八年级数学下册知识点与典型例题

八年级数学下册知识点复习

第十六章 分式

考点一、分式定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子

A

B

叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 题型一：考查分式的定义

1

1

下列代数式中：x , 1x -y , a -b , x 2-y 2,

x +y

，是分式的有：a -b π2a +b

x +y x -y a +b , x 2-y 2x +y

x +y , x -y

.

题型二：考查分式有意义的条件： 当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

x -4x +4 （2）3x 26-x

1x 2+2 （3）x 2-1 （4）|x |-3 （5）x -1

x

答：（1） (2) (3) (4) (5) 题型三：考查分式的值为0的条件： 当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）x -1|x |-2x +3

（2）

x 2-4

（3）

x 2-2x -3x 2-5x -6

答（1） (2) (3) 题型四：考查分式的值为正、负的条件：

（1）当x 为何值时，分式48-x

为正； （2）当x 为何值时，分式5-x 为负；

3+(x -1) 2

（3）当x 为何值时，分式x -2

为非负数.

x +3

练习:（1）已知分式x -1

x +1

的值是零，那么x 的值是（

）

A ．-1 B ．0 C ．1 D ．±１ （2）当x________时，分式

1

x -1

没有意义． 考点二：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

A A ⨯M A ÷1．分式的基本性质：B =B ⨯M =

M B ÷M

-a -a a 2．分式的变号法则：-b

=-+b =--b =

a

b 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

1x -2（1）23y

1 （2）

0. 2a -0. 03b

x 10. 04a +b

3+4

y 题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）-x +y

-x -y

（2）--a -a a -b （3）--b

题型三：化简求值题

【例3】已知：

1x +1y

=5，求2x -3xy +2y

x +2xy +y 的值.

提示：整体代入，①x +y =5xy ，②转化出

1x +1

y

. 【例4】已知：x -

1x =2，求x 2+1

x

2的值. 【例5】若|x -y +1|+(2x -3) 2=0，求

1

4x -2y

的值.

考点三：分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法

①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：分式的混合运算 1、 计算

4a a 2

-1+1+a

1-a

的结果是________． 2、 计算a 2a 2a 2

+2a ∙(4

a -2-a -2

) ． 3、 计算

x -1⎛1⎫

x ÷ ⎝

x -x ⎪⎭． 题型二：化简求值题 先化简后求值

（1）已知：x =-1，求分子1-8x 2

+411

x 2-4

[(4x -1) ÷(2-x )]的值；

（2）已知：

x xy +2=y 3=z

4，求2yz -3xz x 2+y 2+z

2的值； 题型三：求待定字母的值 【1】若关于x 的分式方程2x -3=1-m

x -3

有增根，求m 的值. 【2】若分式方程2x +a

x -2

=-1的解是正数，求a 的取值范围. 提示：x =

2-a

3

>0且x ≠2，∴a

【3】若 3x -4x -1x -2=A B

x -1+

x -2

，试求A 、B 的值. 题型四：指数幂运算

（1）下列各式中计算正确的是

A . 3-3=

1

27

B . a -5=-a 5 C . (-3a -3)2=9a 6 D . a 5+a 3=a 8 （2）(-1)

-2

2

-23⨯0. 125+20070

注意：

★分式的通分和约分：关键先是分解因式

★分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减

混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 ★任何一个不等于零的数的零次幂等于1，=1(a

；

正整数指数幂运算性质（请同学们自己复习）也可以推广到整数指数幂．特别是一个整数的-n 次幂等于它的n 次幂的倒数，a

-n

=

1a n

考点四：分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤 ：

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．

增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么？ (1)审（作题时不写出）；(2)设；(3)列；(4)解；(5)验 （6）答． 应用题有几种类型基本上有五种：

(1)行程问题：基本公式：路程=速度³时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时³工效．

(4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v 水． (5) 盈利问题 基本公式：利润＝（售价－进价）³件数 利润率＝

利润

进价

⨯100% 1、 解方程

2-x x -3=1-1

3-x

． 2、 某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年

5月份的水费是36元．已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格． 3、某一工程队，在工程招标时，接到甲乙工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书预算，可有三种施工方案：

