测电源电动势和内阻实验的方法研究及误差分析
测电源电动势和内阻实验的方法研究及误差分析
摘要：本文就测电源电动势和内阻实验做进一步研究，从三个不同的角度分析伏安法测量带来的误差，并
结合新教材对该实验的多种方法进行归纳和总结，最后还简单介绍了精确测量电源电动势的仪器——电位差计的工作原理。
关键词：测电源电动势和内阻实验 误差分析 方法总结
电学实验向来是高考实验题的首选素材，其重要性可见一斑。其中测定电源电动势和内阻是高中物理学生分组实验中的重要实验之一。通过该实验，学生可以体会闭合电路欧姆定律的实际应用，学习应用图象处理数据的技巧，还能提高实验操作技能，但我们似乎不应该满足于这最基本的收获。如果再做进一步的研究，你就会发现，课本上的这个实验本身存在着无法消除的系统误差，那么弄清楚误差是怎样产生的，并且具体算出误差的大小对精确测量是至关重要的。此外，我们还注意到人教版的新教材就该实验提供了更多的方法，使该实验更为灵活、创新，为学生开拓了更广的思路。
下面我们就对这一实验做进一步的挖掘，先弄请其误差的来源及其大小，再结合新教材探寻不同于以往的新的实验方法。
一、 伏安法（U-I 法）
1、方法介绍
短
图2 这是人教版的老教材提供的常规方法（如图1），由E=U+Ir，如果能测出U ，I 的两组数据，就可由两个关于E ，r 的方程解出E ，r 。基本实验器材：电压表，电流表，可变电阻。 在本实验的数据处理过程中通常采用两种方法。 （1）公式法： I 1U 2-I 2U 1
E =E =U +I r 11
I 1-I 2
E =U 2+I 1r U 2-
U 1
r =
I 1-I 2
为了减小偶然误差，可采用多次测量求平均值的方法。
（2）图象法
以I 为横坐标，U 为纵坐标，用测出的几组U,I 值画U-I 图象（如图2）。由闭合电路欧
姆定律E=U+Ir，可知U 为I 的一次函数，图象应是一直线。当I=0，属于断路情况，此时U=E；当U=0，属于短路情况，此时I=I短=E/r，由此可知r=E/I短。
2、误差分析
在用伏安法测电源电动势和内阻的实验中，由于电压表和电流表的接入会带来一定的实
验误差。那么到底是电流表的内接（图3）还是外接（图4）误差更小一些呢。下面我们尝试从三个不同的角度来分析比较这两种接法所带来的误差。
（1）公式法：
在通常较为粗略的数据处理时，就把电流表的示数I 作为通过电源的总电流，把电压表
的示数U 作为电路的路端电压，求得的结果我们暂且称之为测量值E 测和r 测。
I U -I U E 测=1221E 测=U 1+I 1r 测
I 1-I 2
E 测=U 2+I 1r 测U -U 1
r 测=
2
I 1-I 2
如果考虑到电表对电路的影响，则电表的读数就不再准确。下面我们分别就电流表的内接和外接两种情况来讨论一下E ，r 的真实值与测量值间的差别 ①电流表内接（如图3，设电压表内阻R v ）
由于电压表的分流I v ，使电流表的测量值I 小于流过电源的电流I 真，即有I 真=I+Iv ，而
I v =U/Rv ，修正后有
I 1U 2-I 2U 1
E 真=>E 测⎛U 1⎫U -U ⎪E =U +I +r 11真 1R ⎪真 I 1-I 2-2
V ⎭⎝R V
⎛U 2-U 1
U 2⎫ ⎪r =>r 测E 真=U 2+ I +r 真 2R ⎪真U -U 1V ⎭⎝ I 1-I 2-2
R V
②电流表外接（如图4，设电流表内阻R A ）
由于电流表的分压 UA , 使电压表的测量值U 小于路端电压U 真，既有U 真=U+ UA , 而U A =IRA ,
修正后有 I
1U 2-I 2U 1
E ==E 测真 E 真=U 1+I 1R A +I 1r 真
I 1-I 2
U 2-U 1E 真=U 2+I 2R A +I 2r 真
r =-R A
I 1-
I 2
（2）图象法：作U-I 图象
E
短1
2图5 图6
①电流表内接
电压表的测量值，即为准确的路端电压，但电流表的测量值I 小于总电流I 真，有I 真=I +IV ，
又∵I v =U/Rv ，∴U 越大，I V 越大，I 真与I 的偏差越大。只有在短路时，U=0，I V =0，才有I 真=I=I短。如图5所示，实测的图线用实线表示，经过I V 修正后的真实图线用虚线表示。经过比较可得：
⎛E ⎫ ⎪r
②电流表外接
电流表的测量值，即为准确的总电流，但电压表的测量值U 小于路端电压U 真，有U 真=U+
U A ，又∵U A =IRA ，∴I 越大，U A 越大，U 真与U 的偏差越大。只有在断路时，I=0，U A =0，才有U 真=U=E。如图6所示，实测的图线用实线表示，经过U A 修正后的真实图线用虚线表示。经过比较可得：
⎛E ⎫ ⎪r 测>r 真
r =E 测=E 真
I 短⎪ ⎝⎭
（3）等效电压源法
一个电源如果不计内阻或内阻为零，则它为一理想电压源。实际的电压源都有一定的内阻r ，故一个实际电压源可以用理想电压源与电阻r 串
联来表示。
等效电压源定理（戴维南定理）内容是：任何一个有源二端网络可以
