机械波的图象

机械波的图象

一、波的图象：波的传播也可用图象直观地表达出来。

作一个直角坐标系，以其原点表示波源的位置，用横坐标表示在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置距波源的距离，用纵坐标表示某时刻各质点的位移。若把一列波在某时刻各质点的位移都标在坐标系中，并用曲线将各质点的位移端点连接起来，这曲线就叫波的图象。如简谐振动在介质中传播形成的波的图象，如图：

1、横坐标——表示在波的传播方向上介质各质点的平衡位置。 2、纵坐标——表示某一时刻各质点的位移矢量。 3、连接各位移矢量末端得到的曲线叫做波的图象。 4、物理意义：表示各质点在某一时刻离开平衡位置的情况。

二、波动图像的性质

1、横波的图像形状与波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布相似，波形中的波峰即为图像中的位移正向最大值，波谷即为图像中的位移负向最大值，波形中通过平衡位置的质点在图像中也恰好处于平衡位置。

2、波形图像成正弦或余弦曲线的波称为简谐波。简谐波是做简谐振动的波源产生的，对于简谐波而言，各个质点振动的振幅都相同。 3、波动图像的重复性：相隔时间为整数个周期的两个时刻的波形相同。

4、波的传播方向的双向性：不指定波的传播方向时，图像中波可能向x 轴正向传播或x 轴负向传播。

三、 波的图象与振动图象的区别。 波的图象与振动图象：

四、波动图像的分析：

1、直接读出振动质点的振幅A ，波长λ，某一时刻各质点的位移。

例1：如图所示是一列横波在某时刻的波动图象，

（1）关于波长的叙述正确的是： A 、BI 两质点间距离为一个波长； B 、AF 两质点间距离为一个波长； B 、CH 两质点间距离为一个波长； D 、OG 两质点间距离为一个波长。

分析：

AD 。这首先看两个点对平衡位置的位移是否相等，再看一下两个点是否满足位移总是相等的相邻点。从图上看满足以上两条的点有：O 和G ；A 和H ；B 和I 三对。那么这三对点间距离都为一个波长。

（2）下列各质点中，哪些质点与A 质点具有相同位移？ A 、C 点；B 、E 点；C 、F 点；D 、H 点。 分析：

AD 。A 点位移是垂直S 轴指向A 点的有向线段，与此相同的有C 点和H 点。

2、根据波的传播方向判断质点此时的振动方向，或根据质点此时的振动方向判断波的传播方向。

（1）质点带动法

离波源近处质点带动远处质点振动，即远处质点总是重复近处质点的振动状态。所以判断某质点的振动方向，可看其附近靠近波源一侧的点与该点的位置关系，若比该点位置低，则向下振动；若比该点位置

高，则向上振动。

例、一自右向左传播的简谐波，问：（1）a, ，b 的振动方向如何？（2）c ，d ，e 三者的关系如何？

分析：

（1）波自右向左传播，波源在右侧，a 质点附近靠近波源一侧的d 比a 的位置低，所以a 的振动方向向下。同理，b 的振动方向向上。

（2）c ，e 两点间的距离恰为一个波长，因此，二者为同相的关系；而d 与c ，e 间的距离均为 ，因此，d 与c ，e 均是反相的关系。 小结：

（1）若传播方向变为自左向右，则质点的振动方向将变成与原来相反的方向。可见，质点的振动方向与波的传播方向密切相关。

（2）由第二问知：若两质点间距离是波长的整数倍，则两质点同相；若为半波长的奇数倍，则两质点反相。

（2）平移法

可以先画出下一个某时刻的波的图象，画法是将原波的图象向右平移，这样可看出质点的振动方向。

3、经过时间Δt，波传播的距离Δx=v·Δt，且会画Δt时刻的波形。

如果已知一列波在某时刻的波形图象，根据波的传播方向，不但能确定各质点在此时刻的运动方向；而且结合波的传播规律 在一个周期的内，波沿传播方向向前推进一个波长的距离，还可得知这列波在任何时刻的波形图象。