（1）甲队单独完成此项工程刚好如期完工。

（2）乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天。

（3）若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做也正好如期完工。 问哪一种施工方案最省工程款？

4、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度行使，1小时后加速为原来速度的1.5倍，并比原计划提前40分到达目的地，求前1小时的平均行使速度。

考点五. 科学记数法：把一个数表示成a ⨯10n 的形式（其中a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法． 用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是整数位数减1

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时, 其中10的负指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)

第二十章 数据的分析

1. 加权平均数：加权平均数的计算公式。 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。 学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

2. 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 3. 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。

4. 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 5. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

数据的收集与整理的步骤：1. 收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.交流

6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。

求最简公分母时, 首先要因式分解, 将所有的表达式都化成积的形式, 然后, 看各个分解后的子因式中如果没有出现在公分母中, 就将其乘进去. 已经出现的可以不再添加, 但是在同一个因式中出现了几次相同的因子, 就要乘几次.

第十七章 反比例函数

1. 定义：形如y=k/x（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

2. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。

3. 性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小； 当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 考点一：反比例函数定义

1、反比例函数的判定：下列函数中, y 是x 的反比例函数的是 D

A ．y =x 3

B.y =13x +1 C.y =1

x 2 D.y =x

2、K 值确定：

①已知点A （-1，5）在反比例函数y =k

x

(k ≠0) 的图象上，则该函数的解析式为（C ） A：y =1x B：y =25x C：y =-5

x

D：y =5x

②反比例函数y =-

3

5x

中，比例系数k=

-1) x m 2

③已知

y =(m -2是反比例函数，则m =－1.

④已知y －2与x 成反比例，当x=3时，y=1，则y 与x 的函数关系式为 . ⑤已知y=y1+y2,y 1与x+1成正比例，y 2与x+1成反比例，当x=0时y=-5,当x=2时，y=-7 （1）求y 与x 之间的函数关系式 （2）当x=-2时，求y 的值

3、点与解析式的关系：见考点3第题第3问 考点二：反比例函数图象与性质 （1）反比例函数y=

2

x

的图象位于 A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限

（2）已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（D ）

(3)

已知反比例函数y=

m -5

x

的图象的一支在第一象限。 （1）图象的另一支在哪个象限，常数m

的取值是什么？

（2

）在这个函数图象的某一支上任取点

A(a,b)和B （a /,b /）

, 如果b> b/，那么a 与a /

有怎么样的大小关系？

(4)、已知关于x 的函数y =k (x -1) 和y =-

k

x （k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）

(5)已知反比例函数y =

-1

x

的图象上有两点A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 且x 1y 2

C. y 1=y 2 D y 1与y 2之间的大小关系不能确定

Ex:反比例函数图象上有三个点（x 1,y 1）（x 2,y 2）（x 3,y 3）其中x 1

考点三：反比例函数综合 1、如图， 已知反比例函数y ＝

k

x

的图象与一次函数y ＝a x ＋b 的图象交于M （2，m ）和N （－1，－4）两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）求△MON 的面积；

（3）请判断点P （4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．

2、如图在坐标系中，直线y=x+ k与双曲线 y =

k

x

在第一象限交与点A ， 与x 轴交于点C ， AB 垂直x 轴，垂足为B ，且S △AOB ＝1 1）求两个函数解析式 2）求△ABC 的面积

考点四：反比例函数应用：见试卷与课本

练习：1、如图是三个反比例函数在x 轴上方的图象， 由此观察得到k 1, k 2,k 3的大小关系为

2、已知P 是反比例函数y =

k

(k ≠0)图象上一点 x

⊥

1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2

2. 勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2+b 2=c 2。，那么这个三角形是直角三角形。

作PA 垂直Y 轴与A, 若S △AOP =3,则这个反比例函数解析式 为 3、若反比例函数y =

k -33. 经过证明被确认正确的命题叫做定理。

的图象位于第一、三象限内，正比例函数y=(2k-9)x过二、四象限，则k 的整数值为

x

4、如图是一次函数y 1=kx+b和反比例函数y m 2=x

在同一个坐标系下的图象，观察图象写出当

y 1 >y2 时x 的取值范围是

5、如图，已知反比例函数y 1=

k

x

和一次函数y 2=ax+1的图象相交于第一象限内的点A ，且点A 的横坐标为1，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，S △AOB =1

