数列的最大项与最小项05
数列的最大与最小项问题
学习要点: 数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题,也是函数最值问题的一个重要类型,问题的解答大致有下面一些方法:
1.直接求函数a n =f (n ) 的最大值或最小值,根据f (n ) 的类型,并作出相应的变换,
运用配方、重要不等式性质或根据f (n ) 本身的性质求出f (n ) 的最值,也可以考虑求导解决,但必须注意,不能直接对f (n ) 求导(因为只有连续函数才可导),而应先对f (n ) 所在的函数f (x )(x >0) 求导,得到f (x ) 的最值,然后再分析f (n ) 的最值.
2.考察f (n ) 的单调性:f (n +1) -f (n ) >0(或
的最值情况.
3.研究数列a n =f (n ) 的正数与负数项的情况,这是求数列{a n }的前n 项和S n 的最大
值或最小值的一种重要方法.
[例1]首项为正数的等差数列{a n },它的前4项之和与前11项之和相等,问此数列前多少项
之和最大?
[解法一]记{a n }的前n 项和为S n ,∴S 4=S 11,
4⨯311⨯101
d =11a 1+d ⇒d =-a 1
a n (n -1) 1
∴S n =na 1+⨯(-a 1) =1(-n 2+15n ) 2714
a 15225=1[-(n -) 2+],1424
∴n =7或n =8时, S n 最大,
∴4a 1+
[解法二]由解法二知d =-
的和最大,
1
a 1
S 4=S 11⇒a 5+a 6+ +a 11=0⇒7a 8=0∴a 1>a 2> a 7>a 8=0, 而0=a 8>a 9>a 10>
∴{a 7}中前7项为正数项,从第9项开始各项为负数,
而S 7=S 8, ∴S 7或S 8最大.
[评析]解法一抓住了S n =f (n ) 是二次函数的特点,通过配方法直接求出了最大项. 而解法二
通过考察{a n }的单调性与正、负项的情况得到最大项.
[例2]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12, S 12>0, S 13>0, (I )求公差d 的取值范围;
(II )指出S 1, S 2, , S n 中哪一个最大?说明理由; (III )指出
S S 1S 2
, , , n 中哪一个最小?说明理由. a 1a 2a n
6(a 1+a 12)
=3(a 6+a 7) >0⇒a 6+a 7>0①,
2
[解析](I ) S 12>0⇒
S 13
由①、②得⎨
⎧2a 3+7d >024
⇒-
7⎩a 3+4d
⎧a 6>-a 7>0
(II )由①、②得⎨, 而d
a a 2> >a 6>0>a 7>a 8 ,
∴S 1S 7>S 8> , 故S 6最大;
(III ) S 1S 7>S 8> >S 12>0>S 13>S 14> ,
∴在S n S S S
}中, 只有7, 8, , 12这六项为负值,而其余各项均为正数, a n a 7a 8a 12
∴{
S n
}的最小项只可能是这六项中的一项, a n
⎧S 7>S 8> >S 12>0
S 7S 8S 12⎪
->-> >->0 ⎨1⇒11
a 7a 8a 12
⎪-a >-a > >-a >0
812⎩7⇒
S 7S 8S S S
[评析]通过讨论数列中的正、负项(并结合讨论单调性)是求数列前n 项和的最大、最小值的重要方法.
[例3]设n ∈Z ,当n 是什么数时,
S n =|n -1|+|n -2|+|n -3|+ +|n -100|取最小值,并说明理由.
[解析](1)当n ≤0时S n ≥1+2+ +100=5050;
(2)当n ≥1时,考察{S n }的单调性,
S n +1-S n =(|n |+|n -1|+ +|n -99|)-(|n -1|+|n -2|+ +|n -100|)=n -|n -100|,
①当n ≥100时, S n +1-S n =100>0, {S n }单调递增,
∴当n ≥100时, S n ≥S 100=4950;
②当1≤n
∴当1≤n ≤49时S n +1
当26≤n S n , {S n }单调递增;
而当n =50时S 51=S 50=49+48+47+ +1+0+1+2+3+ +49+50 =
49⨯5050⨯51
+=250. 0 22
综上,当n =50或n =51时,(S n ) min =2500.
