中考专题--解直角三角形(解析版)
解直角三角形的应用练习题
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.(2012•襄阳)在一次数学活动中,李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图,已知小明距假山的水平距离BD为12m,他的眼镜距地面的高度为1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为( )
BCD=60°,又测得AC=100米,则B点到河岸AD的距离为( )
3.(2014•衡阳)如图,一河坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽10米,坝高12米,斜坡AB的坡度i=1:1.5,则坝底AD的长度为( )
的坡度为1:2.4,AB的长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°,则二楼的层高BC约为(精确到0.1米,sin42°≈0.67,tan42°≈0.90)( )
75°方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60°方向上,则B、C之间的距离为( )
6.(2009•仙桃)如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°、35°,则广告牌的高度BC为 3.5 米(精确到0.1米).(sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70;sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28)
7.(2009•安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了 2(
) m.
2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位.(≈1.4)
西50°方向匀速航行,1小时后到达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向上,则灯塔C与码头B的距离是 24 海里.(结果精确到个位,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.4)
10.(2014•抚顺)如图,河流两岸a、b互相平行,点A、B是河岸a上的两座建筑物,点C、D是河岸b上的两点,A、B的距离约为200米.某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°,∠BPD=30°,则河流的宽度约为米.
11.(2014•南昌)图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成,每相邻两个菱形均成30°的夹角,示意图如图2.在图2中,每个菱形的边长为10cm,锐角为60°. (1)连接CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明;
(2)求A,B两点之间的距离(结果取整数,可以使用计算器) (参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
AE的长度.她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°,然后,她沿着坡度是i=1:1(即tan∠CED=1)的斜坡步行15分钟抵达C处,此时,测得A点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分,图中点A
、B、E、D、C在同一平面内,且点D、E、B在同一水平直线上.求出娱乐场地所在山坡AE的长度.(参考数据:≈1.41,结果精确到0.1米)
G在射线DP上滑动,∠CED的大小也随之发生变化,已知每个菱形边长均等于20cm,且AH=DE=EG=20cm. (1)当∠CED=60°时,求C、D两点间的距离; (2)当∠CED由60°变为120°时,点A向左移动了多少cm?(结果精确到0.1cm) (3)设DG=xcm,当∠CED的变化范围为60°~120°(包括端点值)时,求x的取值范围.(结果精确到0.1cm)(参考数据≈1.732,可使用科学计算器)
AMF=90°,∠BAM=30°,AB=6m. (1)求FM的长;
(2)连接AF,若sin∠FAM=,求AM的长.
立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援,求海警船到大事故船C处所需的大约时间.(温馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)
答案
1.(2009浙江5)选:B 2. 选 D
3.(2009安徽13).填空:23-2
4.(2009长春20)解:过点M作MH⊥OC于点H.
在Rt△MOH中,sin∠MOH=
)
MH
. OM
第13题图
∵OM=18,∠MOH=36°,
∴MH=18×sin36°=18×0.59=10.62>10.
即王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话.
5.(2009广东15).解:过点P作PQ⊥AB于Q,则有∠APQ=30°,∠BPQ=45° 设PQ=x,则PQ=BQ=x,AP=2AQ=2(100-x).
P 在Rt△APQ 中,
AQ100-x
∵tan∠APQ=tan30º =,
. =
PQx
A
B
第15题图
∴x=50(3
又∵50(3≈63.4>50,∴计划修筑的这条高速公路会穿越保护区
6. (2009天津23题)解:如图,过C点作CD垂直于AB交BA的延长线于点D 在Rt△CDA中,AC=30,∠CAD=180°-∠CAB=
180︒-120︒=60︒ ∴CD=AC·sin∠CAD=30·sin60°=AD=AC·cos∠CAD=30·cos60°=15. 又在Rt△CDB中,
BC=70,BD=BC-CD,∴BD=2
22=65.∴AB=BD-AD=65-15=50,
7. (2009山西太原23)解:分别过A、D作AM⊥BC于M,DG⊥BC于G.过E作EH⊥DG于H,则四边形
AMGD为矩形.
AD∥BC,∠BAD=135°,∠ADC=120°. ,∠DCG=
60°,∠GDC=30°.∴∠B
=45° ·
sinB=12⨯=
在Rt△
ABM中,AM=AB
2
∴DG=在Rt△
DHE中,DH=DE·cos∠EDH=2
=∴HG=DG-DH=6⨯1.41-1.73≈6.7.
8. (2009福建23)解:如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠ABC=24°,AB=25米
ABAB25
∴BC==≈27(米) 0BCcos∠ABCcos24
AC
即大树折断倒下部分BC的长度约为27米.(2)∵tan∠ABC=
AB
(1)∵cos∠ABC=
∴AC=AB·tan∠ABC=25·tan24°≈11.1(米)
∴BC+AC≈27+11.1≈38(米)即大树折断之前高约为38米. 9. (2009北京19题)19.解法一: 如图1,过点D作DG⊥BC于点G. ∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠A=90°.
可得四边形ABGD为矩形.∴BG=AD=1,AB=DG.
