02 线性子空间
第二讲 线性子空间
一、线性子空间的定义及其性质
1. 定义：设V 1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件
（1） 如果x 、y ∈V 1，则x ＋y ∈V 1；
（2） 如果x ∈V 1，k ∈K ，则kx ∈V 1，
则称V 1是V 的一个线性子空间或子空间。
2. 性质：（1）线性子空间V 1与线性空间V 享有共同的零元素；
（2）V 1中元素的负元素仍在V 1中。
[证明]（1）0x =0
x ∈V 1⊂V
∴V 中的零元素也在V 1中，V 1与V 享有共同的零元素。
（2）∀x ∈V 1
（－1）x =(－x ) ∈V 1 封闭性
∴ V 1中元素的负元素仍在V 1中
3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间
平凡子空间：{0}和V 本身
非平凡子空间：除以上两类子空间
4. 生成子空间：设x 1、x 2、···、x m 为V 中的元素，它们的所有线性组合的集合
⎧m ⎫k x |k ∈K , i =1,2 m ⎨∑i i i ⎬ ⎩i =1⎭
也是V 的线性子空间，称为由x 1、x 2、···、x m 生（张）成的子空
间，记为L (x 1、x 2、···、x m ) 或者Span (x 1、x 2、···、x m ) 。 若x 1、x 2、···、x m 线性无关，则
dim{L(x1、x 2、···、x m )}=m
5. 基扩定理：设V 1是数域K 上的线性空间V n 的一个m 维子空间，x 1、
x 2、···、x m 是V 1的一个基，则这m 个基向量必可扩充为V n 的一个基；换言之，在V n 中必可找到n-m 个元素x m+1、x m+2、···、x n ，使得x 1、x 2、···、x n 成为V n 的一个基。这n-m 个元素必不在V 1中。
二、子空间的交与和
1. 定义：设V 1、V 2是线性空间V 的两个子空间，则
V 1 V 2={x |x ∈V 1, x ∈V 2}
V 1+V 2={x +y |x ∈V 1, y ∈V 2}
分别称为V 1和V 2的交与和。
2. 定理：若V 1和V 2是线性空间V 的两个子空间，则V 1 V 2，V 1＋V 2均为V 的子
空间
[证明]（1）∀x , y ∈V 1 V 2
x +y ∈V 1 x +y ∈V 2 ∴x +y ∈V 1 V 2
∀x ∈V 1 V 2 k ∈K
kx ∈V 1 kx ∈V 2 ∴kx ∈V 1 V 2
∴V 1 V 2是V 的一个线性子空间。
（2）∀x 1, x 2∈V 1 ∀y 1, y 2∈V 2
(x 1+y 1) ∈V 1+V 2 (x 2+y 2) ∈V 1+V 2 (x 1+x 2) ∈V 1 (y 1+y 2) ∈V 2
(x 1+y 1) +(x 2+y 2) =(x 1+x 2) +(y 1+y 2) ∈V 1+V 2
∀k ∈K kx 1∈V 1 ky 1∈V 2
k (x 1+y 1) =kx 1+ky 1∈V 1+V 2
∴V 1+V 2是V 的子空间。
4. 维数公式：若V 1、V 2是线性空间V 的子空间，则有
dim(V1+V2)+ dim(V1 V 2)= dimV1+ dimV2
[证明] 设dimV 1=n1, dimV2=n2, dim(V1 V 2)=m
需要证明dim(V1+V2) ＝n 1＋n 2－m
设x 1、x 2、···、x m 是V 1 V 2的一个基，根据基扩定理
存在1）y 1、y 2、···、y n1－m ∈V 1，使x 1、x 2、···、x m 、y 1、y 2、···、y n1－m 成
为V 1的一个基；
2）z 1、z 2、···、z n2－m ∈V 2，使x 1、x 2、···、x m 、z 1、z 2、···、z n2－m
成为V 2的一个基；
考察x 1、x 2、···、x m 、y 1、y 2、···、y n1－m 、z 1、z 2、···、z n2－m ， 若能证明它为V 1+V 2的一个基，则有dim(V1+V2) ＝n 1＋n 2－m 。 成为基的两个条件：
1）它可以线性表示V 1+V 2中的仸意元素
2）线性无关
显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。
假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k 1、k 2、···、k m 、