[评析]命题中的数列是比较特殊的数列,虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性,但具
体过程更灵活. [例4]已知函数f (x ) =3x +bx +1是偶函数, g (x ) =5x +c 是奇函数,正数数列{a n }满
2
2
足:a 1=1, f (a n +1+a n ) -g (a n +1a n +a n ) =1.
(I )若{a n }的前n 项和为S n , 求lim S n ;
n →∞
(II )若b n =2f (a n ) -g (a n +1), 求{b n }中的项的最大值和最小值.
[解析](I )由条件得b =c =0, ∴f (x ) =3x 2+1, g (x ) =5x ,
2由条件得3(a n +1+a n ) 2-5(a n +1a n +a n ) =0
22⇒3a n +1+a n +1a n -a n =0⇒(3a n +1-2a n )(a n +1+a n ) =0
a n >0, ∴∴lim S n =
n →∞
a n +12
=, a n 3
∴{a n }是公比q =
2
是等比数列, 3
a 1
=3; 1-q
5283) +, 1854
(II )b n =ϕ(a n ) =2f (a n ) -g (a n +1) =6(a n -
2
a n =() n -1,
3
∴0
0
51
∴当n =1时b n 最大, 即(b n ) max
14=b 1=,
3
24816
当n =1, 2, 3, 4, 5, 时, a n =1, , , , ,
392781
1658324548
∴
[**************]
88374
∴当a n =, 即n =4时, (b n ) min =b 4=ϕ() =.
2727243
[评析]由于b n 是关于a n 的二次函数,所以选择配方法完成,但与普通二次函数不同的是函数
的定义域不是连续的数集,而是由间断的实数构成,这也是数列中才会出现的特点. [例5]求数列{a n =n }的最大项与最小项.
[解析]通过计算可知:当n ≥3时单调递减,由此可得最大项与最小项,但是用一般方法:
a n +1-a n 或
a n +1
却证明不了{a n }的单调性. a n
考察函数f (x ) =x (x ≥3) 的单调性,∵ln [f (x )]=
1x
1
ln x , x
1
11-ln x 1-ln x x '两边对x 求导得:⋅f '(x ) =, ∴f (x ) =x ⋅, 22f (x ) x x ∴当x ≥3时f '(x )
∴3>4>> >n >1, 又由84>> >1,
故, {a n }的最大项为a 3=3, 最小项为a 1=1.
[解法二]用数学归纳法证明当n ≥3时n n +1
1 当n =3时,
64
k +1
2 假设当n =k (k ≥3) 时k k +1
k
⇒(k +1) (k +2)
k k +1
k +1
(k +2)
k +1
=(k +2k )
2k +1
即k +k +2
∴当n =k +1时命题也成立,
∴3>4>5> >1. 下同解法一.
[评析]这是比较困难的问题,因此采取了与前面一些例题不同的特殊方法来证明数列的单调
性.
《训练题》
一、选择题:
100n
n =1, 2, 3, ) 中 1.数列{a n =n !
A .a 1最大,而无最小项 C .有最大项,但不是a 1
( )
B .a 1最小,而无最大项 D .有最小项,但不是a 1
( )
2.已知a n =
n
(n ∈N +), 则数列{a n }的最大项是
n 2+156
B .第13项 D .不存在
A .第12项 C .第12项或第13项
3.数列{a n }的通项公式是a n =-2n 2+29n +3, 则{a n }中最大项的值是
A .107
( )
3
8
B .108
C .108
1 8
D .109
4.已知数列{a n }的通项公式为a n =
n -2002n -2003
, 则{a n }中
( )
A .存在最大项与最小项,且这两项的和大于2 B .存在最大项与最小项,且这两项的和等于2 C .存在最大项与最小项,且这两项的和小于2 D .既不存在最大项,也不存在最小项
5.设{a n }(n ∈N *) 是等差数列,S n 是其前n 项和,且S 5S 8,则下列结
论错误的是
A .d S 5
B .a 7=0
D .S 6和S 7均为S n 的最大值
( )
6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 若a 1>0,并且存在一个大于2的自然数k ,使a k =S k ,
则 ( )
A .{a n }递增,S n 有最小值 C .{a n }递减,S n 有最小值
B .{a n }递增,S n 有最大值 D .{a n }递减,S n 有最大值
二、填空题:
7.设S n =1+2+3+ +n , n ∈N , 则f (n ) =
*
S n
的最大值为(n +32) S n +1
8.{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,a 3+a 8>0, S 9
则在S 1, S 2, S 3, , S 9中最小的是9.等比数列{a n }中,首项a 1=1536, 公比q =-
1
, 用∏n 表示它的前n 项的乘积,则 2
∏n (n ∈N *) 最大时,n
10.设等差数列{a n }满足:3a 8=5a 13, 且a 1>0, S n 为其前n 项和, 则S n (n ∈N *) 最大时, n 三、解答题:
11.已知数列{a n }的通项公式a n =lg(105⋅51-n ), 问数列{a n }的前多少项之和最大?并求其
最大值. (取lg 2=0. 3010)
12.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1>0, d 0, S 2k +1
的最大值.