等效为一个电压源，等效电压源的电动势等于该网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除去电源电动势以外网络的总电阻。如图7，等效电压源图7 的电动势等于a 、b 两点开路时的端电压，等效内阻等于有源网络中除去电源电动势的总电阻。
接下来我们就用等效电压源法来分析伏安法测电源电动势和内阻实验的误差。 ①电流表内接（如图3，设电压表内阻R v ，待测电源E 和r ）
将电压表R V 和电源看成是一个电压源，等效电压源的电动势E ’为将可变电组R 两端开路时的端电压U ，即 R V ’
E =U =⋅E R V +r
等效电压源内阻r ’为R V 与r 的并联，即 R V ’
r =⋅r R V +R
在等效电压源的电路中，电流表测的就是总电流，电压表测的就是路端电压，由E=U+Ir求得的E 测，r 测，便是此等效电压源的E ’，r ’
R V E
E 测=E ’=⋅E =
r R V +r 1+R V
R V r r 测=r ’=⋅r =
R V +R 1+R V
由于一般电压表R V ＞＞r ，∴E 测≈E ，r 测≈r 误差较小，一般采用这种接法测电动势和内阻。
②电流表外接（如图4，设电流表内阻R A ，待测电源E 和r ）
将电流表R A 和电源看成是一个电压源，等效电压源的电动势E ’为将可变电阻R 两端开路
时的端电压U ，即E ’=U =E ，等效电压源的内阻r ’为R A 与r 的串联，即r ’=R A +r 同理 E 测=E ' =E r 测=r ’=R A +r >r
由于一般电源的内阻和电流表的内阻相差不多，采用这种方法时，使内阻的测量误差非常大。
除了伏安法外，新教材还介绍了伏欧法和欧安法。 二、伏欧法（U-R 法） U 1、方法介绍：
E =
U +Ir =U +r R
如果能得到U ，R 的两组数据，同样能求得E 和r 。 实验器材：电压表，变阻箱，如图8。
（1）公式法 (R 2-R 1)U 1U 2
U 1
E =E =U 1+r U 1R 2-U 2R 1
R 1
U 2(
U 2-U 1)R 1R 2
E =U +
r 2r =R 2
U 1R 2-U
2R 1
（2）图象法
由I=U/R把变量R 转换成I ，通过U-I 图象求E 和r 。
2、误差分析：
由于实验中电压表电阻R V 的存在，具有分流的作用，I 真=U/R +IV , 类似于伏安法电流表内接情况的误差分析。
三、欧安法（R=I法）
1、方法介绍：E=U+Ir=IR+Ir
如果能得到I ，R 的两组数据，也能求得E 和r 。
实验器材：电流表，变阻箱，如图9。
（1）公式法
(R -R 1)I 1I 2
E =2
E =I 1R 1+I 1r I
1-I 2 I 2R 2-I 1R 1E =I 2R 2+I 2r r = I 1-I 2（2）图象法
由U=IR把变量R 转换成U ，通过U-I 图象求E 和r 。
2、误差分析：
由于实验中电流表电阻R A 的存在，具有分压的作用，U 真=IR+UA , 类似于伏安法电流表外接情况的误差分析。
四、补偿法
以上讨论的三种方法，都存在着系统误差，虽然通过前面的误差分析我们可以算到准确
的结果，但毕竟不方便。我们希望能寻求更简便，更准确的实验方法或实验仪器来测量电源电动势。
要想准确的测一个电源的电动势，必须在没有任何电流通过该电源的情况下测定它的路端电压，解决这个问题的办法就是利用补偿法。
B
图11
原则上可以采用图10所示的电路，其中E x 是待测电源，E 0是可以调节电动势大小的电源，两个电源通过检流计G 反接在一起。当调节电动势E 0的大小，使检流计的指针不偏转（既电路中没有电流）时，两个电源的电动势大小相等，互相补偿，即E x =E0，这时电路达到平衡。
为了得到准确、稳定、便于调节的E 0，实际中采用如图11所示的电路代替上面的电路。在这个电路里，供电电源E ，制流电阻R(调节R 可以改变供电电源的输出电流) 和滑线电阻AB 所组成的回路，叫做辅助回路，它实质上是一个分压器，电流流过滑线电阻时，电势从A 到B 逐点下降，在A 、B 间拨动滑动接触头C ，就可以改变A 、C 段电阻两端的电压U AC 。标准电源Es 、待测电源Ex 与检流计所组成的支路叫补偿回路。
测量时，把开关拨到位置“1”，滑动C 使检流计指零，则E s =UAC =IRAC ，再将开关拨到位置“2”，滑动C 使检流计再指零，则E x =U AC ' =IR AC ' =
R AC '
⋅E s 。只要能读出两次AC 间的电阻，R AC
即可求得Ex 。这便是电位差计（可用来准确测量电源电动势的仪器）的工作原理。
[参考文献]
[1]《普通高中课程课程标准实验教科书 物理 选修3-1》 人民教育出版社 2007年7月 [2]《电磁学》 赵凯华 陈熙谋 高等教育出版社 [3]《电工学》秦光戎 北京师范大学出版社
[4] 李琪宏 “等效电压源法分析负载的最大功率”， 中学物理教学参考，第35卷第6期，2006年