例1、如图为一机械波的波形图，已知这列波沿x 轴的正方向传播，且波速为v=4m/s，则：

（1）波的振幅为________，波长=___________，周期为__________。 （2）A 、B 、C 三点的振动方向。

（3）设此时为计时起点，则经过2.5S 波传播了多远？质点C 通过的距离为多少？并试画出t=2.5s时的波形。 解：

（1）由图可知：A=2cm，λ=8m，

根据：v=

（2）因为此列波为沿x 正方向传播，则A 的前一质点在A 左边，即A' 点，所以质点A 此时的振动方向为竖直向上，同理：质点B 的振动方向为竖直向上，质点C 的振动方向为竖直向下。 （3）根据：Δx=v·Δt=4×2.5=10m，即波向前传播10m ，波形如上图中虚线所示。 因为质点振动一个周期通过的距离为4A ，所以，质点C 通过的距离为：

×4×2=10cm，t=2.5s

典型例题

例1、一列横波在

x 轴线上传播，在t =0时和t =0.005s时的波形图象如图所示，

1

2

A 、由图中读出波的振幅和波长。 B 、设周期大于（t -t ），如果波向右传播，波速是多大？如果波向左传播，波速是多大？ C 、设周期小于（t -t ），并且波速为6000m/s，求波的传播方向。 解析：

（1）如图A=0.2cm，λ=8m。

22

11

（2）若波向右传播：Δt=（n+ ）TÞT= n=0时，T=0.02s

n=1时，T'=0.004s

=400m/s

向左传播：Δt=（n+ ）TÞT=

n=0，T=

n=1,T'=

s,

s

∴v=

（3）v=

=1200m/s

即波传了

个波长。∴方向向左。

例2、a ，b 两点间相距3m ，两点间有两个波谷，某时刻，a ，b 均在平衡位置，求波长的可能值。

分析：

画出a ，b 间的可能波形，求出相应的波长λ即可。由上图可得： S=1.5λ, S=2λ, S=2.5λ

即：λ=2m, λ=1.5m, λ=1.2m

巩固练习：

1. 图示为一向右传播的某时刻的波的图象。由图可知该时刻质点M 的速度V 和加速度a 的方向分别为： A 、V 向上，a 向上； B 、V 向上，a 向下； C 、V 向下，a 向上； D 、V 向下，a 向下。

1

2

3

1

2

3

M

M

M

M

M M

M M

M

M

2. 如图示为某时刻一列沿x 轴正方向传播的波形图。从图上可看出波的振幅为______米，波长为______米，P 点在此时的运动方向为____。

3. 一列向右传播的横波在某时刻的图象如图，已知波速为2.4m/s，则介质中质点P 从图示时刻起的1.0秒内通过的路程为：

A 、2.56m; B 、2.40m; C 、0.16m; D 、0.02m

4. 一列横波沿x 轴正方向传播，在t=0时刻的图象如图示，已知这列波在P 点出现两次波峰的时间间隔为0.4秒，则：

A 、 这列波的波长为5m ； B 、 其波速为10m/s；

C 、 质点Q 要再经过0.7秒才能第一次到达波峰； D 、 质点Q 到达波峰时，质点P 恰好到波谷。

5. 如下图为一列简谐横波的图象，实线表示t=0时刻波形图，0.5s 后波形图如虚线所示，试求： （1）若周期T>0.5s，当波向左传播时，波速多大？当波向右传播时，波速多大？ （2）若波速为180cm/s，求波的传播方向。