,∠C=45°, ∵BC=4,∴GC=3.∵∠DGC=90°
∴∠CDG=45°.∴DG=GC=3.∴AB=3. 又∵E为AB中点,∴BE=
A E B
13
AB=.∵EF∥DC,∴∠EFB=45°. 22
BE= 在△BEF中,∠B=90°
.∴EF=
sin45°解法二:如图2,延长FE交DA的延长线于点G.
∵AD∥BC,EF∥DC,∴四边形GFCD为平行四边形,∠G=∠1.∴GD=FC. ∵EA=EB,∠2=∠3,∴△GAE≌△FBE.∴AG=BF. ,BC=4, ∵AD=1
2
设AG=x,则BF=x,CF=4-x,GD=x+1.
33∴x+1=4-x.解得x=.
2B
F ∠C=45°,∴∠1=45°.
图2
BF= 在△BEF中,∠B=90°
,∴EF=
cos45°
10. (2009北京20题)(1)证明:连结OM,则OM=OB.∴∠1=∠2. ∵BM平分∠ABC.∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴OM∥BC. ∴∠AMO=∠AEB.
在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,
∴AE⊥BC.∴∠AEB=90°.∴∠AMO=90°. ∴OM⊥AE.∴AE与⊙O相切.
(2)解:在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,
G F 图1
C
1
BC,∠ABC=∠C. 2
11
cosC=,∴BE=1,cos∠ABC=. ∵BC=4,
33
BE
=6. 在△ABE中,∠AEB=90°,∴AB=
cos∠ABC
设⊙O的半径为r,则AO=6-r.
OMAOr6-r
=∵OM∥BC,∴△AOM∽△ABE.∴.∴=. BEAB26
∴BE=
P
33.∴⊙O的半径为. 22
11. 解(Ⅰ) PA是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,∴PA⊥AB.∴∠BAP=90°. ∠BAC=30°,
∴∠CAP=90°-∠BAC=60°.
又 PA、PC切⊙O于点A,C.∴PA=PC.∴△PAC为等边三角形.∴∠P=60°.
解得r=
(Ⅱ)如图,连接BC, 则∠ACB=90°.
在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°,
∴AC=AB·cos∠BAC=
2cos30°= △PAC为等边三角形, ∴PA=
AC.
∴PA=12. (2009重庆市綦江县24)(1)证明:在矩形ABCD中, BC=AD,AD∥BC,∠B=90°
A
D
∴∠DAF=∠AEB
DF⊥AE,AE=BC ∴∠AFD=90°=∠B AE=AD
∴△ABE≌△DFA.
(2)解:由(1)知△ABE≌△DFA ∴AB=DF=6 在直角△ADF中,
B
E
C
AF===8
∴EF=AE-AF=AD-AF=2 在直角△DFE中,
DE==
=sin∠EDF=
EF. ==
DE10
,BC=36米,
13. (2009四川乐山24)解:(1)在△ACB中,AB⊥BC,∠ACB=60°
∴AB=BC·tan60°=1.732,
∴AB≈36⨯1.732≈62.352≈62.4(米)
答:塔AB的高度约为62.4米.
∴BC=atanθ.(2)在△BCD中,BC⊥CD,∠BDC=θ,CD=a,
·tan60°=tanθ(米). 在Rt△
ABC中,AB=BC
14. (2009河南 20).过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥
D
a
C
图
BC于点F.
∵AB=AC, ∴CE=
1
BC=0.5. 2
在Rt△ABC和Rt△DFC中,∵tan78=
AE
, EC
∴AE=EC×tan78 ≈0.5×4.70=2.35. 又∵sinα=
AEDF
=, ACDC
15. (2009包头22).
解:(1)过点A作AE⊥CD于点E,
根据题意,得∠DBC=∠α=60°,∠DAE=∠β=30°,
AE=BC,EC=AB=36米,
设DE=x,则DC=DE+EC=x+36,
DE
在Rt△AED中,tan∠DAE=tan30°=,
AE
甲
∴AE=,∴BC=AE=,
在Rt△
DCB中,tan∠DBC=tan60°=
E
乙DC,=, BCB
∴3x=x+36,x=18,∴DC=54(米).
16.(2009江苏25).解:(1)设AB与l交于点O.
AD
,AD=2,OA==4在Rt△AOD中,∠OAD=60°
cos60°
∴OB=AB-OA=6. 又AB=10,,∴BE=OB cos60°在Rt△BOE中,∠OBE=∠OAD=60°
∴观测点B到航线l的距离为3km. (2)在Rt△AOD中,OD=BE∙tan60︒=23..
在Rt△BOE中,OE=BE∙tan60︒=33. ∴DE=OD+OE= 在Rt△CBE中,∠CBE=76︒,BE=3,CE=BE∙tan∠CBE=3tan76︒.
∴CD=CE-DE=3tan76°-3.38.
5min=
1CD
h,∴=12CD=12⨯3.38≈40.6(km/h).
112
12
答:该轮船航行的速度约为40.6km/h.