高中物理机械能守恒定律学案
一、机械能
动能、重力势能、弹性势能都是与物体的机械运动相关联的,统称为机械能。若Ek表示物体的动能,Ep
表示物体的势能,则物体的机械能EEkEp。
二、势能:
由相互作用的物体间的作用力和物体间的相对位置决定的能量叫做势能。如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等。
1. 重力势能:物体与地球组成的系统中,由于物体与地球间相互作用,与物体与地球间相对位置有关的能叫重力势能。
(1)定义式:Ep=mgh,m是物体的质量,h是物体距离所选取的参考水平面的高度。EP是物体相对于这个所选取的参考水平面的重力势能。重力势能是物体和地球组成的系统所共有的。
(2)重力势能有相对性:Ep=mgh与所选的参考水平面(也叫做零重力势能面)有关,因此在计算重力势能时,必须首先选取零重力势能面。通常选取地面为零重力势能面。在实际问题中,零重力势能面可任意选取。为了计算方便,一般选取初始状态或末了状态所在的水平面为零重力势能面。
(3)重力势能是标量,但是有正负,若物体所处位置在零重力势能面上方,物体的重力势能为正;物体处在零重力势能面下方,物体的重力势能则为负。可见,EP的符号仅表示重力势能的相对大小。 (4)重力势能的变化与重力做功的关系。
当物体从高处向地面降落时,重力做正功、重力势能减小。重力对物体做多少功,物体的重力势能就减小多少。当物体从低处向高处上升时,即物体有竖直向上的位移时,重力对物体做负功,由于物体的高度增加,物体的重力势能增加。即重力对物体做多少负功,重力势能就增加多少。
重力对物体做功和路径无关,只与初末位置物体的高度差有关,重力对物体所做的功等于物体重力势能变化量的负值。即:WGEp。
2. 弹性势能:物体由于发生弹性形变而具有的能,叫做弹性势能。(关于弹性势能的大小,只要求定性了解,对同一个物体,弹性形变越大,其弹性势能越大;其计算式:EP数,△x为弹簧的伸长量或压缩量)
1
kx2不作要求;k为弹簧的劲度系2
三、机械能守恒定律
1. 机械能守恒定律的内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能和势能可以相互转化,而总的机械能保持不变。
2. 机械能守恒定律的适用条件:
(1)对单体——只有重力做功(而不是只受重力)
(2)对系统——只有重力和系统内的弹力做功,没有滑动摩擦力做功。 3. 机械能守恒定律的表达式的主要形式 (1)从守恒的角度
选取某一平面为零势能面,如果含有弹簧则弹簧处于原长时弹性势能为零,系统末状态的机械能和初状态的机械能相等。
Ek1Ep1Ek2Ep2(系统初态的机械能等于系统末态的机械能)
(2)从能量转化的角度
系统的动能和势能发生相互转化时,若系统势能的减少量等于系统动能的增加量,系统机械能守恒。
Ek减=Ep
增
(3)从能量转移的角度
系统中有A、B两个物体或更多物体时,若A物体机械能的减少量等于B物体机械能的增加量,系统机械能守恒。
EA=EB增
减
后两种表达式无需选择重力势能的零参考面,往往能给列式计算带来方便。 4. 对机械能守恒定律的理解: ①“守恒”是时时刻刻都相等。②“守恒”是“进出相等”。③要分清“谁”、“什么时候”守恒。④是否守恒与系统的选择有关。⑤机械能守恒定律的研究对象一定是系统,至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也是包括地球在内,因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外,小球的动能中所用的v,也是相对于地面的速度。
5. 应用机械能守恒定律解题的基本步骤: (1)选取研究对象
(2)明确研究对象的运动过程,分析其在运动过程中的受力情况,以及做功情况。判断是否符合机械能守恒的条件。
(3)恰当地选取参考平面,确定研究对象的初态和末态以及机械能。 (4)列方程求解。
能力提升类
例1 如图所示,劲度系数为k1的轻质弹簧的两端分别与质量为m1、m2的物块1、2栓接,劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2栓接,下端压在桌面上(不拴接),整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢竖直上提,直到下面的那根弹簧刚好脱离桌面。在此过程中,两物块的重力势能分别增加了多少?