答案：

1、B 。 2、0.04；2； 向上。 3、C 。 4、B ，C 。

5、(1)向左：v=0.12m/s；向右:v=0.36m/s；（2）向右

专题辅导

波的图象解题规律

一、波的特点 1、周期性特点

①传播距离的周期性：波在均匀介质中传播时，传播距离x 总是可以写成

x=nλ+Δx(n=0、1、2、3„„)，式中λ是波长，Δx 是小于一个波长的部分。 ②传播时间的周期性：波在介质中的传播时间t 总可以写成

t=nT+Δt(n=0、1、2、„„)，式中的T 是周期，Δt 是小于一个周期的时间。 ③传播时间的周期性与传播距离的周期性之间的关系：

由传播距离x 表达式立即可推出传播时间t 的表达式，反之亦然。列表如下：

2、双向性的特点

波在介质中传播可以沿各个方向。但在波的图象问题中传播方向就只限在x 轴正方向或x 轴负方向。

二、解题规律 规律A ：波速的表达式

波在均匀介质中匀速传播，波速的表达式为

规律B ：波的传播方向与质点的振动方向

a 、沿波传播方向上，质点在振动的时间上总是依次落后的。

b 、在波的传播过程中，介质中各质点只在各自的平衡位置附近做往复的振动，但并不随波的传播而迁移。

由此可总结出一些法则： 法则1“上下坡法则”

即沿波的传播速度的正方向看，“上坡”的点向下振动，“下坡”的点向上振动，简称为“上坡下，下坡上”（见图）。

法则2“同侧原理”

在波的图象上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头（实线），表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画出一个箭头（虚线）表示波的传播方向，那么这两个箭头总是位于图线的同侧（见图）。

法则3“头头（尾尾）相对法则”

在波形图的波峰（或波谷）上画一个箭头表示波的传播方向，波峰两边波形上分别画出两个箭头表示质点的振动方向，那么这三个箭头总是头头相对，尾尾相对（见图）。

法则4“平移法则”

将原波形（用实线表示）沿波的传播方向平移λ/4后（用虚线表示），则从原波形中平衡位置沿y 轴指向虚线最大位移处的方向，表示原波形中各质点振动方向（见图）

规律C ：“4A法则”

介质中质点在半周期时间内通过的路程是振幅A 的2倍；一个周期时间内通过的路程是4A 。称为“4A法则”。（但要注意：1/4周期内的路程不一定是A ，只有特殊情况是A ）。

当振动时间t 为nT+ 时，质点振动的路程是 s=4nA+2A=(n+ )4A，(n=0、1、2„„)。

当质点从平衡位置或最大位移处开始计时时，如果振动时间t 为t=nT+ 时，则质点振动的路程 s=(4n+1)A；如果振动的时间t 为

t=nT+

时，质点振动的路程s=(4n+3)A。

规律D ：求质点的坐标

一简谐横波中，介质中某一质点在t=t0时刻的坐标为(x1,y 1) ，经过Δt 后，其坐标变为(x1,y 2) 纵坐标y 2和y 1的关系如下： 1、当y 1=0时，

如果 （n=1，2，3„„）（n 的取值不同），则y 2=y1=0；

如果Δt=nT+ T时，y 2=±A正负的判断是：t 0时刻质点若位于向上振动，取正；反之取负。简称为“原上现正，原下现负”。

如果Δt=nT+

T时，y 2=±A，正负的判断是：t 0时刻质点若位于向上振动，取负；反之取正，简称为“原上现负，原下现正”。

2、当|y1|=A时，

如果 （n=0，1，2，3„„）则y 2=0；

如果

三、例题分析

时，y 2=±y1，正负的判断是：“n为偶数取正，n 为奇数取负”。

例1、一列简谐横波在时刻t=0时的波形图如图所示，传播方向自左向右，已知t=1.1s时，P 点出现第三次波峰，则在Q 点第一次出现波峰需经过

A 、0.8s B、1.2s C、0.5s D、1.0s 分析：

由图可知，波长为2m ，由“上下坡法则”可知P 点瞬时振动方向向下，从此时刻起P 点第一次出现波峰需作3/4次全振动，又做了两次

全振动才第三次出现波峰，共同时间 ，周期T=0.4s波速

在t=0时刻，x=1m处质点正处于波峰位置，Q 点位于x=5m处，要使Q 点第一次出现波峰，所需时间

。故选A 。

例2、如图所示，S 为上下振动的波原，频率为100Hz ，所产生的正弦波向左、右传播，波速为80m/s，已知SP=17.4m，SQ=16.2m，则当S 通过平衡位置向上振动时，则

