关于刚体的转动惯量和轴上附加压力的计算

本科毕业论文

题目：

的计算

关于刚体的转动惯量和轴上附加压力

目 录

1引言 .............................................................. 1 2.质点动力学的基本定理 ............................................. 2 3.质点组的运动 ..................................................... 3 4.转动惯量 ......................................................... 5 5.转动惯量的计算 ................................................... 8 6.轴上的附加压力及其计算 .......................................... 10 7.结论 ............................................................ 14 参考文献 .......................................................... 15 致谢 .............................................. 错误！未定义书签。

关于刚体的转动惯量和轴上附加压力的计算

摘 要：在刚体动力学中，有大量的篇幅研究刚体的转动问题，无论是定

轴转动、平面平行运动，还是绕定点的转动，其动力学方程中均含有转动惯量。转动惯量在刚体力学中的地位，相当与在质点动力学中的质量地位相当，应用较为广泛.本文对刚体定轴转动所产生的附加压力进行浅谈，及对这问题进行定量分析。

关键词：

刚体；角速度；转动惯量；附加压力。

1引言

物理学家面临的是一个错综复杂、五彩缤纷的世界，他们善于根据研究需

要，找出其中最本质的内容，建立“理想模型”。通过对理想模型行为的描述，揭示自然规律。

在很多实际问题中，物体的形状和大小与研究的问题无关或者起的作用很小，我们就可以在尺度上把它看做一个几何点，而不必考虑它的形状和大小，它的质量可以认为就集中在这个点上，这种抽象化的模型，叫做质点。

现在进一步研究由大量质点组成的力学体系，质点之间是相互联系的，运动规律就比较复杂，其中一个质点对另外一个相对运动时，与其他质点作用力（或约束力）将互相发生影响，而使其他质点的运动状态也随之发生变化。我们把由许多（有限或无限）相互联系着的质点所组成的力学体系叫做质点组（质点系）。

一切物体都可以看作是许多质点集合而成的。我们已经研究有关质点组（质点的集合体）的几个基本定理和守恒定律，利用这些关系，我们一般只能获知有关质点组运动的总趋向（列如质心的运动）和某些特征.如果要了解质点组中任一质点究竟将如何运动，常常比较困难的，甚至是不可能的。

我们研究一种特殊质点组的运动问题。这种特殊质点组具有这样的性质，就是在它里面如何两个质点间的距离，不因力的作用而发生改变。这样特殊的质点组叫做刚体。刚体也是质点一样。一种抽象化的理想模型。在研究问题中，只有当物体的大小和形状的变化可以忽略不计时，才可以把它当作刚体看待。

2.质点动力学的基本定理

（1）动量定理

设质点的质点质量为m，在外力的作用下，由牛顿运动第二定律：

d

F(m) （1）

dt

或

dp

F

dt



当F0时，则得到一个重要的结果：

这个关系，通常叫做动量定理。



即自由质点不受外力的作用时，它的动量p保持不变，亦即将作惯性运动，

这个关系叫做动量守恒定律。



pmc

（2）角动量定理

由式（1）改写为

d2rmF

dt



两边乘上位矢r

dr

m(r2)rF （3）

dt

2

其中，

2drdrdrddrd

r2(r)(r) （4）

dtdtdtdtdtdt

2

式（4）代入式（3）

d

(rm)rF （5） dt

如果把上式写成分量形式，则得

d

)yFzzFyzym(yz

dtd

xz)zFxxFzm(zx

（6） dt

d

yx)xFyyFxm(xy

dt

以上式（5）或式（6）的右边表示外力作用于一个质点时，外力对某一个固定点的力矩，左边是质点对惯性系中固定点或某固定轴线的动量矩对时间的微商，等于作用在该点上的力对此同点或同轴的力矩。



如果令J代表角动量，M

代表力矩，则上式还可以写成更简洁的形式：



dJ

Mdt

（7）

这个关系表示质点动力学中力矩与角动量的线性关系，称为角动量定理。

(3) 动能定理

dr

我们还是从动力学方程（1）出发，并式（1）的两边乘，则

dt

1

d(m2)Fdr （8）

2



式（8）中的Fdr是力对F对质点所做的元功，左边是与质点速度有

关的能量，叫动能。

根据以上讨论，三个基本定理都与质量有关或它都与质点的惯性有关。在这里讨论的质点，不必考虑它的转动问题，故平动运动中产生的惯性以外没有任何原因而产生的惯性问题。若研究对象改为n个质点组的质点系，则情况更复杂。因为质点组的每一个受到除了外力的作用以外还有内力，故下面我们进行讨论。

