球的体积教案
球的体积教案
教学目的
通过“球的体积”的教学,不仅要求学生熟记球的体积公式,更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力.并注意完善学生的认知结构.
[若只要求学生记住有关公式,剩下的就是反复练习——解几个一元方程;已知半径求体积;已知体积求半径,„„;这是降低教学要求.]
教学过程
师:(板书) 已知球的半径为R ,求V 球=?(出示小黑板——图1.)
[思维从问题开始.]
师:为了计算半径为R 的球的体积,可以先计算半球的体积V 半球.观察图1,你一定能在V 圆柱、V 半球、V 圆锥这三个量之间正确地写上不等符号(学生完成) ,得
V 圆柱>V 半球>V 圆锥.
[提供类比,让学生目测大小,温故而知新,用以强化认识过程.]
[向“量化”过渡.]
你能猜测V 半球=?
[引诱学生猜想.猜想是发现的开始!]
生:„„
师:可以大胆一些,准许猜错.
(此答案不一定出自成绩最好的学生,而是胆大者,思维活跃者.)
[既鼓励,又提出更高要求,使学生仍处于激奋境地.]
(用行动支持敢于大胆猜想的学生.)
师:我们不妨做一个试验,用以验证这个猜想.
[理、化有实验,数学也可以有实验.美国盛行“数学实验数学法”,这对激发学生学习兴趣,培养学习能力都十分有利.]
(取一个半径为R 的半球面,再取半径和高都是R 的圆桶和圆锥各一个,都是铁皮制成的容器.将圆锥放入圆桶内(图2) ,再将半球容器装满细沙,然后把半球内的细沙倒入圆桶内,发现圆桶恰好被装满.)
师:你能将实验结果用一个等式表达出来吗?
[鼓励学生将实验结果“量化”(构造一个等式) 是十分重要的数学方法.] 生甲:(板书.)
V 圆柱-V 圆锥=V半球.
生乙:(板书.)
V 半球=V圆柱-V 圆锥
师:于是得(板书)
且 V 圆柱∶V 半球∶V 圆锥=3∶2∶1.
师:中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠,还要进行论证才行.
[中学理、化是建立在实验基础上的.用数学工具去证明实验结果,学生兴趣盎然.] 师:我们现在的任务是证明这个实验结果.或者说,是要证明图2右边充满细沙的几何体与左边充满细沙的半球是等积形.而右边几何体的体积是已知的.(板书.)
如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”,我们就可以将它作为半球的参照体了.
(为了运用祖暅原理,所引入的几何体必须符合两个条件:一是它的计算公式是已知的;二是它符合祖暅原理的条件,即该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时,截得的截面面积总相等,符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体.在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语,让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系.)
该几何体与半球同高(R),这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间,剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等.
用与底面平行的任一平面去截图2的两个几何体(图3)
,截面分别是圆面和圆环
R ,小圆半径为l ,因此
S 圆=πr 2=π(R2-l 2) ,
S 圆环=πR 2-πl 2=π(R2-l 2) ,
所以S 圆=S环.
根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即
由此,“猜想”得到证明,可以写成定理形式:
[从猜想到证明是“质”的升华!是学习数学的最重要的素质.]
定理:如果球的半径是R ,那么它的体积是
师:你准备怎样记忆这个结论呢?
[不管是意义识记或是机械识记,在这里都是有效的,都是可行的.根据各个学生的学习习惯,不必强求一律.]
生甲:根据“细沙实验”,
生乙:我只要记住
V 圆柱∶V 半球∶V 圆锥=3∶2∶1就行了.
师:还有其他的记忆方法吗?例如,把球体视为拟柱体,采用拟柱体的体积公式试试看.
[数学教师要不要培养学生的记忆能力,这是有争议的.看来,数学教师有可能,也有必要去培养学生的记忆能力.]
生:(板演)
(随时复习与应用拟柱体体积公式.)
师:这能作为球体积公式的证明吗?
生:球体不是拟柱体,不能作为证明,但可以作为一种记忆方法.
师:还有其他的记忆方法吗?例如,将球体分割成许多小的锥体,球心是这些小锥体的顶点,锥的底面不是平面,而是球面的一小部分(是曲面) 请看图4.
[是重要的数学思想.]
于是,V 球=许多小锥体之和,而这许多小锥体的高可视为球半径R .又因为所有小锥体的底面之和=球面积=4πR 2,所以
[发展学生的空间想象能力.]
