中考冲刺数学教案-抛物线与三角形

中考数学冲刺教案一

—抛物线专题精炼（压轴题）

一、知识精炼

题型：1、平行四边形与抛物线2、梯形与抛物线3、等腰三角形、菱形与抛物线

4、直角三角形与抛物线5、相似三角形与抛物线6、抛物线中的翻折问题

目标：1、熟练求解抛物线表达式

基本方法：将已知点逐个代入表达式，求解方程组。一般会有（0，y ）,(x,0)特殊点。

基本公式：顶点坐标（

）

2、熟练求解面积S ，长度L 。主要是特殊三角形（直角、等腰等等）、平行四边形、梯形。

基本方法：结合已求得的抛物线的表达式（一般为纵坐标y ）以及几何

图形的面积公式。

3、猜想某四边形的形状，包括菱形、正方形、等腰三角形等等。 基本方法： 菱形的判定：对角线相互垂直平分的平行四边形、临边相等的平行四边

形、四条边都相等的四边形。

正方形的判定：有一个顶角为直角的菱形、对角线相等的菱形。 4、抛物线翻折(只作参考)

基本方法：抓住抛物线线上某几个特征点即可。 若关于X 轴对称，x 坐标不变，y 取相反数。 若关于Y 轴对称，y 坐标不变，x 取相反数。 若关于y=x对称就是由点（x,y ），翻折到点（y,x ）, 即横坐标与纵坐标

互换。

二、本次教学任务

主要围绕抛物线与三角形结合的问题进行教课。

1、完成第1、2两题，这两题与南京市近年来的出题思路几乎一致，属于难度中等难度。

2、从第3题到第5题，要求完成第（1）（2）两小问，这三道题主要是结合了直角三角形。对抛物线表达式进行的求解，以及对三角形面积的求解或者等价判断。代表性强，综合性较高。 3、解答课外的疑问。

预想效果：如果将1、2两项练扎实了，总分数绝对可以提高6分左右。

三、几点建议

要想提高分数，重在多问，将遗留问题解决。重在实实在在的练习，将基本功练扎实。

1、复习过程中，注重动手做题，不能只是看、猜。

2、最后阶段，重新审视之前做过的试卷，任意三套即可。目的：（1）看做对的题，增加对同类型题目的解题信心。（2）对做错的题重新整理一下解题思路，并总结出新的。

3、每次上完课，都要有所收获，哪怕是一点。

四、配套练习

1、已知抛物线y

=12x

2

+x +c

与x 轴没有交点.

（1）求c 的取值范围； （2）试确定直线y 2. 已知抛物线y

=cx +1经过的象限，并说明理由．

2

=x +m x -

34

m (m >0)

2

与x 轴交干A 、B 两点。

（1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧； （2）若

1O B

-

1O A

=23

(O为坐标原点) ，求抛物线的解析式；

（3）设抛物线与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形．求△ABC 的面积．

3、如图，直线l 1经过点A （﹣1，0），直线l 2经过点B （3，0），l 1、l 2均为与y 轴交于点C （0，），抛物线y =ax +bx +c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴依次与x 轴交于点D 、与l 2交于点E 、与抛物线交于点F 、与l 1交于点G ．求证：DE =EF =FG ；

（3）若l 1⊥l 2于y 轴上的C 点处，点P 为抛物线上一动点，要使△PCG 为等腰三角形，请写出符合条件的点P 的坐标，并简述理由．

2

4、如图，已知抛物线y =ax +bx +c （a ≠0）的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为（3，﹣）．

（1）求抛物线的函数解析式及点A 的坐标；

2

（2）在抛物线上求点P ，使S △POA =2S △AOB ；

（3）在抛物线上是否存在点Q ，使△AQO 与△AOB 相似？如果存在，请求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