①求反比例函数与一次函数的解析式

②若一次函数y 2=ax+1的图象与 x轴交于点C ，求∠ACO 的度数 ③结合①图象直接写出当y 1>y2>0时x 的取值范围。

6. 为了杀灭空气中的病菌，某学校对教室采用了熏毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量y(mg)

与时间x(min)成正比例；药物燃烧后， y 与x 成反比例，请根据下图所提供的信息，回答下列问题。

（1）药物 分钟后燃毕；此时空气中每立方米的含药量是 mg. （2）药物燃烧时，y 关于x 的函数式为 ，自变量的取值范围是__.

（3）药物燃烧后，y 关于x 的函数式为 ，自变量的取值范围是____.

（4）研究表明，当空气中每立方米含药量低于1.5mg 时，学生方可安全进入教室。从药物燃烧开始，有位同学要回

教室取东西，何时进入教室是安全的？请你给他合理的建议。 y(mg)

6 3

o

8

x(min)

第十八章 勾股定理 基本内容：

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

考点分析： 考点一：利用a 2+b 2=c 2求未知边。

如①在一直角三角形中有两边长分别是3、4，则其第三边长为

（注意分类讨论）．．．．．．．

； ②印度数学家拜斯迦罗（公元1114～1185年）的著作中，有个有趣的“荷花问题”，是以诗歌的形式出现的：

湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃. 湖面之上不复见，入秋渔翁始发现；残花离根二尺遥．．．．．．．

问题：这是一道数学诗，你能读懂诗意，求出水深是多少尺吗？

分析：设水深为x 尺，则荷花高为（x+0.5）尺，如图形成直角三角形 由勾股定理可列方程：x 2

+22

=(x +0

. 5) 2

，解之：x=3.75

③一棵大树离地面9米高处折断，树顶落在离树根底部12米远处，

求大树折断前的高度？答24米 考点二：直角三角形的判定问题

1

、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC 的形状。

分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a 、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。

2、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n ＞1） 求证：∠C=90°。

分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a 2+b2和c 2的值。③判断a 2+b2和c 2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC 是直角三角形，并且c 边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a 2+b2=c2即可。 ⑶由于a 2+b2= （n 2－1）2＋（2n ）2=n4＋2n 2＋1，c 2=（n 2＋1）2= n4＋2n 2＋1，从而a 2+b2=c2，故命题获证。 3、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD²BD 。 求证：△ABC 是直角三角形。

分析：∵AC 2=AD2+CD2，BC 2=CD2+BD2

C

∴AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD²BD+BD2 =（AD+BD）2=AB2 D

练习：1、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形； B ．直角三角形；

C ．等腰三角形或直角三角形； D ．等腰直角三角形。

2、已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC 的形状。 3．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状。

考点三：互逆命题与互逆定理问题

1、说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。 考点四：面积问题

1、已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。

A D 求：四边形ABCD 的面积。

分析：⑴作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；

B E

⑶在△DEC 中，3、4、5勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ； ⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

2、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC 的面积。

考点五：折叠问题 A 1、 如图，有一个直角三角形，两条直角边AC=6cm,BC=8cm,现将 E

直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合， 你能求出CD 的长吗？ C B

D 2．如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /

处，

第1题图

BC /交AD 于E ，AD =8，AB =4，则DE 的长为（ ）．

A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

考点六：无理数在数轴上表示问题

如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ B ）

A

．

考点七：应用（航海、侧面展开图、最值，是否受污染问题）

例．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图（1），已知圆筒高108㎝，其截面周长为36㎝，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸．

分析：此题的难点在于将圆柱展开后， 纸带会发生什么样的变化，纸带被相 应剪断为相等的4段，随着圆柱而展开．

解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图（2）

Ｃ

Ｂ

整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC 长 即可，在Rt △ABC 中，AB=36，BC=

108

4

27 ∴由勾股定理得AC 2

=AB2

+BC2

=362

+272

∴AC=45，故整个油纸的长为45³4=180（㎝）．

说明：此题对空间想象能力要求较高，一条曲线怎样随着圆柱的展开成为4条线段，同学们可以用纸卷成一个筒帮助自己分析一下，将曲线变成直线来解决问题．

1．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？

2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

C 小河 B A 图6

图7

3、一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A

点爬到B ’点, 那么沿哪条路最近, 最短的路程是多少? 已知长方 体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm.