A 、P 在波峰，Q 在波谷 B、都在波峰

C 、P 在波谷，Q 在波峰 D、均在平衡位置

分析：

由已知条件波长 ，故P 点振动比振源S 在时间上落后(21+ )T，由波在空间传

播的周期性，P 点的振动也可以等效地认为比S 点落后 T， ，Q 点的振动也可以等效地认为比S 点落后 T，

这样当S 点通过平衡位置向上振动时，它左右的波形和P 、Q 的等效位置如图所示，故选A 。

例3、如图所示，实线是一列简谐波在某时刻的波形图象，虚线是0.2s 后它的波形图象。求这列波可能的传播速度。 分析：

（1）该题没有告诉传播方向，所以注意Δx 取值（双向性特点）；（2）传播时间0.2s 和周期的关系不清，所以注意n 的取值（周期性特点）。

解答：由

由图可知，波长λ=4m，

若波向右传播时，Δx=

若波向在传时，

=1m，得

，V 左=5(4n+3)m/s。

；

例4、如图所示为一列简谐波在t=0时的波动图象，波的传播速度为2m/s，则从t=0到t=2.5s的时间内，质点M 通过的路程是_________m，位移________m。

得

。所以传播时间t=2.5s=12.5T=(12+

)T

由“4A法则”路程

s=(12+ )4A=12.5×4A

=12.5×4×5=250cm=2.5m。

由“下下坡法则”此时M 点向上振动，所以经过12.5T 的时间内位移y=0，且此时向下振动。

1. 简谐横波某时刻的波形图线如图所示. 由此图可知

(A)若质点a 向下运动, 则波是从左向右传播的 (B)若质点b 向上运动, 则波是从左向右传播的 (C)若波从右向左传播, 则质点c 向下运动 (D)若波从右向左传播, 则质点d 向上运动

高 考 真 题

答案：B 、D 解析：

若波是从左向右传播的，则图中的质点a 、b 应该向上运动，所以选项Ａ不正确，而选项B 正确。若波是从右向左传播，则图中的质点c 、d 应该向上运动。所以选项C 是错误的，而选项D 是正确的。

2．图a 中有一条均匀的绳，1、2、3、4、„是绳上一系列等间隔的点．现有一列简谐横波沿此绳传播．某时刻，绳上9、10、11、12四点的位置和运动方向如图b 所示（其他点的运动情况未画出），其中点12的位移为零，向上运动，点9的位移达到最大值．试在图c 中画出再经过3/4周期时点3、4、5、6的位置和速度方向，其他点不必画。（画c 的横、纵坐标与图a 、b 完全相同）

答案：

如图所示。（未标明速度方向的给2分．有任何错误的给0分．）

解析：

从图（b ）看出，图中所示的某时刻，绳上点9正达到位移最大值处，而点12正通过平衡位置向上运动，因而点9、10、11、12所在的位置点连成的那段曲线，代表该简谐横波在图（b ）所示的某时刻的1/4波长的一段波形图。由这段波形图便可以画出，该时刻的从点0到点12的波形图。由图（b ）中表示的这段波形图的形状和点9、10、11、12四个点的运动方向，可以确定简谐横波是向右传播的，根据波长的定义得知，该简谐横波的波形图在3/4个周期内将向右移动3/4个波长，也可说成是向左移动1/4个波长。由此，可确定在图（b ）所示的某时刻再经过3/4个周期时点3、4、5、6的位置和速度方向。

3. 一简谐横波在x 轴上传播，在某时刻的波形如图所示．已知此时质点F 的运动方向向下，则[ ]