同样,这也不能作为球体积公式的证明.但是,使人感到兴趣的是,拟柱体、小锥体与球体的这种“默契”,这种内部的一致,给人们以合谐的感觉,它不仅帮助人们记忆,还给人以和谐美的感受!
[升华了!]
师:现在再请大家自己解答一个问题:(板书.)
[不十分困难的例题由学生自己解答,然后再对照课本并进行议论,有时比教师直接讲解要收效大些,不妨一试.]
有一种空心钢球,重142 g,测得外径等于5.0 cm,求它的内径(钢比重是7.9g/cm3) . 师:这是课本的例题,解完后自行对照课本.
(学生议论,同时由一位学生板演.)
师:今天这堂课的关键是构造一个球的参照体,而“细沙实验”帮助我们解决了这个问题.你能离开实验,经过分析直接构造这个参照体吗?
(代替小结,将课内效果引向课外——直接构造参照体.)
教案说明
这份教案显然是写给别人看的,如果只是为了自己教学,我想,只要记下教学过程就行了:
(1)提出问题:V 球=?
(2)自测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系(图1) .
(4)细沙实验——验证“猜想”.
(5)构造参照体,证明“猜想”.
(6)得定理、谈记忆.
(7)例题、小结、作业.
我为什么要采取上面这几个环节?理由如下:
目前的数学教材是从少数公理和原理出发,通过演绎,将知识展开.于是,过程(1)~
(4)都可以省略.并且,“参照体”也是由教材直接给出的(不需要构造) .师生的
和方法用定论的形式直接呈现在学生面前,新、旧知识的衔接点直接给出,内化任务很快就完成.因此,这种做法的优点是直截了当,节约时间;缺点是学生缺乏一个完整的认识过程,把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生.长此以往,越“抛”越多,学生头脑中很难形成一个有效的认知结构,结果成绩分化,出现大量差生.
反之,插入环节(1)~(4),则环节(5)的“构造参照体”(这是全课的关键) 就十分自然.从“目测”到“猜想”,这是“发现”;从“猜想”到“实验”,这是强化“发现”,而环节(5)则是内化.这种先发现后内化的过程又是在教师指导下进行的,教师的主导作用和学生的学习积极性十分融洽.
“目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节,所有差生都有发言权,优生也不乏味;从“实验”到“构造参照体”,随流而下,直闯关键(出现参照体) ,终达彼岸(得定理) .最后“谈记忆”,生动活泼,乃至升华;“小结提问”,余味不尽.
数学教学的实质是思维过程的教学,“直截了当”则掩盖了“思维过程”,把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前,而是作为结果抛给学生,这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养.长此以往,学生的数学素质很难得到提高.
最后,还要说明一点,“构造参照体”是本课的难点,本教案采用了“细沙实验”,也就回避了“构造性困难”,因此本教案是为普通班设计的.而“好班”就不应该回避构造困难,何况“构造参照体”是运用祖暅原理的关键,也是学习这一段教材(从柱体开始) 的关键所在.因此,建议根据学生情况补充下述内容:
参照体与祖暅原理
为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积,常要构造另一个几何体,此几何体必须符合两个条件:(1)它的计算公式是已知的;(2)它符合祖暅原理的条件,即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时,截得的截面面积总相等.为了下面的叙述方便起见,把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照体,或简称参照体.
用祖暅原理求几何体的体积,关键在于构造参照体.
轴,求该旋转体的体积.
解 将此旋转体放在平面α上(图5) ,用与平面α平行且相距h
的平面去截,得
这说明参照体的截面可以是一个矩形,其一边长π,另一边长为变量h
.于是得
[例2] 求半径为R 的半球的体积.
[例3] 汽车内胎或游泳时用的救生圈是旋转体(图6) ,它的母线是半径为r 的圆,圆心与旋转轴MN 的距离等于d(d>r) ,能否用构造参照体的思想方法去寻求它的体积公式?
解 取环体的上半部研究,它的下底面是圆环(图6,外半径=d+r,内半径=d-r) ,上底是半径为d 的圆周(面积为零) ,半环体的高为r .用平行于底面的平面去截,设截面距底面h(h<r) ,则截面是另一个圆环(图7) .
(变量) ,据此,可构造一个参照体如下:取一个半径为r 的圆为底面,高为4πd 的圆柱的1/4,并将此1/4圆柱横卧(图8) ,此参照体的体积为圆柱的1/4,由祖暅原理
此结论与直觉是一致的:将环体沿断面(图6中的小圆)
切开后,拉直成一个圆柱,
[培养学生的直觉思维能力.]