p 1、p 2、···、p n1－m 、q 1、q 2、···、q n2－m 使
∑k x +∑p y +∑q z i i i i i i =0
令z =∑q z ∈V ，则 i i 2
根据基扩定理 ∑k x +∑p y i i i i =-z ∈V 2但∉V 1 V 2 ∑k x i i ∈V 1 V 2 y i ∉V 1 V 2， x 1、x 2、···、x m 、y 1、y 2、···、y n1－m 成为V 1的一个基
∴p i =0
同理：q i =0 k i =0
这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V 1+V 2的一个基。 ∴dim(V1+V2) ＝n 1＋n 2－m
三、子空间的直和
1. 定义：设V 1、V 2是线性空间V 的子空间，若其和空间V 1+V2中的仸一元素只
能唯一的表示为V 1的一个元素与V 2的一个元素之和，即∀x ∈V 1+V 2，存在唯一的y ∈V 1、z ∈V 2，使x =y +z ，则称V 1+V 2为V 1与V 2的直和，记为V 1⊕V 2
子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是
V 1+V 2={x +y |x ∈V 1, y ∈V 2}，
反映的是两个子空间的关系特殊。
2. 定理：如下四种表述等价
（1）V 1+V 2成为直和V 1⊕V 2
（2）V 1 V 2={0}
（3）dim(V1+V2)=dimV1+ dimV2
（4）x 1、x 2、···、x s 为V 1的基，y 1、y 2、···、y t 为V 2的基，则x 1、
x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 为V 1+V 2的基
[证明]（2）和（3）的等价性显然
采用循环证法：（1）→（2）→（4）→（1）
（1）→（2）：已知V 1+V 2＝V 1⊕V 2
假定x ≠0且x ∈V 1 V 2，则
0=0+0=x +(-x )
0∈V 1+V 2，0∈V 1，0∈V 2，x ∈V 1，-x ∈V 2
说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在V 1 V 2中只能存在0元素，即V 1 V 2={0}
（2）→（4）：已知V V ={0} 12
成为基的两个条件：
1）可以线性表示V 1+V2中的仸意元素
2）线性无关
∀x ∈V 1、y ∈V 2，存在如下坐标表示式
x =∑ξi x i y =∑ηi y i
i =1i =1s t
x +y 可表示V 1+V2中的仸一元素，
∴x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 可表示V 1+V2中的仸意元素。 假设x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 线性相关，即存在不全为0的ξ1, ξ2, , ξs , η1, η2, , ηt 使
∑ξx +∑ηy ＝0 i i i i
i =1i =1s t
而 x =∑ξx ∈V y =∑ηy i i s t 1i i ∈V 2
i =1i =1
∴ ∑ξx ＝－y ∈V i i s 2
i =1
∴ ∑ξx ∈V V i i s 12
i =1
∴∑ξx ＝0 i i
i =1s
∴ξ1=ξ2= =ξs =0
同理η1=η2= =ηt =0
这与其线性相关性矛盾，x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 线性无关 ∴ x1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 可作为V 1+V 2的基
（4）→（1）：已知（4）成立 在x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 这组基下 ∀x ∈V 1+V 2存在唯一的坐标ξ1, ξ2, , ξs , η1, η2, , ηt 使 x ＝
s ∑ξx +∑ηy i i i i i =1i =1s t ∑ξx
i =1i i ∈V 1 ∑ηy ∈V i i i =1t 2
∴V 1+V 2成为直和
作业：P25－26，11、12、13