5、如图，抛物线y =

与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），

与y 轴交于点C ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．

参考答案：

1、（1）c ＞

1

2

（2）顺次经过三、二、一象限。因为：k ＞0， b=1＞0

2、（本小题满分10分） （1）证明：∵m >0 ∴x

=-

b m 2a

=-

2

（1分）

∴抛物线的对称轴在y 轴的左侧 （2分）（2）解：设抛物线与x 轴交点坐标为A （x 1，0），B （x 2，0），则x 2

1+x 2=-m

=-

34m

∴x 1与x 2异号 （3分） 又

112OB

-

OA

=3

>0 ∴OA >OB

由（1）知：抛物线的对称轴在y 轴的左侧 ∴x 10

∴OA =x 1=-x 1, OB =x 2 代入

12OB

-

1OA

=

3

得：

11x -

2

-x =

1x =2即

1

x +

12

1

3

x 1+x 2x =

21⋅x 2

3

，从而

-m -

3=

23

4m

2

4

分）

（

解得：m =2 （5分） ∴抛物线的解析式是y （3）解法一： 当x =0时，y

=-

34m

2

=x

2

+2x -3 （6分）

，抛物线与y 轴交点坐标为C （0，-

34

m

2

）

∵∆ABC 是直角三角形，且只能有AC ⊥BC ，又OC ⊥AB ， ∴∠CAB= 90°— ∠ABC ，∠BCO= 90°— ∠ABC ∴∠CAB =∠BCO

∴Rt △AOC ∽Rt △COB ， （7分） ∴

OC OB

=AO OC

22

，即OC

=-x 1⋅x 2

32(43

2

2

=OA ⋅OB

4

∴-此时-

34

m

， 即

2

916

m =

34

m

2

解得：m

=

23

3

（8分）

34

m

2

2

=-

3)

=-1 ，∴点C

2

的坐标为（0，—1）∴OC=1

34

m ) =4m

2

2

(x 2-x 1) =(x 1+x 2) -4x 1⋅x 2=(-m ) -4⋅(-

（9分）

∵m >0，∴

x 2-x 1=2m

12

即AB=2m

12

∴∆ABC 的面积=解法二： 当x =0时，y

=-

⋅AB ⋅OC=⨯2m ⨯1=

23

3

（10分）

34

m

2

∴点C （0，-

34

m

2

2

）

=AC

2

∵∆ABC 是直角三角形 ∴AB

分）

∴(x 1

分）

∴-

2x 1⋅x 2=

34-x 2)

2

+BC

2

（7

=x 1+(-

2

34

m )

22

+x 2+(-

2

34

m )

