高中各种不等式的题型

1、一元二次不等式

十字相乘法

22

(1)x-2x+1= ； (2)x+x-2= ；

22

(3)3x-5x-2= ； (4)3x+5x-2= ；

22

(5)3x-5x-50= ； (4)4x+7x-15= 。 练习

22

（1）x -2x-8= 。 (2)x-x-2= ；

22

（3）x -5x+6= （4）6x -7x+2

22

（5）6x -17x-3= （6）4x +8x+3=

22

(7)4x-13x+3= (8)6x+7x-10=

2

(9)6x+13x-10= 一元二次不等是的解法

22

(1)x-2x+1

22

(3)3x-5x-2>0 (4)3x+5x-2>0

22

(5)3x-5x-5≤0 (6)4x+7x-15≥0 （7）3x 2－5x ＋4＞0 集合运算

1. （2010浙江理）（1）设P=｛x ︱x

22. （2010山东文）（1）已知全集U =R ，集合M =x x -4≤0，则C U M = 2

3（2010北京文）⑴ 集合P ={x ∈Z 0≤x

2

{}

2

4. (2009年广东卷文) 已知全集U =R ，则正确表示集合M ={-1,0,1}和N =x |x +x =0

{}

关系的韦恩（V enn ）图是 ( )

5. （2009北京文）设集合A ={x |-6. （2009安徽卷文）若集合

2

1

，则A B =

7. （2009福建卷理）已知全集U=R，集合A ={x |x -2x >0}，则ðU A 等于

8. （2005年重庆文）若集合A ={x ∈R |x -4x +3

则A B = .

2

9、（2009广州一模）已知全集U=R，集合A={x|x2－x=0}，B={x|－10) 12、若不等式ax +x +b >0的解为-

2

11

2、高次不等式

1

2、不等式

x x -1

≥2的解集为 3、不等式x

1、不等式

4、不等式(3x 2-8x -3)(x -2) 2

(x -3)(10-x )

≥0的解集为 2

x (x -1)

x 3+x

≤0的解集为 6、不等式3

x -1

7、解不等式（x+2）(x-a)/(x-3) ≤0

8、解关于x 的不等式(x +1)(x -3)(x -a )

a -x

>0 2

x -x -2

1

10、 解不等式：x -1

3、绝对值不等式的解法

（1） 3x -≤2 （2）2-3x ≥7

（3）2x -3

1

x +1>3 2

（5)|

x +5

≥2 x +2

1. （2005年重庆卷理）集合A ={x ∈R |x 2-x -6

A B 2、（2010山东理数）1. 已知全集U=R，集合M={x||x-1|≤2},则C U M=

2

3. （2009四川卷理）设集合S =x |x

{}{}

4. （2005年重庆卷理）集合A ={x ∈R |x 2-x -6

A B 5、（2009昆明一中第三次模拟理）已知集合

M ={x |2x +1>3}, N =M ={x |2x +1>3}, N =x |x 2+x -6≤0，则M N 等于

26、（2009上海八校联考）已知全集U =R ，集合A ={x |x -2x -3≤0, x ∈R ，}

{}

B ={x ||x -2|

7.2010天津文数）(7)设集合

则实数a 的取值范围是。 A ={x||x-a|

8、2010天津理数）(9)设集合A={x ||x -a |2, x ∈R }. 若A ⊆B, 则实数a,b 必满足

2

9. （2007年北京）已知集合A =x x -a ≤1，B =x x -5x +4≥0，若A B =φ，

{}

{}

则实数a 的取值范围是 .

10.(2009年4月北京海淀区高三一模文) 已知A =x |x -a |3. （I ）若a =1，求A B ；

（II ）若A B =R ，求实数a 的取值范围.

