有穷无穷递增递减数列知识点+练习题
数列的分类
(1)按项数分:可以分为有穷数列和无穷数列,即如果项数是有限的那么就是有穷数列,如果项数是无限的那么就是无穷数列:
(2)按增减分:可以分为递增数列和递减数列,即如果数列的项是随着项数的增加而增加的就是递增数列,如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列;
(3)按项的特点分:可以分为摇摆数列和常数列,即如果数列的项是在某个或某几个数之间来回摇摆就是摇摆数列,如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数列。
有穷数列的定义:
项数有限的数列叫做有穷数列;
无穷数列的定义:
项数无限的数列叫做无穷数列;
递增数列的定义:
一般地,一个数列{an },如果从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。
递减数列的定义:
如果从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。
单调数列:
递增数列和递减数列通称为单调数列.
数列的单调性:
1. 对单调数列的理解:数列是特殊的函数, 特殊在于其定义域为正整数集或它的子集. 有些数列不存在单调性. 有些数列在正整数集上有多个单调情况, 有些数列在正整数集上单调性一定; 2. 单调数列的判定方法:已知数列{an }的通项公式,要讨论这个数列的单调性,即比较a n 与a n+1的大小关系,可以作差比较;也可以作商比较,前提条件是数列各项为正。
摆动数列的定义:
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。
巧用(-1)n 求摆动数列的通项:
在数列中,我们经常会碰到求形如:1,-1,1,-1,…,或-1,1,-1,1,…,等数列的通项,很显然,我们只要利用(-1)n 进行符号的调整,就能很快求出数列的通项公式,我们在其它摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1)n 求出通项公式。
例题1. 有穷数列1,23,26,29,…,23n+6的项数是( )
A .3n+7 B .3n+6 C .n+3 D .n+2
答案:C
例题2. 已知{an }是递增的数列,且对于任意n ∈N*,都有a n =n2+λn 成立,求实数λ的取值范围
解:∵{an }是递增的数列,
∴a n ≤a n+1对任意的n ∈N*恒成立,
即n 2+λn ≤(n+1)2+λ(n+1),解得λ≥-2n-1, ∵-2n-1≤-3, ∴λ≥-3
例题3. 共有10项的数列{an }的通项a n =( )
,则该数列中最大项、最小项的情况是
A. 最大项为a 1,最小项为a 10 B. 最大项为a 10,最小项为a 1 C. 最大项为a 6,最小项为a 5 D. 最大项为a 4,最小项为a 3
答案:D
例题4*. 在单调递增数列{an }中,a 1=2,不等式(n+1)an ≥na 2n 对任意n ∈N*都成立, (Ⅰ)求a 2的取值范围;
(Ⅱ)判断数列{an }能否为等比数列?说明理由;
(Ⅲ)设,求证:对任意的n ∈N*,
(Ⅰ)解:因为{an }是单调递增数列,所以令n=1,
,所以
。
,
(Ⅱ)证明:数列{an }不能为等比数列。
用反证法证明:假设数列{an }是公比为q 的等比数列,因为{an }单调递增,所以q >1, 因为n ∈N*,(n+1)an ≥na 2n 都成立,
,
所以n
∈N*,因为q >1,所以
, ① ,使得当
时,
,
因为(n ∈N*),
所以,当时,,与①矛盾,故假设不成立。
(Ⅲ)证明:观察:猜想:
;
,,…,
用数学归纳法证明: (1)当n=1时,(2)假设当n=k
时,当n=k+1
时,
成立; 成立;
,
所以
,
根据(1)(2)可知,对任意n ∈N*,都有,即,