3.质点组的运动

根据前面的讨论，我们知道：解决质点动力学问题，一般是从牛顿定律出发，

但可以从几个动力学基本定理出发，特别是在一定条件下，可以直接从守恒定律出发，从而使问题简化。

在质点组动力学中，原则上可以用隔离体法，写出质点组中每一质点的运动微分方程。但如果质点组的质点数目较多，那么利用牛顿运动定律解题时，每一质点有三个二阶微分方程，故将得出数目繁多的二阶微分方程组，难于进行解算。此外，内力一般是未知量，更增加了问题的复杂性。但如果利用动力学基本定理，则对整个质点组来讲，常可将这些未知的内力消去（动能定理除外），而得到整个质点组在外力作用下运动的某些特征。

既然是这样，对整个质点组运用动力学基本定理时，我们发现：在质点组中恒存在一特殊点，它的运动很容易被确定。如果以这个特殊点作为参考点，又常能使问题简化。我们把这个特殊点叫做质点组的质量中心，其坐标为：



rcOC

miri

i1n

n

m

i1

（9）

i

显然质点组的运动规律非常复杂。但是以上讨论的特殊点的运动规律与质点的运动规律完全相似，故质心的运动规律为：

nndrc

m2Fi(e)Fi(i) （10）

dti1i1

2

因为由牛顿第三定律得，内力的矢量之和等于零。 则



drcn(e)

m2Fi （11）

dti1

2

而角动量，分别表示对固定点（固定轴）和质心的角动量



dJ

M (12) dt

dJ

M (13) dt

在以上讨论中，可以看没有发现质量的分布而引起的问题，只考虑质量问题。之所以惯性还是质量问题。

若研究问题中运动的情况与除了质量以外，还有质量分布问题的话，情况更复杂。下面在进一步研究质量和质量分布问题。

4.转动惯量

我们曾讲过：一切物体都可以看作是许许多多质点集合而成的。我们已经研究了有关质点组的（质点的集体合）的基本定理和守恒定律，利用这些关系，我们一般只能获知有关质点组运动的总趋向（列如质心的运动）和某些特征。如果要了解质点组中任一质点究竟将如何运动，常常是比较困难的，甚至不可能的。

下面我们将研究一种特殊质点组的运动问题。这种特殊的质点组具有这样的性质，就是在它里面的任何两个点间的距离，不因力的作用而发生改变。这种特殊的质点做刚体。

因为刚体由大小，形状的质点组，那么它的受力情况比较复杂，必须使用力系的简化，比如，汇交力系、平行力系和空间一般力系。另外刚体运动时，它的惯性问题与质量以外还有质量分布也有关系。

力作在刚体上时，如果的作用线通过刚体的质心时，刚体要平动，力的作用线不通过刚体的质心，那刚体要转动。上述两个运动是刚体基本的运动，刚体的其他更复杂的运动，列如刚体的平面平行运动、定点运动、和一般运动，都可以看作是刚体的基本运动以不同方式合成的复合运动。

一切对于运动的描述必须相对确定的参考系才有意义。同一物体的运动相对不同的参考系可表现为不同的运动状态。当选定某个参考系为定参考系以后，其他相对参考系运动的参考系就成为动参考系。物体相对于定参考系的运动可看作是物体相对于动参考系运动和动参考系相对于定参考系运动的合成。质点系的动



量可表示为pmii或pmc，刚体为不变质点系，此二式仍适用。但刚体内任意二质点距离不变，故质心相对于刚体的位置亦不变，对刚体来说，用



pmc表示动量更方便。

取刚体的质心为简化中心，把质点组的质心运动定理和对质心的动量矩定理应用到刚体上，就是刚体运动微分方程，即



macF (14)

dJ

M (15)

dt

可以看以上（11）和（14）及（15）相对应，但是在这里不同的是质量分布问题。

刚体对固定点的动量矩为， 整个刚体对o的动量矩为刚体中各个质点同一点o的动量矩的矢量和为：



J(rimii) （16）

ni1

因为

 iri



n

故 Jmiri(ri)