{}{}

4、指、对不等式

1、不等式0. 1

lg x 2

>1的解集是

1x

2、解不等式lg(x -) (

2x

-a x -2

)

51–x 5x

) ＜(k2－2k ＋) 的解集是 ( ) 22

11

A ．x ＞ B ．x ＜ C ．x ＞2 D ．x ＜2

22

6、不等式lgx 2＜lg 2x 的解集是 ( )

1

,1) B ．(100,＋∞) 1001C ． (,1) ∪(100,＋∞) D ．(0,1)∪(100,＋∞)

100

1

7、若不等式x 2－log a x ＜0在(0,) 内恒成立, 则a 的取值范围是 ( )

2

1111A ．≤x ＜1 B ．＜a ＜1 C ．0＜a ≤ D ．0＜a ＜

16161616

A ．(

8、若a －1≤log 1x ≤a 的解集是[

2

x

11

, ],则求a 的值为多少？ 42

x +1

9、 不等式log 2 (2－1) ·log 2 (2

－2)

3(x -1)

⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛1⎫x 2-2x -32

⎪⎪⎝2⎭33⎩⎭⎩⎭

又A ∩B={x|x2+ax+b＜0},求a+b等于多少？

5、线性规划

⎧x -2≤0,

⎪

1．已知点P （x ，y ）在不等式组⎨y -1≤0, 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取

⎪x +2y -2≥0⎩

值 范围是

A ．[－2，－1] B ．[－2，1]

2、非负实数x , y 满足⎨

C ．[－1，2]

D ．[1，2]

（ ）

⎧2x +y ≥3

，则x +3y 的最大值为 。

⎩x +y -3≤0

⎧2x -y ≤2⎪

3、设变量x 、y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，则z =2x +3y 的最大值为

⎪x +y ≥1⎩

⎧2x +y -2≥0⎪22

4、已知：⎨x -2y +4≥0，求z =x +y 的最值，并求出z 取得最值时的x , y 的值。

⎪3x -y -3≤0⎩

5、已知f(x)=ax2-c, 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5, 求f(3)的范围。

6、最值问题（均值不等式）

1、下列结论正确的是

B ．当x >0时, x +

A ．当x >0且x ≠1时, lg x +1≥2

lg x

1

（ ）

x

≥2

1

无最大值 x

11

2、已知0＜x ＜，求函数y=x(1-3x)的最大值; 3、求函数y=x+的值域.

3x

C ．当x ≥2时, x +

D ．当0

4、已知x ＞0,y ＞0，且

1

的最小值为2 x

19

+=1，求x+y的最小值. x y

5、 f(x)=3+lgx+

4

的最小值（0＜x ＜1）. lg x

a b

+=1，x+y的最小值为18，求a,b 的值. x y

6、 已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,

1x 4+3x 2+3

7、当x ＞-1时，求f(x)=x+的最小值. 8、求函数y=的最小值.

x +1x 2+151

，求函数y=4x-2+的最大值 44x -538

10、当x ＜时，求函数y=x+的最大值.

22x -3

9、已知x ＜

11、 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围; （2）求ab +12、

函数y =. 13、已知a , b 为两个正常数，x , y 是正实数，且

1

的最小值. ab

a b

+=1，求x +y 的最小值 x y

111

14、 设a , b , c ∈(0,+∞), 且a +b +c =1，求证：(-1)(-1)(-1) ≥8.

a b c

15、如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.

（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？ 16、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示), 由于地形限制, 长、宽都不能超过16米, 如果池外周壁建造单价为每米400元, 中间两道隔墙建造单价为每米248元, 池底建造单价为每平方米80元, 池壁的厚度忽略不计, 试设计污水处理池的长和宽, 使总造价最低, 并求出最低造价.

