2014 高考向量难题汇总

2014高考——平面向量

向量的加减运算

1（2007北京理）4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA +OB +OC =0，那

么（ ）A

Ａ．AO =OD

Ｂ．AO =2OD Ｃ．AO =3OD Ｄ．2AO =OD

2 (2007全国卷Ⅱ理) 5．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，=+λ, 则λ=A

A

13

2 3

B

1 3

C -

1 3

D -

2 3

b 2、b 3，3（2006全国一理）⑼、设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0。如果向量b 1、满足b i =2a i ，

且a i 顺时针旋转30后与b i 同向，其中i =1,2,3，则B

A ．-b 1+b 2+b 3=0 B． b 1-b 2+b 3=0 C．b 1+b 2-b 3=0 D．b 1+b 2+b 3=0 4（2007浙江理）（7）若非零向量满足a +b =b ，则（ ）C Ａ．2a >2a +b

Ｂ．

o

2a

>a +2b Ｄ． 2b

平面向量的基本定理

5（2007陕西理）15. 如图，平面内有三个向量OA 、、, 其中与OA 与的夹角为120°，OA 与的夹角为30°, 且|OA |＝||＝1，||＝2，若＝λ+μ（λ，μ∈R ）, 则λ+μ的值为. 15．6

6（2008湖南理）7. 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且

DC =2BD , CE =2EA , AF =2FB , 则AD +BE +CF 与BC ( )

A. 反向平行

B. 同向平行

C. 互相垂直

D. 既不平行也不垂直 【答案】A 【解析】

AC +2AB 1 2

=AC +AB , 由定比分点的向量式得:AD =

1+233

1 2 1 2 1BE =BC +BA , CF =CA +CB , 以上三式相加得 A D +B E +C F =33333

AB 、AC 于不同的两点M 、N , 若AB =m AM , AC =n AN , 则m +n 的值 为．

1

A. B , 所以选C

7(2007江西理)15. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线

共线向量

8（2010北京）（6）a 、b 为非零向量。“a ⊥b ”是“函数f (x ) =(xa +b )(xb -a ) 为一次函数”的 B

A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

2

∣AB +AC ∣=∣AB -AC ∣,则9（2010四川）（5）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC =16,

∣AM ∣=C

A8

B4

C 2

D1

10（2009湖南理）2．对于非0向量, ， += 是//”的 （A ）

A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11 (2008海南理)8．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）

A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C ．∃

λ∈R ，b =λa D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a +λ2b =0

B

12（2009山东理）7. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC +BA =2BP ，则（ ）

A. PA +PB =0 B. PC +PA =0 C. PB +PC =0 D. PA +PB +PC =0 A

C P

第7题图

m 22

13（2007天津理）10. 设两个向量a =(λ+2, λ-cos α) 和b =(m , +sin α), 其中λ, m , α为实数. 若

2

λ

a =2b , 则的取值范围是 ( A )

m

A. [-6,1]

B. [4,8]

C. (-∞,1]

D. [-1,6]

14（2003辽宁理）4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=（ ）A

A ．λ(+), λ∈(0, 1)

B ．λ(+), λ∈(0,

2

) 2

C ．λ(-), λ∈(0, 1)

D ．λ(-), λ∈(0,

2

) 2

b ，则向量与的夹

15（2007辽宁理）3．若向量与不共线，⋅≠0，且c =a -角为（ ）D A ．0

B ．

π 6

C ．

2

ππ D ． 32

平面数向量的投影

17 (2007四川理) 7、设A (a , 1) ，B (2,b ) ，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC

方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）

（A ）4a -5b =3 （B ）5a -4b =3 （C ）4a +5b =14 （D ）5a +4b =14

平面向量的数量积

18(2010辽宁) (8)平面上O,A,B 三点不共线，设OA=a, OB =b ，则△OAB 的面积等于C

19(2010全国Ⅰ卷) （11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA ∙PB

的最小值为D

A -4

-3

-4+

-3+

20(2010全国二) （8）∆ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方∠ACB ．若=a ，=b ，a =1，b =2，则CD =B

2213443

b Ba +b Ca +b Da +b 3335555

21（2007山东理）11 在直角∆ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 ( C )

2(AC ⋅AB ) ⨯(BA ⋅BC ) 2 2 2

A AC =AC ⋅AB B BC =BA ⋅BC C AB =AC ⋅CD D CD = 2

AB

A a +

22(2010浙江) （16）已知平面向量a , β(a ≠0, a ≠β) 满足β=1, 且a 与β-a 的夹角为120°

13

a 的取值范围是

(0,

o

23 (2009江苏理)2. 已知向量a 和向量b 的夹角为30，|a |=2,|b |a 和向量b 的数量积a ⋅b =

3

o

24（2010安徽理）（14）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若OC =xOA +yOB , 其中x , y ∈R ,

则x +y 的最大值是___2_____.