i1

即 J

2mriiri(ri) （17） i1

n



线速度总是共线的。

n



上式告诉我们，动量矩J一般并不与角速度共线。在平动中，动量P与



动量矩J的表达式可以写成为：

Jxxmi(yz)ymixiyizmixizi

2i

2i

i1

i1

i1

nn

Jyxmiyixiymi(zx)zmiyizi

2i

2i

i1n

i1n

i1

nnn

（18）

Jzxmizixiymiziyizmi(xi2yi2)

i1

i1

i1

n

式（18）中

n

Ixxmi(yi2xi2)

i1n

Iyymi(zi2xi2)

i1n

Izzmi(xi2yi2)

i1

IyzIzymiyizi

i1n

n

（19）

IzxIxzmizixi

i1n

IxyIyxmixiyi

i1

式（19）代入式（18）

JxIxxxIxyyIxzzJyIyxxIyyyIyzzJzIzxxIzyyIzzz

式（20）中也无法表示转动惯量的物理量。那么转动动能的表达式为：

（20）

1

TJ (21)

2

因为



xiyjzk

  

JJxiJyjJzk



代入式（12）

T

122(IxxxIyyyIzzz22Iyzyz2Izxzx2Ixyxy) （22） 2

又把动能表达式为：

1n

Tmi(ri)(ri)

2i1

12n22

mirisini

2i1

在图1中令

ri2sin2ii2

则

12n2Tmii (23)

2i1

质点的动能为：

12

Tm

2

式（23）表示刚体的转动动能，那么式（23）中的mii2表示刚体的转动惯量。可以看在这里的惯性是与质量和质量对某一个瞬轴的距离有关系，把这样的物理量称为转动惯量，则表示为

n

i1n

Imii2 （24）

i1

故，

T

12

I （25） 2

5.转动惯量的计算

1.直接法

对质量的均匀分布（或按一定规律分布），且形状规律的刚体，我们可把（19）式改写为定积分形式（一般是重积分），即

（z2x2）式中的、、是质点离x轴、y轴和z轴的垂直距离的（y2z2）（x2y2）

平方。故Ixx,Iyy,Izz就叫刚体对x轴、y轴和z轴的转动惯量。，至于Iyz、Izx和Ixy含有两个坐标乘项，所以叫做惯量积。 （2）椭球法

式（22）和式（25）相比，并x，y

则：

，z，

I

Ixx2Iyy2Izz22Iyz2Izx2Ixy （26）





Ixx

Iyx

Izx

IxyIyyIzy

Ixz

Iyz

Izz

为了消去惯量积，一般是采用下面的方法。如果我们在转动轴上，截取一线段OQ,考虑到

1I

ROQ并x

R,yR,zR

，则代入式（26）

Ixxx2Iyyy2Izzz22Iyzyz2Ixzxz2Ixyxy1

3．惯量主轴法

①．因为式中Ixx、Iyy、Izz 是x,y,z的函数，那么Ixx、Iyy、Izz 是常数。 ②．考虑Ixx,Iyy,Izz作为常数和对称轴（消去6个惯量积）方程改为：

Ixxx2Iyyy2Izzz21

椭球改为球体，（26）改为：

I(x2y2z2)1

6.轴上的附加压及其计算

（1）轴上的附加压力

我们也可以把刚体绕固定轴的转动，看做等价空间两点A和B保持不动时刚体的运动（因为两点可以决定一条直线，这条直线就是转动轴）。这就可用去掉约束代以约束反力的方法，即同时用动量定理和

