论矩阵可交换的充要条件_钱微微

第23卷第5期2007年10月

大　学　数　学

COLLEGEMATHEMATICS

Vol.23,№.5

Oct.2007

论矩阵可交换的充要条件

钱微微1,　蔡耀志2

(1.浙江中医药大学,杭州310053;　2.浙江大学,杭州310027)

　　[摘　要]从分析二阶矩阵可交换的情况出发,推测出一般矩阵可交换的充要条件,通过将矩阵A化成约当标准型后的不同情形,可最后证明若A矩阵中没有纯量阵的对角块,那么与它可交换的矩阵B必可表示为A矩阵的n-1次多项式,其中n为A矩阵的阶数.

[关键词]矩阵可交换;充要条件;多项式矩阵

[中图分类号]O151.21　　[文献标识码]C　　[]()本文揭示了与一个A(ABB:A很特殊的情形外(参看本文)A:

2n-1

Pn)p0Ip1A+p1A+…+pn-1A.

引理1iA=O(即A为零矩阵时),与A可交换的矩阵B可以是任意的与A同阶的B矩阵;(ii)当A是纯量矩阵时,即A=aIn,a是实数,In是n阶单位矩阵,则与A可交换的B矩阵也可以是任意与A同阶的矩阵;

(iii)A的幂矩阵总是与A可交换的.

推论　A的任意次多项式矩阵总是与A可交换的.

定理1　与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n-1次的多项式矩阵.

证　应用哈密顿—凯莱定理,即可将高于n-1次的A的幂矩阵转化为小于等于n-1次的多项式矩阵.

本定理即为本文结论的充分性结论.然而必要性的证明却并不容易.为了相信必要性的正确性,我们不妨先分析一下一般二阶矩阵的情形:设A=

a11a21

a12a22

,此时,与它可交换的矩阵B不妨写成X=

x11x21

x12x22

.考虑到AX=XA,我们获

得等价的一个线性方程组

a11x11+a12x21=a11x11+a21x12,a11x12+a12x22=a12x11+a22x12,a21x11+a22x21=a11x21+

a21x22,a21x12+a22x22=a12x21+a22x22.

(1)(2)(3)(4)(5)

消去方程组中左右相同的项后,(1),(4)二式是相同的,

a21x12=a12x21.

由(2)得(设a12≠0)

x11-x22=

.

a12

(6)

由(3)得(设a21≠0)

　[收稿日期]2005211202

144大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第23卷

x11-x22=

.

a21

(7)

从(5),(6),(7)推得与A可交换的条件为

一、当a12=a21=0,a11=a22时,A矩阵是纯量矩阵.此时由引理1中的(ii)即知X可任取二阶矩阵都与A可交换;

二、当a21≠0,a12≠0时,推得可交换条件为

===t′.

a11-a22a21a12

再令x12=t0′,那么X有解

a11-

a22a12a

111010

X=t0′+t′=t0+

0a2100a21可验证,

AX=

(a11a11+a12a21)t+a11t0(a11+a22)a21t+a21t0

(a11+a22)a12t+a12t0(a22a22+a12a21

)t+a22t0

a12a22

t.

=XA.

而对于a12=0,a21≠0及a21=0,a12≠0等条件下求解也都能归结于以上的X的解的形式.因此我们从

二阶矩阵的分析中就可猜测一般矩阵可交换的条件,阵已非常繁琐,显然不能用此方法..

引理2　当A矩阵为对角阵,即diag12,an)i(i=1,,,与它可交换的B.证(AB=BA)的办法可得到结论:B必须是一个对角阵B=diag(c1,,cn),ci(i=1,2,…,n)可以取任何实数.如果我们考察下面方程:

B=p0In+p1A+…+pn-1A

n-1

.

它实质上是一个p0,p1,…,pn-1作为未知数的线性方程组.其系数矩阵正好是一个范得蒙行列式.当ai互不相同时,该系数行列式不为零,所以可求得pi,i=0,1,2,…,n-1是唯一解.故引理的结论得证.

引理

3　当A为约当块矩阵,即

第5期　　　　　　　　　　　钱微微,等:论矩阵可交换的充要条件145

　　定理2　一个矩阵A化成约当标准型J后,若J中没有纯量矩阵的约当块Jc,那么与A可交换的B矩阵其充要条件为B可以化成A的n-1次多项式,即

2n-1

B=Pn-1(A)=p0I+p1A+p2A+…+pn-1A.

证　对于与A可交换的B矩阵应满足的方程AB=BA中,若将A化成约当标准型A=P-1JP,其中P为满秩阵J为标准型.将A代入上面方程,得

-1-1

PJPB=BPJP.

若令X=PBP-1,则方程化成JX=XJ.

这就表明:要求A的可交换矩阵,可先求A的约当标准型J的可交换矩阵C,则与A可交换的矩阵-1

B=PCP.

由于本定理的前提中表明约当标准型J中没有Jc型(纯量矩阵约当块),Ja型约当块由引理2即知与Ja可交换的矩阵可表示为Ja的n-1次多项式.对于Jb型约当块,由引理3即知与Jb可交换的矩阵也必可表示为Jb的n-1次多项式.由定理条件,J现在只有这两种类型的约当块,所以与J可交换的矩阵必可表示为J的n-1次多项式Pn-1(J).那么与A可交换的矩阵必为

B=P

-1

Pn-1(J)P=Pn-1(P

-1

JP)=Pn-1(A).

这就证明了在定理前提下与A可交换矩阵B的充要条件为B=Pn-1(A).

我们知道,将一个矩阵化成约当标准型工作量很大,要等到标准型化成才能应用本定理作出判断,那也太麻烦了.事实上不必作出约当标准型的分解即可判别一个矩阵是否含有纯量矩阵约当块.

例　设

Ja

A=P

-

1

Ja

Jb

Jc

P=P

O

O

-1

O

O

O

O

Jb

++O

Jc

P

Ja

=P-1

+Jb

P+O

Jc

.

146大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第23卷

这表明,纯量约当块Jc在A矩阵中会直接显示出来一目了然.于是本定理可表达为

若A矩阵中没有纯量矩阵的对角块,那么与它可交换的矩阵B必可表示为A矩阵的n-1次多项式.

[参　考　文　献]

[1]　戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001.