三垂线法作二面角的平面角的技巧
学科：奥数
教学内容：三垂线法作二面角的平面角的技巧
求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．
我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：
如图1，在二面角—l一中，过平面内一点A作AO⊥平面，垂足为O，过点O作OB⊥l于B(过A点作AB⊥于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角。—l—的平面角．
作图过程中，作出了两条垂线AO与OB(或AB)，后连结AB两点(或OB两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：
1．善于利用图中已有的“第一垂线”
例1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．
(1)求证：BC⊥平面AA1CC1；
(2)求二面角B一AA1—C的大小．
剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”． 略解2 A1A与底面AB成的角为60°，所以∠A1AC＝60°，又M是AC中点，所以△AA1C是正三角形，作CN⊥AA1于N，点N为A1A的中点，连结BN，由BC⊥平面AA1CC1，BN⊥AA1，则∠BNC为二面角B一AA1一C的平面角．设AC＝BC＝a，正△AA1C的边长为a，所以CNBCa2a，在Rt△BNC中，tan∠BNC=，即∠NCa32
2
BNCarctan23. 3
例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC＝1，AD＝1 2
(1)求四棱锥S—ABCD的体积；
(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
剖析：由SA⊥面ABCD及∠ABC=90°，不难发现，BC即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．
略解2 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，因为AD∥BC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB，因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角，因为SBSAAB
∠BSC=222，BC=1，BC⊥SB，因为tanBC22，即所求二面角的正切值为．
SB22
2．借助第三个平面，作“第一垂线”
例3 如图4，正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为a，侧棱长为2a，若经过对角线2
AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D．
(1)确定点D的位置，并证明你的结论；
(2)求二面角A1—AB1—D的大小．
剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是A1C1中点．二面角A1—AB1一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A1B1C1过点D且与平面A1AB1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D作DF⊥A1B1，由面面垂直的性质知，DF⊥面A1AB1，即DF为我们要作的“第一垂线”．
略解2 在平面A1B1C1内，作CF⊥A1B1于F，连DC，由三垂线定理可证AB1⊥DG，∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角，在正△A1B1C1中，因为D是A1C1中点，A1B1＝a，所以B1F3a，在Rt△DFG，可求得∠DCF=45°． a，DF44
3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”
例4 已知：Rt△ABC的斜边BC在平面内，AB、AC分别与平面。成30°和45°角，求平面与△ABC所在平面所成二面角的大小．
剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到AB、AC与平面所成的角均已给出，只要过A作AO⊥于O，就可以同时找到AB、AC在平面内的射影，无疑这样得到的“第一垂线"AO有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算．
解：作AO⊥于O，OD⊥BC于D，连OB，AD，OC，由三垂线定理得：AD⊥BC，所以∠ADO是二面角A—BC—O的平面角，令AO＝x，在Rt△AOB中，∠ABO＝30°，所以AB＝2x，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，所以AC2x，因为∠BAC=90°，所以BCx，所以AD2x2x
6x23x。 3
在Rt△AOD中，sin∠ADO
成60°或120°的二面角．
AO，所以∠ADO＝60°，所以三角形ABC与面AD2