一点通:物块重力势能的增加等于物块重力与物块被提升高度的乘积。开始时,整个系统处于平衡状态,两弹簧均被压缩。现施力将物块1缓慢上提,直到下面的弹簧刚好脱离桌面,在此过程中下面的弹簧由压缩状态逐渐恢复到自由长度,而上面的弹簧也由压缩状态逐渐恢复到自由长度,接着由于物块2施加拉力,弹簧又逐渐变为拉伸状态。
解析:下面的弹簧受到的压力大小为(m1+m2)g,弹簧的压缩量
x2
(m1m2)g
。
k2
(m1m2)g(m1m2)m2g2
。 m2gx2m2g
k2k2
要使其离开桌面,物块2应上升高度△x2,则物块2增加的重力势能为
Ep2
把物块1拉起的过程中,上面的弹簧是由压缩状态转为拉伸状态,其原先压缩的长度为
x1
m1g
, k1
m2g
, k1
最终拉伸的长度为x1
则物块1提升的高度为
x2x1x1
m1gm2g(m1m2)g
。
k1k1k2
所以,物块1增加的重力势能为 x2) Ep1m1g(x1x1
m1g[
m1gm2g(m1m2)g11
]m1(m1m2)g2()。 k1k1k2k1k2
例2 如图所示,轻弹簧竖直固定在水平地面上,弹簧的劲度系数为k,原长为l0。质量为m的铁球由弹簧正
上方H高处自由下落,落在离地面多高时它的动能最大?弹簧的压缩量为多少时,弹簧的弹性势能最大?
一点通:铁球下落压缩弹簧的过程中,机械能守恒,铁球压缩弹簧后,先加速后减速,合力为零时动能最大;弹簧压缩到最大量时,铁球减少的重力势能全部转化为弹性势能,弹性势能达到最大值。由于我们不要求掌握弹性势能的计算公式,所以解题时可根据弹力的大小跟形变量成正比的关系,引入平均弹力的概念,且最大弹力是平均弹力的2倍。
解析:(1)设动能最大时弹簧的压缩量为x1,此时mgkx1,x1铁球离地面高度h1l0x1l0
。
mg
k
(2)设弹簧弹性势能最大时弹簧的压缩量为x2,平均弹力
2kx2
能,故mg(Hx2)x2
2
2
得kx22mgx22mgH0
kx2
,重力势能的减少量转化为弹性势2
mgm2g22mgkH
则x2
k
综合运用类
例3 如图所示,质量均为m的小球A、B、C,用两根长为l的轻绳相连,置于高为h的光滑水平面上,l>h,A球刚跨过桌边,若A球、B球相继下落着地后均不再反弹,求C球刚离开桌边时的速度大小。
一点通:对单个小球而言,在脱离桌面向下运动的过程中,由于绳子拉力做功,所以机械能不守恒,因此要选择整体系统为研究对象,才能满足守恒条件。在应用守恒定律解题时,要注意选择恰当的守恒表达式列方程。
解析:解法一:
取地面为零势能面,设A球落地时速率为v1,从A球开始运动到落地的过程中,A、B、C三球组成的系统机械能守恒,有:
设B球落地时速率为v2,从A球落地后到B球落地的过程中,B、C两球组成的系统机械能守恒,有:
112(2m)v122mgh2mv2mgh
22
此速度就是C球离开桌边时的速度。
点评:这是从守恒的角度列式,分别写出系统的初末状态的动能和势能,再列方程求解,这种思路清晰明了,简单易行,需要注意的是能量要一一弄清,不能丢三落四。 解法二:
在A球落地的过程中,系统减少的势能为ΔEp减=mgh,系统增加的动能为ΔEk增=守恒定律得:
在B球落地的过程中,
系统减少的势能
为ΔEp
,由机械能守恒定律得:
,由机械能
减
=mgh,系统增加的动能为ΔEk
增
=
解得v2
5gh 3
点评:这是从势能和动能转化的角度列式,思路也很清晰,需要注意的是势能的减少或动能的增加是整个系统的,而不是某个物体的。
例4 有一光滑水平板,板的中央有一小孔,孔内穿入一根光滑轻线,轻线的上端系一质量为M的小球,轻线的下端系着质量分别为m1和m2的两个物体,当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速圆周运动时,轻线下端的两个物体都处于静止状态(如图)。若将两物体之间的轻线剪断,则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速圆周运动?