13.数列{a n }为正项等比数列,它的前n 项和为80,前n 项中数值最大的项为54,而前2n
项的和为6560,试求此数列的首项a 1和公比q . 14.已知数列{a n }中:a 1=1, a n +1=2n a n (k ∈N +) ,
(I )求a n (II )若b n =log 2(
a n
), 求数列{b n }最小项的值; n 4
(III )设数列{c n }的前n 项为b n ,求数列{|c n |}的前n 项和S n .
15.数列{a n }中,a n +1+a n =3n -54(n ∈N +) .
(I )若a 1=-20, 求{a n }的通项公式a n ;
(II )设S n 为{a n }的前n 项和, 当a 1>-27时, 求S n 的最小值.
《答案与解析》
一、1.C 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 二、7.
1
8.S 5 9.12 10.20 50
11.a n +1-a n =lg(105⋅5-n ) -lg(105⋅51-n ) =(5-n lg 5) -[5+(1-n ) lg 5] =-lg 5,
∴{a n }是公差d =-lg 5
∴所有的正数项之和最大,
而a 1=5>0, 令⎨
⎧a n ≥0⎧5+(1-n ) lg 5≥055
⇒⎨⇒
lg 5lg 5⎩a n +1
55
1-0. 30101-0. 3010
8⨯7
∴{a n }的前8项之和最大, 且S 8=5⨯8-lg 5=20. 428.
2⇒
⎧S 2k +1=(2k +1) a k +1
⇒⎨,
⎩S 2k =k (a k +a k +1) >0⎩a k >-a k +1>0
12. ⎨
a 1>0, d a 2> >a k >0>a k +1>a k +2> ,
∴S 1S k +1>S k +2> , 故S k 为最大值.
n
13. q =
S 2n -S n
,∴q >1, ∴a n 为最大项, =81(也可由公式得到)
S n
=54, 得a 1=
2
q , 代入S n =80得a 1=2, q =3. 3
即a 1q
n -1
n (n -1)
a n a 2
14.(I )a n =a 1⋅⋅ ⋅=22;
a 1a n -1
n 2-5n 155
=(n -) 2-, ∴当n =2或3时(b n ) min =-3; (II )b n =
2228
5n -n 2
; (III )c n =n -3, ①当n ≤3时,S n =
2
n 2-5n +12
. ②当n ≥4时, S n =b n -2b 3=
2
15.(I ) ⎨
⎧a n +1+a n =3n -54
, 两式相减得a n +2-a n =3,
⎩a n +2+a n +1=3n -51
∴a 1, a 3, a 5, , 与a 2, a 4, a 6, 都是d =3的等差数列, ∴a 2=-31, ①当n 为奇数时,a n =-20+(
a 1=-21,
n +13n -43
-1) ⨯3=; 22
n 3n -68
; ②当n 为偶数时,a n =-31+(-1) ⨯3=
22
(II )①当n 为偶数时,S n =(a 1+a 2) +(a 3+a 4) + +(a n -1+a n ) =(3×1-54)+(3×3-54)+…+[3(n -1)-54]=3[1+3+5+…+(n -1)]
n 33
⨯54=n 2-27n =(n -18) 2-243, ∴当n =18时,
244
(S n ) min =-243; ② 当n 为奇数时, S n =a 1+(a 2+a 3) + +(a n -1+a n ) -
3210533
n -27n ++a 1=(n -18) 2-216+a 1, ∴当n =17或19
4444
时(S n ) min =a 1-216>-243; 综上, 当n =18时(S n ) min =-243. =