A ．此波朝x 轴负方向传播 B ．质点D 此时向下运动

C ．质点B 将比质点C 先回到平衡位置 D ．质点E 的振幅为零 答案：A 、B 解析：

本题考查考生是否理解横波的传播和波形图。当此横波在x 轴上传播时，x 轴上的各个质点都沿y 轴做简谐振动，振幅都不为零，故选项D 错误。已知现在质点F 的位移沿负y 方向，而F 右边邻近质点的位移比F 质点的大，左边邻近质点的位移比F 质点的小，F 质点向

下运动，意味着下一时刻F 质点的位移仍在负y 方向，但位移增大，即下一时刻F 质点将取其右侧邻近质点现在的位移。或者说F 质点右侧邻近质点的位移将在下一时刻传至F 质点，表明振动向左方传播，即此波朝x 轴负方向传播，选项A 正确。

确定了此横波朝x 的负方向传播后，只要将题给出的波形图向左移过一点点，对比新的波形与原来的波形，就不难看出质点C 和D 都向下运动，而质点B 向上运动，故选项B 正确，选项C 错误。

4. 一根张紧的水平弹性长绳上的a 、b 两点, 相距14.0米,b 点在a 点的右方. 当一列简谐横波沿此长绳向右传播时, 若a 点的位移达到正极大时,b 点的位移恰为零, 且向下运动. 经过1.00秒后,a 点的位移为零, 且向下运动, 而b 点的位移恰达到负极大, 则这简谐横波的波速可能等于( ).

(A)4.67米/秒 (B)6米/秒

(C)10米/秒 (D)14米/秒

答案：A 、C

解析：

先画一简谐波的波形图，在图线上任取一位移达到正极大的点作为a 点，如图所示，则在其右边位移为零的点有b 1、b 2、b 3„。因波向右传播，其中向下运动的是b 2，故题中的b 就是图中的b 2点，这一点到a 点的距离Δl 等于 ，或在一般情况下有Δl =( +n)λ，其

中λ为波长；n=0，1，2，3„的整数。因经过Δt=1.0s后，a 点的位移为零，且向下运动，而b 点的位移恰达到负的最大。这说明Δt

等于 T，或在一般情况下有Δ

t=( +m)T，其中T 为振动的周期；m=0，1，2

，3„的整数。由此知该简谐波长和周期的可能值为

，再由v=λ/T可求得 。经计算可知：当n=0、m=0时，v=4.67m/s，当n=1、

m=1时，v=10m/s，，这就是选项AC ，而选项BD 给出的波速不符合波速的表示式，故选项AC 正确。

5. 关于机械波的概念, 下列说法中正确的是 ( )

A. 质点振动的方向总是垂直于波传播的方向;

B. 简谐波沿长绳传播, 绳上相距半个波长的两质点振动位移的大小相等;

C. 任一振动质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长;

D. 相隔一个周期的两时刻, 简谐波的图像相同.

答案：B 、D

解析：

波有纵波和横波之分，对横波，质点振动的方向与波的传播方向相垂直；对纵波，质点振动的方向与波传播的方向沿同一直线。认为质点振动的方向总是垂直于波的传播方向的看法是错误的，故选项A 错误。当简谐波沿长绳传播时，从任一时刻的波形图上都可以看出，相距为半个波长的任意两质点离开平衡位置的距离即振动位移的大小都相同，但位移的方向相反，故选项B 是正确的。波是振动状态的传播，不是振动质点的传播，每一振动质点都在各自的平衡位置附近振动，并未沿波的传播方向传播。沿波传播方向传播的是质点的振动状态，不是任一质点而是任一质点的振动状态经过一个周期沿波的传播方向传播一个波长，故选项C 是错误的。波的图线给出的是某一给定时刻各质点的振动位移的大小和方向。对于简谐波，每个质点的振动位移都按正弦或余弦的规律随时间变化，每一质点振动的位移与经过一个周期后的振动位移相同，故相隔一个周期的两时刻，简谐波的图线相同，选项D 正确。所以，本题的正确选项是B 、D 。