一点通:以小球M、物体m1任意一个为研究对象,在剪断轻线以后运动过程中都有绳子拉力做功,所以其机械能是不守恒的,因此应以整体为研究对象,绳子拉力作为内力,就可以应用机械能守恒定律进行题目的求解。
解析:解法一:(应用守恒观点,即表达式为EK1EP1EK2EP2)
选小球为研究对象,根据牛顿第二定律有
2
v0
(m1m2)gM
R
当剪断两物体之间的轻线后,假设物体m1上升高度为h,小球的线速度减为v时,小球在半径为(R+h)
的轨道上再次做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有
m1gM
律有
v2Rh
对小球M、物体m1与地球组成的系统,选小球做匀速圆周运动的水平面为零势面,根据机械能守恒定
112Mv0m1gHMv2m1g(Hh) 22
(3m1m2)gR
解得v
3M
解法二:(应用转化观点,即表达式为:EK= EP)
与解法一相同,首先列出前两式
2
v0
(m1m2)gM
Rv2
m1gM
Rh
对小球M、物体m1与地球组成的系统,在轻线剪断后物体m1上升的过程中,小球动能的减少量等于物体m1重力势能的增加量。即
1122
即Mv0Mvm1gh 22
(3m1m2)gR
解得v
3M
思维拓展类
例5 长为l的轻绳,一端系一质量为m的小球,一端固定于O点。在O点正下方距O点h处有一枚钉子C。现将绳拉到水平位置。如图所示。将小球由静止释放,欲使小球到达最低点后以C为圆心做完整的圆周运动,试确定h应满足的条件。
一点通:小球在运动过程中,受重力和绳的拉力作用,由于绳的拉力时刻与球的速度垂直,所以绳的拉力不对小球做功,即小球运动过程中,只有重力对其做功,故机械能守恒。
显然,h越小,C的位置越高,小球在以C为圆心做完整的圆周运动时,经过C正上方的速度v最小,由于v存在极小值,故h存在极小值。
解析:设小球在C点正上方时,速度为v,分析此时小球的受力情况如图所示,则
v
lhv2
Tmglh
Tmgm
2
①
由T0解得v2g(lh)
②
又由以上分析,小球运动过程中机械能守恒,以小球位于C点正上方所在水平面为零势能面,则有:
mgl2lh
1
mv20 2
③ v22g(2hl)
联立②③式解得2g(2hl)g(lh)
3
④ hl
5
故h应满足的条件即为④式。
例6 如图所示,质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放,已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离地时D的速度的大小是多少?(已知重力加速度为g)
一点通:该题考查机械能守恒定律在系统中的应用,要注意重力势能和弹性势能以及动能的转化关系。解本题的关键是B两次刚离开地面,弹簧长度变化相同,弹性势能变化量相同,因此可以用ΔEp来表示这个变化量,而不必考虑于初、末状态弹性势能的多少。
解析:开始时,A、B静止,设弹簧压缩量为x1,有kx1m1g
挂C并释放后,C向下运动,A向上运动,设B刚要离地时弹簧伸长量为x2,有kx2m2g
B不再上升,表示此时A和C的速度为零,C已降到其最低点。由机械能守恒定律得,与初始状态相比,弹簧弹性势能的增加量为
EPm3g(x1x2)m1g(x1x2)
C换成D后,当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同,由能量关系得
11
(m1m3)v2m1v2Ep(m1m3)g(x1x2)m1g(x1x2) 22
12
解得:(2m1m3)vm1g(x1x2)
2
v
2m1(m1m2)g2
(2m1m3)k
(答题时间:50分钟)
1. 如图所示,下列四个选项的图中,木块均在固定的斜面上运动,其中图A、B、C中的斜面是光滑的,图D中的斜面是粗糙的,图A、B中的F为木块所受的外力。方向如图中箭头所示,图A、B、D中的木块向下运动,图C中的木块向上运动,在这四个图所示的运动过程中,机械能守恒的是