4．如图6，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为4cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从A 出发沿着圆柱体的表面爬到点C 的最短路程大约是（

）

（A ）6cm （B ）12cm （C ）13cm （D ）16cm ．

5、一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

6、如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km

的速度向北偏东

60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.

（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2） 若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？

E

B A

第十九章 四边形

考点1. 平行四边形的性质以及判定

性质：1）平行四边形两组对边分别平行且相等. 2）平行四边形对角相等，邻角互补. 3）平行四边形对角线互相平分. 4）平行四边形是中心对称图形. 判定方法：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

基础训练：1、能够判断一个四边形是平行四边形的条件是（ ）

A 、一对角相等 B、两条对角线互相平分阶段 C、两条对角线互相垂直 D、一组邻角互补

2、判断一个四边形是平行四边形的条件是（ ）

A 、AB ∥CD ，AD ＝BC B、∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D C、AB ＝CD ，AD ＝BC D、AB ＝AD ，CB ＝CD 注意：其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。如：“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，它显然是一个真命题，但不能作为定理使用.

★1．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，AB =4，则OE 的长是（ ） A ． 2 B ．2 C ．1 D ．

12

★2．如图，□ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）

A ．3 B ．6 C ．12 D ．24

★3．在△ABC 中，AB ＝BC ，AB ＝12cm ，F 是AB 边上的一点，过点F 作FE ∥BC 交CA 于点E ，过点E 作ED ∥AB 交于BC 于点D （如图），则四边形BDEF 的周长是 ．

(第2题) (第4题

)

B D (第3题) C ★4．（如图，□ABCD 中，对角线AC 和 BD相交于点O ，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿

★5、在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5) ，B(－3，－1) ，C(1，－1) ，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是． ★6．如图，在ABCD 中，已知AB=9㎝，

AD=6㎝，BE 平分∠ABC 交

DC 边于点E ， 求DE 的长.

★7．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ， 分别与AB 、CD 的延长线交于点E 、F . 求证：四边形AECF 是平行四边形.

★8、如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，边结DF ． ⑴试说明AC ＝EF ；

⑵求证：四边形ADFE 是平行四边形．

考点2. 中心对称图形

1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形

2）经过对称中心的直线一定把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段一定经过对称中心且被对称中心平分. ★在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动

的这个角称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°。

（1）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）。 ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°。（ ） ② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（ ）

（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是形；③正六边形；④正八边形。 （写出所有正确结论的序号）：

（3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件: ①是轴对称图形，但不是中心对称图形： ②既是轴对称图形，又是中心对称图形：

★请举出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的例子

考点3. 三角形与梯形的中位线以及中位线定理

关注：三角形中位线定理的证明方法以及中位线定理的应用，这是重点.

三角形中位线:过三角形两边中点的线段. 性质: 三角形的中位线平行且等于底边的一半. 梯形的中位线: 过对边中点的线段: 性质:梯形的中位线平行且等于上底与下底和的一半.

★1、如图，在□ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别是AD ．BD 的中点，连接EF ．若EF ＝3，则CD 的长为 ．

A A A

C 11C A 21C 1A 2C 1

B 3

22B 2„ A 2 (第1题)

B A 1C B （第2题） 1C B A C

(1)1

(2)(3)

★2、 如图，在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图（2）中，A 2、B 2、C 2分别是△A 1B 1C 1的边B 1C 1、C 1 A1、 A 1B 1的中点，…按此规律，则第n 个图形中平行四边形的个数共有 个. ★3、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，BD 平分∠ABC 。

求证：（1）AE ⊥BD ；（2）EF ＝1

2

(BC AB )

4、求证：任意四边形中点顺次连接而成的四边形是平行四边形

考点4. 矩形的性质以及判定

性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）矩形的四个角都是直角. 3）矩形的对角线相等.

