求矩阵的特征值与特征向量的新方法
第11卷 第3期 铜仁学院学报
2009年 5 月 Journal of Tongren University
求矩阵的特征值与特征向量的新方法
何 翼
( 铜仁学院 数学系,贵州 铜仁 554300 )
摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具。本文主要阐述了利用初等变换求矩阵的特征值与特征向量。
关键词: 矩阵; 初等变换; 特征值; 特征向量
中图分类号:O151.21 文献标识码:A 文章编号:1673-9639 (2009) 03-0139-02
求矩阵A的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵A的特征多项式f(λ)=λE−A的全部特征根,然后对每个
⎛Pm×r
是矩阵A,En经一系列的初等变换成为⎜⎜Q1
⎝
秩P=r,由此便得到Q2。
()
0Q2
⎞⎟,⎟其中⎠
特征根的λi(i=1,2,",n)求解齐次线性方程组线性无关的特征向量。
下面给出的方法与传统的方法不同,是在求矩阵特征根
(λiE−A)X=0的一个基础解系,即为A的属于特征根λi的
定理2 n阶矩阵A的特征矩阵(λE−A)经列的初等变换可成为下三角矩阵:
的同时就得到属于特征根的特征向量,方法是利用矩阵的初等变换,简单易行,其理论依据是下面的两个定理。
定理1 设齐次线性方程组Am×nX=0的系数矩阵A的⎛Er
秩数r
⎝
0⎞
⎟的非奇异矩阵Qn×n的后n−r列0⎟⎠
0⎛d1(λ)⎜
d2(λ)⎜∗
(λE−A)~⎜
##⎜⎜∗∗⎝
"0⎞
⎟
"0⎟
=G(λ)
%#⎟
⎟
"dn(λ)⎟⎠
其中d1(λ)、d2(λ)、……、dn(λ)的根就是A的特征多项式f(λ)=λE−A的根。
⎛λE−A⎞列初等变换⎛G(λ)⎞
由定理1知:当⎜⎜E⎟⎟⎯⎯⎯⎯⎯→⎜⎜Q(λ)⎟⎟时,对
⎝⎠⎝⎠
矩阵A的每个特征根λi,如果秩Gλi=n−ri,则在矩阵
便构成线性方程组的一个基础解系。
证明: ⎛Er
∵ PAQ=⎜⎜0
⎝
0⎞⎟ 0⎟⎠
())
⎛Er0⎞⎛Er0⎞⎟⎜=,PP∴AQ=P−1⎜12⎜00⎟⎜00⎟⎟=P1,0
⎝⎠⎝⎠
又∵ AQ=AQ1,Q2=AQ1,AQ2
()()
)(
∴ (AQ1,AQ2)=(P1,0)
()
⎛G(λ)⎞⎜⎜Q(λ)⎟⎟中,如果Gλi中恰有ri个0列,则Gλi中与这⎝⎠
ri个0列相应的列便是方程组λiE−AX=0的基础解系,
()
()
(
即为A的属于特征根λi的线性无关的特征向量;如果Gλi
()
从而AQ2=0,即Q的后n−r列,即Q2的诸列为方程组AX=0的列向量。
因为Q为非奇异矩阵,所以Q2的n−r列线性无关,故它们构成方程组AX=0的一个基础解系。
如何求矩阵Q,从而得到Q2,从上面的证明过程可以看出,需要进行如下计算:
因矩阵A的秩为r,A有r列线性无关向量组,于
收稿日期2009-02-02
⎛G(λ)⎞
中0列少于ri个,则对⎜⎜Q(λ)⎟⎟继续作列的初等变换,直到
⎝⎠
Gλi中的列的个数为ri,然后再同上取Qλi中与这个0
()()
列对应的列。
⎛011⎞⎜⎟
例 已知A=⎜11−1⎟,求矩阵A的特征根和特征向
⎜011⎟⎝⎠
量。
作者简介:何 翼(1981 -),女,贵州铜仁人,助教,主要从事数学教学和数据挖掘研究。
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2009年第3期 铜仁学院学报
解:
⎛G(λ)⎞=⎜⎜Q(λ)⎟⎟ ⎝⎠
⎛λE−A⎞
⎜⎟⎜E⎟
⎠⎝
−1−1⎞⎛λ
⎟⎜
1⎟⎜−1λ−1
⎜0−1λ−1⎟⎟⎜=⎜100⎟
⎟⎜
10⎟⎜0
⎜001⎟⎠⎝
0λ−1⎛−1
⎜
λ−2λ2−λ⎜1
⎜λ−1−λ1→⎜⎜000⎜
10⎜0
⎜1λ−1⎝
由λ(λ−1)2=0知A的特征根λ1=0,λ2=λ3=1。 0⎞⎛−10
⎜⎟
10⎟⎜1
−100⎟⎛G(0)⎞⎜⎜⎟ , 特征向量当λ=0时, ⎜⎜Q(0)⎟⎟=⎜012⎟⎝⎠⎜⎟⎜0−1−1⎟⎜111⎟⎝⎠⎛2⎞
⎟⎜
α1=⎜−1⎟。
⎜1⎟
⎠⎝
⎛−10
⎜
⎜1101⎛G(1)⎞⎜⎜⎟当λ=1时,⎜=⎜Q(1)⎟⎜01
⎝⎠
⎜
⎜0−1⎜12⎝
0⎞⎟0⎟0⎟
⎟ ,特征向量1⎟⎟0⎟1⎟⎠
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
00⎞⎛−1
⎜⎟
λ−21⎟⎜1
2⎟⎜λ−1λλ⎟→⎜
⎜001⎟⎜⎟
−1⎟1⎜0
⎜1−1λ+1⎟⎝⎠00⎛−1⎞⎜⎟
10⎜1⎟
2⎜λ−1λ2−λ(λ−1)⎟⎟→⎜
⎜0−λ+2⎟1⎜⎟
−1λ−1⎜0⎟
2⎜1λ+1−λ+λ+1⎟⎝⎠
⎛1⎞
⎜⎟α2=⎜0⎟。
⎜1⎟⎝⎠
参考文献:
[1] 张肇炽,曹锡华.线性代数及应用[M].西安:西北工业大学出版社,
1988.
[2] 孟道骥.高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社,1998.
A New Method of Matrix Eigenvalue and Eigenvector
HE Yi
( Department of Maths,Tongren University, Tongren,Guizhou 554300, China )
Abstract: Elementary transformation of matrix is a elementary concept of higher algebra.This article discussed applying the
Matrix’s elementary transformation calculating the eigenvalue and eigenverctor. Key words: matrix; elementary transformation; eigenvalue; eigenverctor
(责任编辑 王婷婷)
(上接114页)
( Tongren University,Tongren,Guizhou 554300 )
Abstract: This article discusses the aim and significance of undergraduate teaching assessment based on the coming application for
the bachelor degree conferral right and undergraduate teaching assessment in Tongren University. It also discusses the connotation of undergraduate teaching quality and orientation of talent cultivation. It has historical basis and practical and significance to promote undergraduate teaching quality at the time of teaching assessment and construction.
Keywords: undergraduate; teaching level; assessment; connotation ( 责任编辑 谭小芬 )
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