*2. 如图所示,在两个质量分别为m和2 m的小球a和b之间,用一根长为L的轻杆连接(杆的质量可不计),两小球可绕穿过轻杆中心O的水平轴无摩擦地转动,现让轻杆处于水平位置,然后无初速释放,重球b向下,轻球a向上,产生转动,在杆转至竖直的过程中
A. b球的重力势能减小,动能增加 B. a球的重力势能增加,动能减小 C. a球和b球的总机械能守恒 D. a球和b球的总机械能不守恒
*3. 如图所示,一轻弹簧左端固定在长木板M的左端,右端与小木块m连接,且m与M及M与地面之间接触面光滑,开始时,m与M均静止,现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中,对m、M和弹簧组成的系统(整个过程弹簧形变不超过其弹性限度),正确的说法是
A. 由于F1和F2等大反向,故系统机械能守恒
B. 由于F1和F2分别对m、M做正功,故系统的动能不断增加 C. 由于F1和F2分别对m、M做正功,故系统的机械能不断增加 D. 当弹簧弹力大小与F1和F2大小相等时,m、M的动能最大
4. 游乐场中的一种滑梯如图所示。小朋友从轨道顶端由静止开始下滑,沿水平轨道滑动了一段距离后停下来,则
A. 下滑过程中支持力对小朋友做功 B. 下滑过程中小朋友的重力势能增加
C. 整个运动过程中小朋友的机械能守恒 D. 在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功
5. 一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落,到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略,运动员可视为质点,下列说法正确的是
A. 运动员到达最低点前重力势能始终减小 B. 蹦极绳张紧后的下落过程中,弹性力做负功,弹性势能增加 C. 蹦极过程中,运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒 D. 蹦极过程中,重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
*6. 某缓冲装置可抽象成如图所示的简单模型。图中k1、k2为原长相等、劲度系数不同的轻质弹簧。下列表述正确的是
A. 缓冲效果与弹簧的劲度系数无关 B. 垫片向右移动时,两弹簧产生的弹力大小相等 C. 垫片向右移动时,两弹簧的长度保持相等 D. 垫片向右移动时,两弹簧的弹性势能发生改变
**7. 物体做自由落体运动,Ek代表动能,Ep代表势能,h代表下落的距离,以水平地面为零势能面。下列所示图象中,能正确反映各物理量之间关系的是
**8. 如图所示,两光滑斜面的倾角分别为30°和45°,质量分别为2m和m的两个滑块用不可伸长的轻绳通过滑轮连接(不计滑轮的质量和摩擦),分别置于两个斜面上并由静止释放;若交换两滑块位置,再由静止释放。则在上述两种情形中正确的有
A. 质量为2m的滑块受到重力、绳的张力、沿斜面的下滑力和斜面的支持力的作用 B. 质量为m的滑块均沿斜面向上运动
C. 绳对质量为m的滑块的拉力均大于该滑块对绳的拉力 D. 系统在运动中机械能均守恒
*9. 下图为直升飞机悬停于高空时,某伞兵离机沿竖直方向跳伞的v-t图象。图中曲线表明
A. 在10
10. 我国“嫦娥一号”探月卫星发射后,先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时);然后,经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”;最后奔向月球。如果按圆形轨道计算,并忽略卫星质量的变化,则在每次变轨完成后与变轨前相比