25（2009福建理）9. 设, , 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥ ，||=||, 则|⋅|的值一定等于 C

A ． 以a ，b 为两边的三角形面积 B 以b ，c 为两边的三角形面积

3

C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积 D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积

1 1

A +=B 26（2009天津理）(15)在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1）

，，

B A

B B D

则四边形ABCD

。

27（2009陕西理）8. 在∆ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足AP =2PM , 则

PA ⋅(PB +PC ) 等于

A -

A

4444 B - C D 9339

1 1

A +=B 28（2009天津理）(15)在四边形ABCD 中，AB =DC =（1

，1），，

B A

B B D

则四边形ABCD

29（2009陕西理）8. 在∆ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足AP =2PM , 则

PA ⋅(PB +PC ) 等于

A -

A

4444 B - C D 9339

31（2009浙江理）7．设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ⋅b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成

三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( C )

A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

32（2008浙江理）（9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a -c ) ⋅(b -c ) =0,

则c 的最大值是( C )

A1 B2 C 2 D

2

33（2007天津理）15. 如图，在∆ABC 中，∠BAC =120︒, AB =2, AC =1, D 是边BC 上一点，DC =2BD ,

则⋅__________.

A

8

【答案】-

3

→

→

B

→

→

→

→

C

→

34 (2007重庆理) （10）如图，在四边形ABCD 中，|AB |+|BD |+|DC |=4, AB ⋅BD =BD ⋅DC =0,

|AB |⋅|BD |+|BD |⋅|DC |=4，则(AB +DC ) ⋅AC 的值为（ ）

4

→→→→→→→

A.2 B. 22 C.4 D. 42 【答案】：C

35（2006北京理）（2）若a 与b -c 都是非零向量，则“a ⋅b =a ⋅c ”是“a ⊥(b -c ) ”的（C ）

B 必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件

2

36（2006江西理）4、设O 为坐标原点，F 为抛物线y ＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA ∙A F ＝－4

则点A 的坐标是（B ）

A ．（2，±

） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，

)

A 充分而不必要条件

37（2006辽宁卷理）(12) 设O (0,0), A (1,0), B (0,1), 点P 是线段AB 上的一个动点, AP =λAB , 若

OP ⋅AB ≥PA ⋅PB , 则实数λ的取值范围是 B

A

11

≤λ≤1

C ≤λ≤1+≤λ≤1+

D 1- ≤λ≤1

B 1-222222

38(2005浙江理) 10．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 C

A a ⊥e B a ⊥(a －e ) C e ⊥(a －e ) D (a ＋e ) ⊥(a －e )

39(2006浙江理）（13）设向量a , b , c 满足a +b +c =0, (a -b ) ⊥c , a ⊥b , 若|a |=1, 则|a |+|b |+|c |的值是 4

三角形的心的向量式

40（2005全国卷Ⅰ理）（15）∆ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，

=m (++) ，则实数m =．

41（2005湖南理）10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝

S ∆PBC S

， λ2＝∆PCA ，S ∆ABc S ∆ABC

λ3＝

S ∆PAB 111

，定义f (P)=(λ1, λ2, λ3), 若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（，，），则 S ∆ABC 236

（ A ）

A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内 D ．点Q 与点G 重合 →→→→1AB AC AB AC →→→42(2006陕西理)9. 已知非零向量AB 与AC 满足 +) ·BC =0 =, 则△ABC 为( )D

2→→→→|AB||AC||AB||AC|A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 43（2009海南理）（9）已知O ，N ，P 在∆ABC 所在平面内，且OA =OB =OC , NA +NB +NC =0，

5

且PA ∙PB =PB ∙PC =PC ∙PA ，则点O ，N ，P 依次是∆ABC 的 C

A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心

空间向量

44(2007安徽理) （13）在四面体O －ABC 中，OA =a , OB =b , OC =c , D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，

则= （用a , b , c 表示）

1 1 1 1 1

=OA +(OB +OC ) =a +b +c . 24244

45（2010湖北）5．已知∆ABC 和点M 满足MA +MB +MC =0. 若存在实数m 使得AB +AC =m AM 成立，则m= B

A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

--→

--→

--→

--→

--→

--→

平面向量多选择题

46（2008陕西理）15．关于平面向量a ，b ，c ．有下列三个命题：

①若a ⋅b =a ⋅c ，则b =c ．②若a =(1，k ) ，b =(-2，6) ，a ∥b ，则k =-3． ③非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |，则a 与a +b 的夹角为60． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 只有②。

47(2009四川理)16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射f :V →V , a ∈V ，记a 的象为

f (a ) 。若映射f :V →V 满足：对所有a , b ∈V 及任意实数λ, μ都有f (λa +μb ) =λf (a ) +μf (b ) ，

则f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，则f () =

②对∈V 设f () =2，则f 是平面M 上的线性变换；

③若e 是平面M 上的单位向量，对a ∈V 设f (a ) =a -e ，则f 是平面M 上的线性变换； ④设f 是平面M 上的线性变换，a , b ∈V ，若a , b 共线，则f (a ), f (b ) 也共线。 其中真命题是 1，2，4 （写出所有真命题的序号）

6