B两点动量矩定理来确定运动规律和作用在A，

的上的约束反力。



在图8.1中NA和NB代表作用在固定点A和B上的约束反力（A、B处设为轴承），而F1、．．．、Fn则代表作用在刚体上的主动力。令F2、

转动轴AB为z轴，则可设NA在坐标轴上的分量

F为NAx、NAy和NAz，而NB的分量为NBx和NBy。 由动量定理和对A点的动量矩定理，得

n

dn

iNAxNBxFixmixdti1i1n

dn

iNAyNByFiymiydti1i1n

dn

iNAzFizmizdti1i1

n

dn

i)ABNByMix （27） iziymi(yizdti1i1n

dn

ixizi)ABNBxMiymi(zixdti1i1n

dn

iyixi)Mixmi(xiydti1i1

因xiRicos,yiRisin,zi常数（图2） 故

iyi,ixi2yixx ixi,iyi2xiyy

i0,i0zz

把这些代入式（27），并利用质心坐标公式、式（19），于是式（27）就简化为

NAxNBxFixmxcmyc

2

i1n

n

NAyNByFiymycmxc

2

i1

0NAxFix

i1

n

（28）

ABNByMxIyz2Izx

ABNBxMyIzx2Iyz

Mz Izz

式中xc和yc是质心的坐标，Izx、Iyz和Izz是惯量系数，而Mx,My和Mz则主动力对三坐标轴的合力矩。

式（27）中的最后一式并不含有约束反力，因而就是刚体绕固定轴转动动力学方程，这与式（28）完全一样，而其余五式，则可用来求约束反力的五个分量

NAx,NAy,NAz,NBx和NBy。

0，则式（28）中左端各项均等于零。因而头五式就是通常的如果

平衡方程，而最后一式，因不含有约束反作用力，所以是平衡条件。

0时算出来的NA,NB,跟0时所算出的完全不同，有时当0，

且可差得很远。前者是动反作用力，而后者是静反作用力。因此，刚体在绕固定轴转动时，对轴承就有附加压力出现，这些附加压力是由于刚体转动时产生的惯性力所引起的。

如果刚体转动时不在轴上产生附加压力，即在同样主动力作用下，动力

0时，式（28）中的反作用力与静力反作用力相等，则其充分条件是0，

左边等于零。这样，有

0xc2ycyc0xc

2

及

0Iyz2IzxIzx0Iyz

2

这是以xc、yc及Iyz和Izx为未知的二元一次方程，但它们的系数行列式在转动是都不等于零，故xc、yc、Iyz和Izx必须同时为零，即刚体的重心在转动轴上，而且转动轴是惯量主轴。这时，我们就说这样的刚体已达到了平衡，而这时转动轴则叫做自由转动。这时即使取消了约束，刚体还是会绕着继续转动。

（2）附加压力的计算

列：涡轮可以看作是一个均质圆盘。由于安装不善，涡轮转动轴与圆盘面发线成交1o。已知涡轮圆盘的质量为20㎏，半径r=0.2m,重心O在转轴上，O至轴承A和B的距离各为a=b=0.5m .设轴以12000r/min的角速度匀速转动时，试求轴上某一时刻的最大压力？

解：选取坐标系轴如图3所示。图中x,y,z是固定的坐标轴，而x’,y’,z’则为几何对称轴。并设在图示的瞬时，y’和y正好重合。

因x’,y’(y),z’是几何对称轴，而重心O在转轴上，故

xcyc0,IyzIzxIyz0，又NAx0式（28）得

0，故如以O为参考点，则由,

0NAxNBxmg0NAyNBy

0aNbN

AyBy

（29）

Ixx2aNAxbNBx

x

z

y,

现在来求Izx。由坐标变换关系（图4），知

xixicoszisin

zxsinzcos

iii 故

n

Ixxmizixi

i1

n

mi(xicoszisin)(xisinzicos)

i1

n(m2

n

izimixi2)sincos

i1

i1

1n2mz22n

22i(iyi)1mi(xiyi)ii1

sin21

2

(IzzIxx)sin2

对于均质圆盘

30）

（

Izz Izx

121mr,Ixxmr2 221

mr2sin2 （31）

8

解（29）式的诸式，并利用（31）式的结果，最后得

NAxNBy0

NAx

NBx

mbg11

mr22sin2 （32） ab8abmbg11mr22sin2ab8ab

在NAx和NBx表示式中的第一项代静反作用力，而第二项则代表动反作用，亦即轴承上的附加压力，把题给的数据代入，得附加压力为

:

120

(0,2)2(400)20.0349N81 5400N



而静反作用力之和则只20㎏×9.8m/s2=196N,可见动力反作用力对轴承的危害是很大的。附加压力是静压力的27倍！

7.结论

刚体的转动是刚体转动时惯性大小的量度。定轴转动刚体轴上附加压力是刚体对转动轴不对称时产生的。关于定轴转动刚体轴承附加压力的计算,我们可利用质心运动定理和对固定点的角动量定理,建立动，静两套坐标系, 并且动坐标轴尽量与刚体的惯量主轴重合, 先计算出动坐标系下刚体的角动量及其变化率, 然后再写出其在静坐标系的形式, 最后由有关规律即可便捷地给予解决。

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参考文献

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