A. 卫星动能增大,引力势能减小 B. 卫星动能增大,引力势能增大 C. 卫星动能减小,引力势能减小 D. 卫星动能减小,引力势能增大
**11. 如图所示,长度为l的轻绳上端固定在O点,下端系一质量为m的小球(小球的大小可以忽略)。
(1)在水平拉力F的作用下,轻绳与竖直方向的夹角为α,小球保持静止,画出此时小球的受力图,并求力F的大小。
(2)由图示位置无初速地释放小球,求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力。(不计空气阻力)
**12. 如图所示,在竖直平面内,由倾斜轨道AB、水平轨道BC和半圆形轨道CD连接而成的光滑轨道,AB与BC的连接处是半径很小的圆弧,BC与CD相切,圆形轨道CD的半径为R。质量为m的小物块从倾斜轨道上距水平面高为h=2.5R处由静止开始下滑。求:
(1)小物块通过B点时速度vB的大小;
(2)小物块通过圆形轨道最低点C时圆形轨道对小物块的支持力F的大小;
(3)试通过计算说明,小物块能否通过圆形轨道的最高点D。
1. C 2. AC 解析:b球向下,b球的重力势能减小,动能增加;a球向上,a球的重力势能增加,动能也增加;a球和b球的外力中只有重力做功,内力则是杆的弹力,所以a球和b球所组成系统的总机械能守恒,但对于a球和b球中的任意一个,除重力外,还有杆的弹力做功,故机械能都不守恒。
3. D 解析:当弹簧弹力大小比恒力F1和F2的大小小时,F1和F2分别对m、M做正功,系统的动能不断增加,弹性势能不断增加,系统的机械能不断增加,当弹簧弹力大小与恒力F1和F2的大小相等时,m、M的动能最大,此后当弹簧弹力大小比恒力F1和F2的大小大时,F1和F2对m、M先做正功,再做负功,机械能减小。
4. D 5. ABC 6. BD 解析:不同弹簧的缓冲效果与弹簧的劲度系数有关,A错误;在垫片向右运动的过程中,由于两个弹簧相连,则它们之间的作用力等大,B正确;由于两弹簧的劲度系数不同,由胡克定律F=kΔs可知,两弹簧的形变量不同,则两弹簧的长度不相等,C错误;在垫片向右运动的过程中,由于弹簧的弹力做功,则弹性势能将发生变化,D正确。
7. B 解析:由机械能守恒定律:Ep=E-Ek,故势能与动能的图象为倾斜的直线,C错;由动能定理:Ek
111
=mgh=22t2,则Ep=E-mgh,故势能与h的图象也为倾斜的直线,D错;且Ep=E2t2,势能
222与时间的图象为开口向下的抛物线,A错。
8. BD 解析:如图放置时利用隔离法对两滑块进行受力分析得,2m的滑块沿斜面的合力F2m=2mgsin30°-T,质量为m的滑块沿斜面的合力Fm=mgsin45°-T′,T=T′。由以上三式可得,无论如何放置,质量为m的滑块均沿斜面向上运动,故B对。将两者作为整体研究,绳的拉力为内力,整个系统只有重力做功,故机械能守恒,D也对。
9. C 解析:在10
(2)运动过程中只有重力做功,系统机械能守恒,mgl(1-cosα)=则通过最低点时,小球的速度大小v
12mv。 2
v2
根据牛顿第二定律,T’-mg=m,
lv2
解得轻绳对小球的拉力T’=mg+m= mgl(3-2cosα),方向竖直向上。
l
12. 解答:(1)物块从A点运动到B点的过程中,由机械能守恒得
12
mhgmvB
2
解得:vB5gR
(2)小物块从B点至C点做匀速直线运动 ∴vCvB5gR
小物块通过圆形轨道最低点C时,做圆周运动,由牛顿第二定律有:
2vC
Fmgm
R
∴F6mg
(3)设小物块能从C点运动到D点,由动能定理得:
mg2R
解得:vD
1122mvDmvC 22
gR
设小物块做圆周运动,通过圆形轨道的最高点的最小速度为vD1,由牛顿第二定律得:
2vD
mgm1
R
vD1gR
由此可知小物块能通过圆形轨道的最高点D。