判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2）有三个角是直角的四边形是矩形. 3）对角线相等的平行四边形是矩形.

注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1、矩形不一定具有的特征是（ ）

A 、对角线相等 B、四个角是直角 C 、对角线互相垂直 D 、对边分别相等 2、如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，将矩形沿AC 折叠， 点D 落在E 处，且CE 与AB 交于F ，那么AF 的长是_____

3、矩形的对角线相交所成的钝角为120°，短边为3．6 cm，则对角线长为_____． 第2题

4. 用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是

5、如图，直线MN 经过线段AC 的端点A ，点B 、Ｄ分别在∠NAC 和∠MAC 的角平分线AE 、AF 上，BD 交AC 于点

O ，如果O 是BD 的中点，试找出当点O 在AC 的什么位置时，四边形ABCD 是矩形，并说明理由．F

D

C

M

考点5. 菱形的性质以及判定 A B E 性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）菱形的四条边都相等.

3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.

N

4）菱形的面积等于对角线乘积的一半. （如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对

角线乘积的一半）

判定方法：1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2）四条边都相等的四边形是菱形. 注意：其他还有一些判定菱形的方法，但都不能作为定理使用.

1、若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件写一个即可) ，使四边形ABCD 是菱形． 2．已知菱形ABCD 的边长为

6，∠A＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．3．若菱形两条对角线的长分别为6和8

，则这个菱形的周长为 4、如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ，请回答下列问题：

（1）四边形ADEF 是什么四边形？并．说明理由．．．． （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？

（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．

5、如图， ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ， CE//AB交MN 于E ，连结AE 、CD ．请判断四边形ADCE 的形状， 说明理由．

考点6. 正方形的性质以及判定

性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.

判定方法；1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形. 2）矩形+有一组邻边相等 3）菱形+有一个角是直角

注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用. 1、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A ．对角线互相平分

B ．对角线互相垂直 C ．对角线相等

D ．对角线平分一组对角

2、E 是正方形ABCD 内一点，且△EAB 是等边三角形，则∠ADE 的度数是（ ） A ．70° B ．72．5° C ．75° D ．77．5°

3、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB ' C ' D ' ，边B ' C ' 与DC 交于点O ，则四边形AB ' OD 的周长．．

是( ) A ．22 B ．3 C ．2 D ．1+2

'

D (第3题

) （第4题） （第6题） 4、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且B 'C =3，则AM 的长是＿＿＿． 5、如图，正方形ABCD 的面积为25，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE

的和最小，则这个最小值为_______

6、如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为 ．

7、如图4，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，PE ⊥BC ，垂足为E ， PF ⊥CD ，垂足为F ， 求证：EF ＝AP

A D

P

F

8、在△ABC 中,AB=AC,D是BC 的中点,DE ⊥AB,DF ⊥AC, 垂足分别是E,F. C

⑴试说明:DE=DF （7题）

⑵只添加一个条件, 使四边形EDFA 是正方形.

请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线, 无需证明)

考点7. 梯形

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个底角相等；等腰梯形的对角线相等. 等腰梯形的判定：1）定义

2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形.

3）对角线相等的梯形是等腰梯形. （其证明的方法务必掌握） 关注：梯形中常见的几种辅助线的画法.

补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.