22

（8

98

2

m

4

98m

4

∴ -

分）

2(-m ) =

解得： m

=

23

3

（9

∴

（10分）

S ∆ABC =

12

⨯AB ⋅OC =

12

x 1-x 2⋅-

34

m

2

=

12

⨯2m ⨯

34

m

2

=

23

3

3、解：（1）抛物线y =ax +bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，

2

）三点，

∴，解得a =，b =，c =，

∴抛物线的解析式为：y =x 2x ．

）

（2）设直线l 1的解析式为y =kx +b ，由题意可知，直线l 1经过A （﹣1，0），C （0，两点， ∴

，解得k =

，b =

，∴直线l 1的解析式为：y =

x ；

直线l 2经过B （3，0），C （0，∵抛物线y =

）两点，同理可求得直线l 2解析式为：y ==

（x ﹣1）

2

x ．

x 2x ， ）；

，∴E （1，，∴G （1，

）； ）．

∴对称轴为x =1，D （1，0），顶点坐标为F （1，点E 为x =1与直线l 2：y =点G 为x =1与直线l 1：y =

x x

的交点，令x =1，得y =的交点，令x =1，得y =），F （1，

∴各点坐标为：D （1，0），E （1，于对称轴x =1上， ∴DE =EF =FG =

．

），G （1，），它们均位

（3）如右图，过C 点作C 关于对称轴x =1的对称点P 1，CP 1交对称轴于H 点，连接CF ． △PCG 为等腰三角形，有三种情况：

①当CG =PG 时，如右图，由抛物线的对称性可知，此时P 1满足P 1G =CG ． ∵C （0，

），对称轴x =1，∴P 1（2，

）．

②当CG =PC 时，此时P 点在抛物线上，且CP 的长度等于CG ． 如右图，C （1，

），H 点在x =1上，∴H （1，

﹣（

）， ）|=

，

在Rt △CHG 中，CH =1，HG =|y G ﹣y H |=|

∴由勾股定理得：CG =∴PC =2．

=2．

如右图，CP 1=2，此时与①中情形重合； 又Rt △OAC 中，AC =

=2，∴点A 满足PC =2的条件，但点A 、C 、G 在同一条

直线上，所以不能构成等腰三角形．

③当PC =PG 时，此时P 点位于线段CG 的垂直平分线上． ∵l 1⊥l 2，∴△ECG 为直角三角形，

由（2）可知，EF =FG ，即F 为斜边EG 的中点， ∴CF =FG ，∴F 为满足条件的P 点，∴P 2（1，又cos ∠CGE =

=

）；

，∴∠CGE =30°，∴∠HCG =60°，

又P 1C =CG ，∴△P 1CG 为等边三角形，

∴P 1点也在CG 的垂直平分线上，此种情形与①重合． 综上所述，P 点的坐标为P 1（2，

）或P 2（1，

）．

3、解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y =ax +bx （a ≠0）， 又∵函数的顶点坐标为（3，﹣∴

，

），

2

解得：，

故函数解析式为：y =x 2﹣x ，

由二次函数图象的对称性可得点A 的坐标为（6，0）； （2）∵S △POA =2S △AOB ，

∴点P 到OA 的距离是点B 到OA 距离的2倍，即点P 的纵坐标为2代入函数解析式得：2解得：x 1=3+

，x 2=3﹣

=

，

x 2﹣

，

x ，

即可得满足条件的有两个，P 1（3+（3）存在．

，2），P 2（3﹣，2）．

过点B 作BP ⊥OA ，则tan ∠BAP =故可得∠BOA =30°， 设Q 1坐标为（x ，∵△OAB ∽△OQ 1A ， ∴∠Q 1OA =30°， 故可得OF =

=

，

x 2﹣x ），过点Q 1作Q 1F ⊥x 轴，

Q 1F ，即x =（

x 2﹣x ），

解得：x =9或x =0（舍去）， 即可得Q 1坐标为（9，3

），

）．

根据函数的对称性可得Q 2坐标为（﹣3，3

5、解：（1）令y =0，即解得x 1=﹣4，x 2=2，

∴A 、B 点的坐标为A （﹣4，0）、B （2，0）． （2）S △ACB =AB •OC =9， 在Rt △AOC 中，AC =

=

=5，

．

，这样的直线有2条，分

=0，

设△ACD 中AC 边上的高为h ，则有AC •h =9，解得h =

如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC ，且到AC 的距离=h =

别是l 1和l 2，则直线与对称轴x =﹣1的两个交点即为所求的点D ． 设l 1交y 轴于E ，过C 作CF ⊥l 1于F ，则CF =h =

，

∴CE ==．

设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A （﹣4，0），B （0，3）坐标代入， 得到

，解得

，∴直线AC 解析式为y =x +3．

直线l 1可以看做直线AC 向下平移CE 长度单位（个长度单位）而形成的， ∴直线l 1的解析式为y =x +3﹣=x ﹣． 则D 1的纵坐标为×（﹣1）﹣=

，∴D 1（﹣4，

）．

）

同理，直线AC 向上平移个长度单位得到l 2，可求得D 2（﹣1，

综上所述，D 点坐标为：D 1（﹣4，

），D 2（﹣1，）．

（3）因为过A 、B 点作x 轴的垂线，其与直线l 的两个交点均可以与A 、B 点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB 为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A 、B 点构成直角三角形．从而问题得解． 注意：这样的切线有两条。

如答图2，以AB 为直径作⊙F ，圆心为F ．过E 点作⊙F 的切线，这样的切线有2条． 连接FM ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ．

∵A （﹣4，0），B （2，0），∴F （﹣1，0），⊙F 半径FM =FB =3． 又FE =5，则在Rt △MEF 中，

ME ==4，sin ∠MFE =，cos ∠MFE =．

，

在Rt △FMN 中，MN =MF •sin ∠MFE =3×=

FN =MN •cos ∠MFE =3×=，则ON =，

∴M 点坐标为（，直线l 过M （

，

）

），E （4，0），

设直线l 的解析式为y =kx +b ，则有

，解得

，

所以直线l 的解析式为y =x +3．

x ﹣3．

x ﹣3．

同理，可以求得另一条切线的解析式为y =综上所述，直线l 的解析式为y =

x +3或y =