频率
2.8214kT
为vm，根据（8）式或图2得vm==1.175×
h
c= 1014Hz，此频率相应的波长为λ0=vm3×108
=2.55×10−6m，它对应图1中的λ
0. 14
1.175×10
3e−x=3−x，
用数值解法可解出x=2.8214，因此
hvm
=2.8214 （8） kT
频率与波长之间的关系为
cvm= （9）
λm
（9）式代入（8）式，可得
6.00E+03
5.00E+03
4.00E+03
3.00E+03
2.00E+03
1.00E+03
0.00E+00
0.00E+00
2.00E-06
4.00E-06
6.00E-06
8.00E-06
1.00E-05
1.20E-05
图1 单位波长对应的能量密度ρλ(T)与波长λ之间变化关系
第3期 阿克木哈孜：关于维恩位移定律中常数b的计算 33
7.00E-17
6.00E-17
5.00E-17
4.00E-17
3.00E-17
2.00E-17
1.00E-17
0.00E+00
0.00E+00
1.00E+14
2.00E+14
3.00E+14
4.00E+14
5.00E+14
6.00E+14
7.00E+14
8.00E+14
9.00E+14
1.00E+15
图 2 单位频率对应的能量密度ρv(T)与频率v之间变化关系
因为单位波长对应的能量密度ρλ(T)和单位频率对应的能量密度ρv(T)的物理意义不同，各个能量密度分布函数的具体形式不同，所以能量密度ρλ(T)的极大值所对应的波长λm与能量密度ρv(T)的极大值所对应的频率vm不相应.
笔者根据以上分析得出解法二中提到的等式（9）不成立，即 vm≠式（11）错误.
参考文献：
[1]周世勋，主编. 量子力学教程[M]. 北京：高等教育出版社，1979.
[2]东南大学等七所工科院校，主编. 物理学(下册)[M]. 北京：高等教育出版社，1999.
[3]钱伯初，主编. 量子力学[M]. 北京：高等教育出版社，2006.
[责任编辑:张建国]
c
λm
，所以，解法二的结果