1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =CD . 若∠ABC =60°，BC =12，则梯形ABCD 的周长为． 2． 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，

求：梯形ABCD 的面积。

B

D

E C

连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．

3． 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4，AB

=，则下底BC 的长为 __________．4、如图，在梯形ABCD 中，AB//DC，∠D=900

，AD=DC=4，AB=1，F 为AD 的中点，则点F 到BC 的距离是（ ） A.2 B.4 C. 8 D. 1

5、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A ´处，若∠A ´BC ＝20°，则∠A ´BD 的度数为（ ） A.15° B.20° C. 25° D.30° A

D B

C

B

C

（第1题）

（第2题）

（第3题）

(第4题)

(第5题)

7． 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 是BC 的中点，且MA ＝MD

求证：四边形ABCD 是等腰梯形．

8． 如图，已知在梯形

ABCD

中，DC ∥AB ，AD=BC，BD 平分∠ABC ，∠A=60°．

（1）求∠ABD 的度数；

（2）若AD=2，求对角线BD 的长． A B

9． 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°

，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F ． （1）求证：BF =AD +CF ；

（2）当AD =1

，BC =7，且BE 平分∠ABC 时，求EF 的长．

10、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BE ⊥DC ，E 是垂足，BE ＝12， BD＝15，AC ＝20．

11、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ⊥BD 于P 点，点A 在y 轴上，点C 、D 在x 轴上． （1）若BC=10，A （0，8），求点D 的坐标； （2）若BC= 2，AB+CD=34，求过B 点的反比例函数的解析式；

考点8. 中点四边形及重心问题

顺次连接任意一个四边形的四边中点得到的四边形的判定:(看原四边形的对角线)

任意四边形ABCD 中E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,AD 的中点, 则四边形EFGH 的形状为: 1. 若原四边形的对角线任意, 则得到的四边形(EFGH)为平行四边形. 2. 若原四边形的对角线相等, ,则得到的四边形(EFGH)为菱形. 3. 若原四边形的对角线垂直, 则得到的四边形(EFGH)为矩形.

4. 若原四边形的对角线相等且垂直, 则得到的四边形(EFGH)为正方形.

★下列各图中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 中点，

（1）如图1，求证：四边形EFGH 是平行四边形

（2）如图2，当AC 和BD 满足条件 时，四边形EFGH 是矩形（不必证明）

如图3，当AC 和BD 满足条件 时，四边形EFGH 是菱形（不必证明）

（3）如图4，当AC 和BD 满足条件 时，四边形EFGH 是正方形， （不必证明）

线段的重心就是线段的中点。 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。 三角形的三条中线交于疑点，这一点就是三角形的重心。 宽和长的比是

-1

2

（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。 典型例题：

1、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD 点E 、F 为垂足，∠EAF=30°，AE=3cm，AF=2cm，求平行四边形ABCD 的周长. A

D F

B

C

E

2、如图，已知：两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证重叠部分为菱形. B C

3、已知：如图，四边形ABCD 中，∠ABC 和∠ADC=90

，E 、F 分别是对角线AC 、BD 的中点。求证：EF ⊥BD

4、某地有四个村庄A 、B 、C 、D ，它们正好位于一个正方形的四个顶点，正方形边长为a 米。计划在四个村庄联合架设一条电话线路，按照如下方案设计，如图中实线部分，求出所需电线长？

A

D

E

B C

5、如图，已知四边形ACBD 中，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是矩形．

6、如图，在等腰梯形ABCD 中， M、N 分别为AD 、BC 的中点，E 、F 分别为BM 、CM 的中点。

（1）求证：四边形MENF 是菱形；

（2）若四边形MENF 是正方形，梯形ABCD 的高与底边BC 有何关系？

A

M

D

7、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点。 求证：MN 和PQ 互相平分。

B

N C

8、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DA 的中点，且BC=DC+AB.

求证：BE ⊥EC 。

10、如图，梯形OABC 中,O 为直角坐标系的原点,A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 （1） 设从出发起运动了x 秒，且x ﹥2.5时，Q 点的坐标； （2） 当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形？ （3） 四边形OPQC 能否成为等腰梯形？说明理由。

（4） 设四边形OPQC 的面积为y, 求出当 x﹥2.5时y 与x 的

（5） 函数关系式；并求出y 的最大值；

x

A(14,0)

D

C

11、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕BD （对角线），再折叠使AD 边落在

E

对角线BD 上，得折痕DG 。若DC ＝2，BC ＝1，求AG 的长。

1

A

12、如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，将矩形纸片如图折叠，使点B 与点D 重合，折痕为GH ，求GH 的长。