17、某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

18、(2004江苏) 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

7、用均值不等式求最值的类型及方法

知识清单：

一、均值不等式： 延伸：a +b +c ≥ ，a 3+b 3+c 3≥ 延伸至n 个正数的重要不等式：

b

二、函数f (x ) =ax +(a 、b >0) 图象及性质

x

图象：

值域：

单调区间：

三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个数和的最值。 1．求函数y =

1

+x (x >3) 的最小值。 x -3

51，求函数f (x ) =4x -2+的最大值。 44x -515

2x -1+5-2x (

22

2. （1） 已知x

（2）求函数y =

3．下列函数中，最小值是4的是（ ） A ． y =x +

42

B． y =2x +2+x

4πx -x

， x ∈[0, ] D． y =2(7+7) sin x 2

2x +2

2

C ． y =sin x +

4. 下列不等式中错误的一个是 （ ）

x 2+2x y z ≥2(x ∈R ) ++≥32+

A. y z x （x 、y 、z ∈R ） B. x +1

1g x +1og x 10≥2(x >0，且x ≠1） D.

x +

1

≥2(x ≥1) x

C.

5. 当x>1时， y =x +

116x

+的最小值是x x 2+1

y =x +

6．求函数

1

(x >1) 2

2(x -1) 的最小值。

类型Ⅱ：求几个数积的最值。 7．若 8．当

时，求

的最大值。

，求

的最大值。

3

y =x 2(3-2x )(0

2的最大值。 9．求

x 2+

10.已知x ＞y ＞0，求

4

y (x -y ) 的最小值及取最小值时的x 、y 的值.

类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 11. 若x 、y ∈R ，求f (x ) =x +

+

4(0

的最小值。

x

y =

12. 已知函数

x 2+4

x 2+3，求函数的最小值。

1

22

13．设0＜a ＜b ，a ＋b ＝1，则2、a 、b 、2ab 、a +b 的大小顺序是（ ）

a

A．

1111

2C ．2 D．

类型Ⅳ：条件最值问题。

81+=1

14．已知正数x 、y 满足x y ，求x +2y 的最小值。

t =

15. 已知

，求

11

+

a b 的最小值。

9=

16. 已知

，且

11+

x y ，求

的最小值。

23

+=2,(x >0, y >0)

xy x y 17．已知, 则的最小值是____________

41+＝1

18．试填写两个正整数，满足条件 [ ][ ]，且使这两个正整数的和最小。

类型Ⅴ：化归成均值不等式求解的问题。

19、已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，试求xy 、x +y 的范围。

20、已知： xy -4x -y =0, 且x ＞0,y ＞0, 则 x +y 的最小值是＿＿＿

+22

a , b ∈R S =4a -b 2a +b =

121、 已知: 设，且，则的最大值是＿＿＿

y 2

x +=1222、设正数x,y 满足,

则

2

23、求函数

的最小值。

y =

24、试分别求：

x -1

(x >1) y =

x 2-x +1；

x ；

的最大值。

y =

25、 求函数

(x +4)(x +9)

x 的最值。

26、求

27、求

的值域。

y =2log 2(x -2) -log 2(x -3) +1最小值。

x

y

x +y

28、已知：2+2=6， 则 2的最大值是＿＿＿

x y 3+27+3最小值为＿＿＿ 29、点（x ，y ）在直线x+3y-2=0上，则

a b

30已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，那么3＋3的最小值是 ( )

A. 6 B. 6 C. 8 D. 8 31、若数列{

a n }的通项公式是

a n =

n

n 2+81则数列{a n }中最大项等于＿＿＿ ；

11n +

32、 设 x ＞y ＞z , n∈N ﹡, 且 x -y y -z ≥ x -z 恒成立。

则n 的最大值是 ( )

A.2 B.3 C.4 D.5

33、 已知：

⎛π⎫α∈ 0, ⎪

2

⎝

⎭ , x ∈(1,2)

1414

++22

⑴则sin αcos α的最小值是＿＿＿ ⑵则 2-x x -1的最小值是＿＿＿ 14+

34、 （1）已知：x ∈(2,6), 则6-x x -2的最小值是＿＿＿

29129+x ∈(0,) +

2, 则 x 1-2x 的最小值为＿＿＿ ⑵已知: x 1-2x

35、 已知: 在 ABC , ∠A, ∠B, ∠C ， 的对边分别是a, b, c ，则求满足下列条件的∠B 范

围分别是＿＿＿

2

b ⑴若 a=2, b=1。 ⑵若 =ac 。 ⑶若 2b =a +c 。