由已知得,
所以,
所以当n ≥2时,因为
,
,
, ,
,
所以对任意n ∈N*,
对任意n ∈N*,存在m ∈N*,使得因为数列{an }单调递增,所以因为
,
,
所以。
例题5. 已知下列数列:
(1)2 000,2 004,2 008,2 012;
(2)0,;
(3)1,;
(4)1,;
(5)1,0, -1,…,sin (6)3,3,3,3,3,3
,…;
其中,有穷数列是( ),无穷数列是( ),递增数列是( ),递减数列是( ),常数列是( ),摆动数列是( ),周期数列是( )。(将合理的序号填在横线上)
答案:(1)(6);(2)(3)(4)(5);(1)(2);(3);(6);(4)(5);(5)
例题6. 下列叙述中正确的个数为 ( ) ①数列{an },a n =2是常数列;
②数列是摆动数列;
③数列是递增数列;
④若数列{an }是递增数列,则数列{an ·a n+1}也是递增数列;
A .1 B .2 C .3 D .4
答案:C
例题7. 已知S k 表示数列{ak }的前k 项和,且S k +Sk+1=ak+1(k∈N*),那么此数列是( A .递增数列 B .递减数列 C .常数列 D .摆动数列
)
例题8. 设S n 为数列{an }的前n 项和(n=1,2,3,……)。按如下方式定义数列 {an }:a 1=m(m ∈N*),对任意k ∈N*,k >1,设a k 为满足0≤a k ≤k-1的整数,且k 整除S k , (Ⅰ)当m=9时,试给出{an }的前6项;
(Ⅱ)证明:k ∈N*,有;
(Ⅲ)证明:对任意的m ,数列{an } 必从某项起成为常数列。
解:(Ⅰ)m=9时,数列为9,1,2,0,3,3,3,3, 即前六项为9,1,2,0,3,3。
(Ⅱ)
;
,
由(Ⅱ)可得
为定值且单调不增,
∴数列必将从某项起变为常数,
不妨设从l 项起为常数,则,
于是,
所以
所以{an }当n ≥l+1时成为常数列。
,
例题9*.数列{an }满足:a n+1=3an -3a n 2,n=1,2,3,…。 (Ⅰ)若数列{an }为常数列,求a 1的值;
(Ⅱ)若a 1=,求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求证:数列{a2n }单调递减。
(Ⅰ)解:因为数列为常数列,
所以,,
,
由n 的任意性知,或。
(Ⅱ)证明:用数学归纳法证明,
①当n=1时,,符合上式;
②假设当n=k(k ≥1)时,,
因为, 所以,即,
从而,即,
因为,
所以,当n=k+1时,成立,
由①,②知,。
(Ⅲ)证明:因为
(n ≥2),
所以只要证明由(Ⅱ)知,所以只要证明即证明令
,
,
所以函数f(x)在R 上单调递增;
,
,
,
,
因为,
所以,故
,所以数列
,即
单调递减。
成立,
例题10*.已知A n (a n ,b n )(n ∈N*)是曲线y=ex 上的点,a 1=a,S n 是数列{an }的前n 项和,且满足:
,n=2,3,4,…
(Ⅰ)证明数列是常数数列;
(Ⅱ)确定a 的取值集合M ,使a ∈M 时,数列{an }是单调递增数列; (Ⅲ)证明当a ∈M 时,弦A n A n+1(n ∈N*)的斜率随n 单调递增。
解:(Ⅰ)当n ≥2时,由已知得因为
,
, …………①
于是由②-①得于是由④-③得
, …………② , …………③ , …………④ , …………⑤
所以(Ⅱ)由①有由③有而⑤表明:数列所以数列
是单调递增数列
,
(n≥2) 是常数列。
,
分别是以a 2、a 3为首项,6为公差的等差数列,
,
对任意的k ∈N*成立
,
即所求a 的取值集合是。
(Ⅲ)弦,
任取x 0,设函数记当当所以
所以f (x )在
上为增函数, 上为减函数,
,从而f ′(x )>0, 上都是增函数;
,
,
由(Ⅱ)知,当a ∈M 时,数列单调递增, 取; 取
所以的斜率随n 单调递增。 ; .