必修五知识点+三角函数
1、正弦定理:在∆ABC 中,a 、b 、c 分别为角A、B、C 的对边,R 为∆ABC 的外接圆的半径,则有
a b c
===2R
sin Asin Bsin C
=2R sin A,b =2R sin B,c =2R sin C ;
2、正弦定理的变形公式:①a ②sin A
a b c ,sin B=,sin C =;③a :b :c =sin A:sin B:sin C ; 2R 2R 2R a +b +c a b c
===④.
sin A+sin B+sin C sin Asin Bsin C
111
3、三角形面积公式:S ∆ABC =bc sin A=ab sin C =ac sin B.
222
=
4、余弦定理:在∆ABC 中,有a
2
=b 2+c 2-2bc cos A,b 2=a 2+c 2-2ac cos B,
c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
57、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:a n+1>an ). 12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:a n+1
14、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列
{a n }的第n 项与序号n 之间的关系的公式.
16、数列的递推公式:表示任一项a n 与它的前一项a n -1(或前几项)间的关系的公式.
17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.符号表示:a n +1-a n ① a n
=d 。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法:
-a n -1=d (n ≥2, d 为常数) ②2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) ③a n =kn +b (n , k 为常数
18、由三个数a ,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则A称为a 与b 的等差中项.若
b =
a +c
,则称b 为a 与c 的等差中项. 2
19、若等差数列
{a n }的首项是a ,公差是d ,则a
1
n
=a 1+(n -1)d .
;
a n -a 1
20、通项公式的变形:①a n =a m +(n -m )d ;②a 1=a n -(n -1)d ;③d =
n -1
a n -a m a n -a 1
+1;⑤d =④n =
n -m d
21、若
.
,则a m +a n =a p +a q ;若{a n }{a n }是等差数列,且m +n =p +q (m 、n 、p 、q ∈N*)
,则2a n =p +q (n 、p 、q ∈N*)
是等差数列,且2n
=a p +a q .
;②
22、等差数列的前
n
项和的公式:①
n (a 1+a n )
S n =
2
n (n -1)S n =na 1+d
2
.③
s n =a 1+a 2++a n
23、等差数列的前
n 项和的性质:①若项数为2n (n ∈N*)
.
,则
S 2n =n (a n +a n +1),且
S 奇a
=n S 偶-S 奇=nd ,
S 偶a n +1
*
②若项数为2n -1(n ∈N),则S 2n -1=(2n -1)a n ,且S 奇-S 偶=a n
,
S 奇n
(其中=
S 偶n -1
. S 奇=na n ,S 偶=(n -1)a n )
24、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这
个常数称为等比数列的公比.符号表示:
a n +1
=q (注:①等比数列中不会出现值为a n
0的项;②同号位
上的值同号)
注:看数列是不是等比数列有以下四种方法: ①a n
=a n -1q (n ≥2, q 为常数, 且≠0)
2
②a n =a n +1⋅a n -1(n ≥2,a n a n +1a n -1≠0)
③a n =cq n (c , q 为非零常数).
④正数列{a n }成等比的充要条件是数列{log x a n }(x 1)成等比数列.
25、在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,则G 称为a 与b 的等比中项.若G 则称G 为a 与b 的等比中项.(注:由G 26、若等比数列
2
2
=ab ,
G ,b ⇒G 2=ab )=ab 不能得出a ,G ,b 成等比,由a ,
{a n }的首项是a 1,公比是q ,则a n =a 1q n -1.
a n =a m q n -m ;②a 1=a n q
-(n -1)
;③
27、通项公式的变形:①
q n -1=
a n
a 1
;④
q n -m =
28、若
a n a m
.
,则a m ⋅a n =a p ⋅a q ;若{a n }{a n }是等比数列,且m +n =p +q (m 、n 、p 、q ∈N*)
,则a n =p +q (n 、p 、q ∈N*)
2
是等比数列,且2n
=a p ⋅a q .
.②
29、等比数列
{a n }的前
n
项和的公式:①
⎧na 1(q =1)⎪
S n =⎨a 1(1-q n )a -a q
=1n (q ≠1)⎪
1-q ⎩1-q
s n =a 1+a 2++a n
⎧s 1=a 1(n =1)
a =⎨30、对任意的数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系:n
s -s (n ≥2) n -1⎩n
[注]: ①a n =a 1+(n -1)d =nd +(a 1-d )(d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若d 不为0,则是等差数列充分条件).
b 2+c 2-a 2
、余弦定理的推论:cos A=
2bc a 2+c 2-b 2
,cos B=
2ac a 2+b 2-c 2
,cos C =
2ab
.
[注]: ①a n =a 1+(n -1)d =nd +(a 1-d )(d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若d 不为0,则是等差数列充分条件).
2
②等差{a n }前n 项和S n =An +Bn =
d ⎫d ⎛d ⎫2⎛
⎪n + a 1-⎪n →可以为零也可不为零→为等差的充要条
2⎭2⎝2⎭⎝
件→若d 为零,则是等差数列的充分条件;若d 不为零,则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列. (不是非零,即不可能有等比数列) ..31、a -b
>0⇔a >b ;a -b =0⇔a =b ;a -b
32、不等式的性质: ①a >b ⇔b b , b >c ⇒a >c ;③a >b ⇒a +c >b +c ;
④a >b , c >0⇒ac >bc ,a >b , c b , c >d ⑥a ⑧a
⇒a +c >b +d ;
>b >0, c >d >0⇒ac >bd ;⑦a >b >0⇒a n >b n (n ∈N, n >1);
>b >0>n ∈N, n >1).
a +b
称为正数a 、b
a 、b 的几何平均数. 2
a +b
≥ 34、均值不等式定理: 若a >0,b >
0,则a +b ≥
,即2
33、设a 、b 是两个正数,则
35、常用的基本不等式:①
a +b ≥2ab (a , b ∈R )
2
2
;②
a 2+b 2
ab ≤(a , b ∈R )
2
;③
⎛a +b ⎫ab ≤ ⎪(a >0, b >0);
⎝2⎭a 2+b 2⎛a +b ⎫④≥ ⎪(a , b ∈R ).
2⎝2⎭
2
2