黎曼猜想证明

黎曼猜想证明

李联忠

（营山中学 四川营山 637700）

摘要：黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是½ ，1901年瑞典数学家Helge von Koch证

x

明了黎曼猜想与强条件的素数定理(x)

x

ln

2

dtx

O(xlnx)等价 ，本文通过证明

(x)

ln

2

dtx

O(xlnx)是正确的，间接证明黎曼猜想。

关键词：数论；素数；黎曼猜想

中图分类号：015 文献标识码： 文章编号： 黎曼猜想：黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是½ ，1901年瑞典数学家Helge von Koch

x

证明了黎曼猜想与强条件的素数定理(x)

x

ln

2

dtx

O(xlnx)等价 ，下面证明

(x)

ln

2

dtx

O(xlnx)是正确的。

先证引理

引理1：若p12,p23，…pj…,pi,为连续素数，且pj| n ， 则 n≠o (modpj) 的 数的个数

i

yi(n)n(1

j1

1pj

).

证明：I.当i=1时,

∵ p1=2 , p1|n ∴ yi(n)n结论成立。

Ⅱ.假设i=k时，结论成立，即：

k

n2

n(1

12

)n(1

1p1

)

yk(n)n(1

j1

1pj

) 成立。

当i=k+1时，

∵ p1|n，p2|n，…， pk|n，据归纳假设

k

∴ yk(n)n(1

j1

1pj

)

又 ∵ pk1|n

∴ n≠o (modpk1) 的数有

npk1

个，即是pk1的

1 、2 、3 、… 、

npk1

这

npk1

个倍数。而这

npk1

个数在去了p1,p2,,pk的倍数后，据归纳假设还余

npk1

k

(1

j1

k

1pj

)

∴ yk1(n)n(1

j1k

1pj1pj

)

npk1

k

(1

j1

1pj

k1

)

n(1

j1

)(1

1pk1

)n(1

j1

1pj

)

∴ i=k+1时，结论

k1

yk1(n)n(1

j1

1pj

) 成立。

由I、Ⅱ可得，当i为任何正整数，结论都成立。

所以， 若p12,p23，…pj…,pi,为连续素数，且pj| n ， 则 n≠o (modpj)

i

的数的个数yi(n)n(1

j1

1pj

).

引理1证毕。 引理2：若(x)



px

(1

1p

x

)

k1

1k

，则 e



≤(x)≤0.75

x

证明：设 (x)

x



k1

1k

lnx

∴



k1

1k

lnx(x)

x

∴ (x)



px

(1

1p

)

k1

1k

=(1

px

1p

)(lnx(x))

根据Mertens定理3



px

(1

1p

x

)

e



lnx

O(

1ln

2

x

)

∴ (x)



px

(1

1p

)

k1

1k

=(1

px



1p

)(lnx(x))

=(

e

lnx

O(

1ln

2

x

))(lnx(x))

=e





e



((x))lnx

O(

lnx(x)

ln

2

x

)

∴ (x)是波动减小的，波幅也减小。

∵

lim

x

(x)

lim

x

(1

1p

x

)

k1

1k

px

=lim(

x

e



lnx1p

O(

x

1ln

2

x

))(lnx(x))=e



∴ e 即



≤(x)



px

(1

)

k1

1k

≤(2)=0.75

e≤(x)≤0.75 引理2证毕。

引理3（素数连乘积分布定理）：若p12,p23，…pk…,pi,pi1为连续素数，

pin＜pi1 则不大于n的素数个数公式为

sk

212

（S） π(n)=(pk1pk)(1)O((n)) （log

pjk1j1

i

2

2

pk

psk）

或

l

（L） π(n)=n(1

j1

1pj

)O((n)) （logpipl）

2222

证明： ∵ n＝3+(8－3)+(24－8)+(48－24)+…+(pk1pk)+…+(pi1pi)

22

∴ 根据引理1，区间［pk,pk1）的素数个数可近似表示为

k

(p

2k1

p)

2k



j1

(1

1pj

)

因为 pk到

pk1pk

2

之间的数，去p12,p23，pupt…pj…,pk1的倍数后，

1pk

余下的数的个数所占比例大于

，这不是因为pŒn导致的，而是因为当pj=p

t时，pk到

pk1pk

2

之间的数没有pj的倍数，所以在去掉p12,p23，pupt…pj…

pk1,的倍数后，余下数中，pk的倍数个数不是

pi1pi

pi

22

t1

(1

u1

1pu

k1

)(1

jt

1pj

)

