2014年杭州初中数学教师解题能力竞赛卷

2014年杭州市初中数学青年教师解题能力竞赛

试题卷

一、选择题 (本题有8个小题, 每小题3分, 共24分) 四个选项中, 只有一个是正确的. 1．可以用来证明命题“若a 2>0. 01，则a >0. 1”是假命题的反例（ ）

A. 可以是a ＝－0.2，不可以是 a ＝2 B ．可以是a ＝2，不可以是 a ＝－0.2 C ．可以是a ＝－0.2，也可以是 a ＝2

D ．既不可以是a ＝－0.2，也不可以是 a ＝2 2．已知杭州市2014年1月24日部分整点时气温的统计图，则这天各整点时气温的中位数是（ ） A ．10.5 B ．10.9 C ．12.9 D ．13.3 3．已知m ＝ (

) ⨯(–

，则有（ ）

(第2题)

A ．5.0

2

4．已知平行四边形ABCD 的面积为16 cm，对角线交于点O ；以AB ，AO 为邻边做平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB ，AO 1为邻边做平行四边形AO 1C 2B ；„；依此类推，则平行四边形AO 4C 5B 的面积为（ ）

112222

A ．2cm B ．1cm C ．cm D ．cm

245．已知∠BAC ＝90º，半径为r 的圆O 与两条直角边AB ，AC 都相切，设AB ＝a （a > r），

BE 与圆O 相切于点E ．现给出下列命题：

① 当∠ABE ＝60º时，BE ＝3r ； ② 当∠ABE ＝90º时，BE ＝r ； ③ 当∠ABE ＝120º时，BE ＝

3

r ； 3

其中正确的命题是（ ）

A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③

6．在直角坐标系中有一个正五边形ABCDE ，其中C ，D 两点的坐标分别（第6题）

为(1，0) ，(2，0) ．若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x 轴向右连续滚动，则滚动过程中，能与点(2014 , 0)重合的是 （ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D 7． 设O 是等边三角形ABC 内一点，已知∠AOB ＝115°，∠BOC ＝125°，则在以线段OA ，OB ，OC 为边构成的三角形中，内角不可能取到的角度是 （ ） A ．65° B ．60° C ．55° D ．50°

8．对于点A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，定义一种运算：A ⊕B ＝(x 1+x 2)+(y 1+y 2) ．例如，A (－5，4) ，B (2，－3) ，A ⊕B ＝(－5+2)+(4－3) ＝－2．若互不重合的四点C ，D ，E ，F ，满足C ⊕D ＝D ⊕E ＝E ⊕F ＝F ⊕D ，则存在实数k ，使得C ，D ，E ，F 四点都在（ ） A ．函数y ＝x + k 的图象上 B ．函数y ＝－x + k的图象上

－

C ．函数y ＝kx 1的图象上 D ．函数y ＝kx 2的图象上

二． 填空题 (本题有6个小题, 每小题5分, 共30分)

9．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．设至少要答对n 道题，得分才能超过90分，则n 等于．

10．线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC ，BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的取值范围是 ．

11．抛物线y ＝ax 2 + bx + c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，则ac ＝ ．

12．平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点A (－2，2) ，点O (0，0) 和点B (6，6) ，点N 在抛物线上且位于直线OB 下方，则△BON 面积的最大值为 ，此时点N 的坐标为 ． 13．在△ABC 中，∠BAC =60︒，∠ABC =45︒，AB ＝22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连结EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，有一个边长为2的等边三角形ABC ，AC ∥y 轴． 平移△ABC 使它的某两个顶点分别在x 轴，y 轴上，则此时△ABC 的第三个顶点的坐标是 ．

三． 解答题 (本题有7个小题, 共66分) 解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤． 15．(本小题满分6分) 设关于变量x 的二次函数．当x ＝－2时，该函数的值为零，请写出两个符合条件的函．．数解析式；当x ＝m 时，该函数的值为n (m ，n 是常数），请用一个函数解析式表示所有符合条件的函数．

16．(本小题满分8分) 如图，任两个竖直或水平相邻的点都相距1个单位长度．若线段AB 交线段CD 于点E ，试用两种方法求线段AE 的长．

（第16题）

17．(本小题满分8分)

掷两个骰子，点数之差记为k (k 为整数) ．

(1) 用右表表示所有可能出现的情况，请将它写填完整，并写出k 可以取的所有值；

(2) 把点数之差等于k 的概率记为P k ． ①当k ＝－2时，求P k ；

②对所有的k 值，求出对应的P k ，并用k 表示P k ．

18．(本小题满分10分) 已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E ，F 分别在直线AD ，BC 上．已知点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称． （1）求∠AEB －∠DEF 的值 ； （2）tan ∠ADB 的值; (3) 关于点G 与△BEF ，你能发现什么结论？并说明理由．

(第18题)

19．(本小题满分10分)

在平面直角坐标系中，设x 轴、y 轴分别为直线l 1，l 2，函数y ＝x ，y ＝-x 的图象分别是直线l 3，l 4，圆P （以点P 为圆心，1为半径）与直线l 1，l 2，l 3，l 4中的两条相切． (1)当圆心在第一象限或x ，y 轴正半轴上时，分别写它们的圆心P 的坐标；

(2) 满足条件的圆P 的圆心有几个？请尝试将点P 进行分类，并简要描述你的分类标准；

(3) 若直角坐标系中有五条直线交于原点O ，并将周角十等

（第19题）

分，单位圆P 与这五条直线中的两条相切，试求满足条件的圆心P 的个数？ (4) 将题（3）中“五”用“n ”替换，“十”用“2n ”替换，其它不变．

20．(本小题满分12分)

如图，已知正方形ABCD 的边长为2，对称中心为点P ，点F 为射线

C B 边上一个动点，作∠EPF ＝45︒（射线PE 在PF 的左侧）, 射线PE 交直

线AB 于点E ，若∠EPF 与正方形的公共部分命名为图形Ⅰ，图形Ⅱ与图形Ⅰ关于直线AC 成轴对称．设图形Ⅰ，图形Ⅱ的面积和为S 1，四边形CMPF

S 的面积为S 2，CF ＝ x ， y ＝1．

S 2

（第20题）

（1）求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出当点E ，F 分别在AB ，BC 边上时y 的最大值；

（2）图形Ⅰ、Ⅱ能否关于点P 成中心对称？若能，求出y 的值；若不能，则说明理由．

21．(本小题满分12分)

x +1)(x -2) 与x 轴交于A ，C 两点，与y 轴交于B 点，点P ，Q

位于抛物线的对称轴上，且PQ =．

（1）求四边形ABQP 周长的最小值；

（2）在（1）成立的条件下，当以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△QBP 相似时，求点D 的坐标．

赛后思考题（竞赛时不作答，供竞赛后玩玩用）：

设抛物线y =

两个袋子中分别放有n 个大小、重量相同的球，球上分别标有自然数1，2，3，„，n ．从两个袋子各摸出一个球，球上标有的两数之差记为k (k 为整数) ，两数之差等于k 的概率记为P k ．试写出P k 关于k 的表达式．