拉普拉斯算子(2)
在数学以及物理中， 拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator 或 Laplacian）是一个微分算子，通常写成 Δ 或 ；这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。
拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。
在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。
在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。
在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。
定义
拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（）的散度（）。因此如果 f 是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：
(1)
f 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：
(2)
作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把 Ck 函数映射到 Ck-2 函数，对于k ≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ : Ck(Rn) → Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ : Ck(Ω) → Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。
函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：
坐标表示式
二维空间
其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标另外极坐标的表示法为：
三维空间
笛卡儿坐标系下的表示法
圆柱坐标系下的表示法
球坐标系下的表示法
N 维空间
在参数方程为（其中以及）的N 维球坐标系中，拉普拉斯算子为：
其中是N − 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。
恒等式
如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：
f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：
球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：
因此：
推广
拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：
达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子 c 是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果 x 方向用寸来衡量，y 方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。
拉普拉斯-贝尔特拉米算子
主条目：拉普拉斯–贝尔特拉米算子
拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。
另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。
参考文献
Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M（1970年）．“Chapter 12: Electrostatic Analogs”，The Feynman Lectures on Physics．Addison-Wesley-Longman． Gilbarg, D and Trudinger, N（2001年）．Elliptic partial differential equations of second order．Springer．ISBN 978-3540411604． Schey, H. M.（1996年）．Div, grad, curl, and all that．W W Norton & Company．ISBN 978-0393969979．
[编辑] 外部链接
MathWorld: Laplacian Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates by Swapnil Sunil Jain