而是

pi1pi

pi

2

2

t1

(1

u1

1pu

)

这不是p是否整除n的问题，而是n受pn＜p

2

k2k1

限制，而使pk到

pk1pk

2

之间的数

没有达到有pj…,pk1的倍数的范围，前面证明引理1时，去p12,p23，…pj…, pk1的倍数后，再去pk的倍数，减去的是

pi1pi

pi

2

2

t1

(1

u1

1pu

k1

)(1

jt

1pj

)

22

而n受pin＜pi1限制，实际是

2

2

pi1pi

pi

2

22t1

(1

u1

1pu

)

∵

pi1pi

pi

t1

(1

u1

1pu

)>

pi1pi

pi

2

t1

(1

u1

1pu

k1

)(1

jt

1pj

)

所以，少减了，为了与引理1有相吻合的表达式，也避免向后演绎导致麻烦，采取让

pk后的去素数倍数因子(1

1pk1

)、(1

1pk2

)、…、(1

1psk

)提前进入，来平衡少减的

22

量。所以，区间［pk,pk1）有较精确的素数个数表达式

sk

(p

2k1

p)

2k



j1

(1

1pj

) (1)

又 ∵

p35

∴ 1≤k

pk

k≥4时，skk 即 psk

pk

随着k的增大，（skk）波动地增大，当n→+∞时，（skk）达到最大值。 调整每个区间的sk值，理论上就可以得到不大于n的素数个数公式

i

(S) π

(n)=sk

(p22

1k1pk)(1) （log

pk

psk）

k1j1pO(

j

知道了n受p22

in＜pi1限制，所导致偏差的原因，同理可得另一形式的

不大于n的素数个数公式

l

（L） π

(n)=n(1

1O( （log

pi

pl）

j1

p)j

由分析不难得到公式（S）和公式（L）中相应量的关系： i sil

下面说明(1)式、（S）式、（L）式，与实际素数个数的误差。 设(1)式、（S）式、（L）式，与实际素数个数的误差为w(k), w(S)、w(L)，则

sk

w(k)= |(p

2

k1

p2k

)



(1

1)－π［p22

k,pk1)|

j1

pj

i

w(S)=| sk

(p22

1k1pk)(1k1j1p)(n)|

j

l

w(L)= |n(1

1(n)|

j1

p)j

（上式中的π［p2222

k,pk1）表示区间［pk,pk1）的素数个数）

22

22

（1）式误差w(k)应小于

［pk,pk1)

p的一半。下面计算

［pk,pk1)

sk

p。

sk

根据素数定理 (x)

2k

xlnx

2k1

pk1pklnpk

2

2

2

2

∴ π［p,p）

∴

［pk,pk1)

pk

22



pk1pkpklnp

2k

2

设 pk1pkm，根据素数定理可得

pk1pkmpklnpk

∴ pk21pk2(pklnpk)2pk22pklnpkln

2

pk

∴

［pk,pk1)

pk

k

22



pk1pkpklnpk

2

22



2pklnpkln

pklnpk

2

2

pk

1

lnpkpk

又 ∵ pspk

∴

［pk,pk1)

psk

22

［pk,pk1)

pk

22

1

lnpkpk

∴ w(k)

公式(S)是i个区间素数个数之和，所以公式(S)的误差

w(S)

考虑到这i个区间sk取值的整体一致性，这i个区间中可能存在区间误差w(k)大于1，而导致w(S)>(n)的情况,这时，只需将每个区间的sk加1或减1，就可使w(S)

(n)

pl

pk

psk微减），又保证

公式（L）的误差w(L)应小于 根据素数定理 (x)

(n)

pl

xlnx

的一半，下面计算

(n)

pl

.

n2pl

nln

n

n2pl

∴ 

npllnn

(n)

∵ pi2n＜pi21 ∴ 2plpi1 ∴

n2pl

1

n

∴

(n)

pl

∴ w(L)

1(n)1

(n)

2pl2

所以，公式（S）、公式(L)中误差O（(n)）是正确。 下面引入素数分布密度函数

公式（S）是小区间素数个数之和，公式（L）是把计算范围看着整体计算素数个数。设公式（S）,公式（L）的素数分布密度函数分别为s(x) ,l(x).

sk212

∵ (S) π

(n)=(pk1pk)(1)O(

pk1j1j

i

（log

pk

psk）

∴ pskpk ∴ s(x)=(1

ppk





1p

)

22

设 pkxpk1

∴ pk(x) 根据引理2，得 S (x)=(1

ppk





1p

)



p(

x)

(1



1p



)



(pk)

lnpk(pk)







2((x))/lnx22((x))





∵ e



≤(x)≤0.75

γ=0.577216649…

logpps pspk

k

k

k

所以，S (x) 除随x的增大而减小外，还随λ微减(pk≥7)而微增。

分析l(x)。

l

∵（L） π

(n)=n(1

j1

1pj

)O( （log

pi

pl）

∴ plpi ∴ s(x)=(1

ppi



1p

)

设 pi2xpi21 ∴ pi(x) 根据引理2，得

l(x) =(1

ppi



1p

)

p(

x)

(1



1p

)



((pi)

lnpi((pi)









2((x))/lnx22((x))





∵ e≤(x)≤0.75 γ=0.577216649… logppl ε增函数

i

（ε增函数是因为第i个区间素数分布平均密度总小于前面（i-1）个区间素数分布平均密度）

所以，l(x) 除随x的增大而减小外，还随ε微增而微减。

引入相应素数分布密度函数后，公式（S）和公式（L）可表示为

i

22

(S) π

(n)=(pp)s(x)k1kO(

k1

（ S (x)=(

1

ppk



1p

) 



）

（L） π

(n)=nl(x)O( （ l(x) =(

1

ppi



1p

)

）

引理3证毕。

引理4：

xlnx

x

(x)

lnt

2

dt

x

(x)

dt

lntO

())

2

证明：根据引理3（素数连乘积分布定理），得

i

(S) π

(n)=sk

(p22

(11)k1pk)O(

（log

pk

psk）

k1j1pj

或

l

（L） π

(n)=n(1

1O( （log

pi

pl）

j1

p)j

根据素数定理，得

lim

(x)

x

x

lim

x

lnxi

∴

lim(x)x

lnxlimsk

(p22

11k1pk)x

lim

x

x(k1j1p) j

l

=limx(1

1)

x

j1

pj

l

∵

lim

(x)

(1

1)

x

lim

xx

lnx



lximx

j1

pj

l

∴

lim1x

ln

x

=lim



1x

(1j1

p)

j

又 ∵ logpi

pl ， pix （素数分布定理里所设）

∴ p

lpi(x)

根据引理2，3，得 x

e



≤(x)

(1

11px

p

)

k1

k

≤(2)=0.75

1 l(x) =(

1

pp

i

p

)

l

∴

lim1ln

=x

x

lim

x



(1

1)=j1

plim

2e



/

j

x

lnx

∵ ε随pi的增大而微增 (x)≥e





∴

2))/



1

lnx

∴ (x)

xlnx

x

下面证明：

dt2

lnt

(x)

x

(x)

dt

lntO

( ))

2

∵

l1l

(1

1)=/

xim

ln

x

=lim

x



j1

plim

2e



j

x

lnx

记x→+∞的ε为max

∴

2e



1

m

ax

∵ logpk

psk

（公式（S）中所设）

记x→+∞的λ为max ∵ i>ε

∴ max>max 



∴

2e



2e

max

=1

max

i

∵

lim(x)x

lnxlimsk

(p2p2

1k1k)x

lim

x

x(1k1j1p)j

l

=limx(1

1x

1

p)

jj

∵ λ微减(pk≥7),

所以，各区间素数分布率平均而言，与减函数1lnx

比较，略小，

x→+∞ S (x)=(

1

1

1pp

k

p

) 

→

lnx

x

∴ lnt2dt(x)

1

lnx 因为公式(S)的误差w(S)

以内的误差没有超过，10

以后就不可能超过。

x小得越多点，10

∴

(x)lntO(2dt （π(x)含1）

∴ x

lnxx(x)

xlnt （π(x)含1） 2dt

(x)

引理4证毕。

xlntO(2dt （π(x)含1）

定理：(x)ln2dtxO(xlnx)

证明：根据引理3，得

x

(x)lntO

2dt() ) （π(x)含1）

又 ∵ xln

x是比O(高阶的无穷大

x

∴ (x)

定理证毕。 ln2dtxO(xlnx)

x

因为黎曼猜想与强条件的素数定理(x)

是正确的。 ln2dtxO(xlnx)等价，所以黎曼猜想

所以，黎曼猜想：黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是1

2是正确的。

11