发放奖学金问题

发放奖学金问题

摘要：

对于问题一，本文利用题目所给的数据进行“十分点”排位法的处理。因为题目为给出“十分点”排位方法，所以我们根据理解，对“十分点”排位法进行了具体细节上的处理：如果各分数段内人数是小数则取整；如果该分数段跨越两个等级，则超过人数部分按低分等级分数处理。并用EXCEL 处理数据，求出学院每位学生的标准化成绩，并且进行排序，得到学院成绩排名前14名的学生。

对于问题二，用EXCEL 进行画图，得到的图形近似正态分布，所以，我们提出了“十分点”排位法的不合理性：因为正态分布两端可能出现分数差别大的分为一组的情况，其中间也有可能出现分数差别小的划分为不同的两组的情况。而且在出现重分情况时（特别当有较大重分情况时）每个等级可能不均。还有“十分点”排位法只按成绩排名，未考虑到不同专业的不同情况。按常理来说，不同专业应有一定比例的名额。

对于问题三，基于问题二“十分点”排位法的不合理性，我们统一量化每个学生的成绩。本文采用了难度加权法和因子分析法两种方法。利用难易系数来衡量成绩的难易程度，难易系数来作它的权重，以便更公平公正的处理成绩。并且用因子分析法让几个假设变量来反映原来众多的变量之间的关系。最后基于Q 值法的来处理奖学金名额的分配问题。

关键词：“十分点”排位法，难度加权，因子分析，Q 值

一、问题重述

某学院有A 、B 两个专业，A 专业本年度有6门必修课，B 专业有5门必修课，课程成绩见附件。根据一项奖学金的规定， 只允许本学院成绩列前10%的学生得到赞助，所以要进行成绩排名。

在实际评优中，肯定会涉及到课程分数问题，但是由于每个老师的严格程度，每份试卷的难易程度不同，往往会造成相对的不公平出现。所以在评优时应该是尽可能的公平。

学院院长的想法是，在每一门课程中将每个学生与其他学生做比较，用这种信息建立排名。例如在某一门课程中，一个学生得到A ，而其他学生也都得到A ，那么这个学生在该课程中只能是“中等”。另一方面，如果一个学生在某一门课程中得到唯一的A ，那么这个学生在该课程中显然是“优于中等”。综合从多门课程得到的信息，或许可以把全院的学生按“十分点”排名（指前10%，下一个10%等等）。 问题：

1） 假定采取的记分制是（A+，A ，A-，B+），利用附件所给数据对全院学生进行排名。

2） 讨论“十分点”排名方法是否科学（公平）。

3） 还有其他的模式能产生更科学的排名吗？如果有请给出你的排名方法，并利用所给数据得出你的排名结果。

一、 模型假设

（1）每位老师对每位学生的评阅标准一致。 （2）每位考生在公平的环境中参加考试。 （3）只考虑题目所给的成绩，不考虑其他因素。

二、 符号说明

ij ：第i 专业第j 门课程的难易程度

x ij ：第i 专业第j 门课的平均数 p ij ：每个同学第i 专业第j 门课的成绩

四、模型分析、建立、求解

4.1问题一 4.1.1 问题分析

由于每份试卷的难易程度不同，往往会造成相对的不公平出现。所以在评优时应该是尽可能的公平。我们认为“十分点”排位法可以在一定程度上解决该问题。由于题目未给出详细的“十分点”排位计算方法，我们根据题目的理解，对“十分点”排位方法进行了具体细节上的处理：如果各分数段内人数是小数则取整；如果该分数段跨越两个等级，则超过人数部分按低分等级分数处理。 4.1.2 模型建立

从第一段到第十段依次为10，9,8，······2,1分，根据10%比例分段得下表： 专业A ：

统计A

专业各课程成绩段人数总数，如下表（以课程1为列）： 根据原有成绩排序，根据分段比例将原有成绩转化为标准化成绩：

同理得到其他五门课程标准化成绩：

4.1.3 模型求解

根据以上表格，我们对A 专业所有学生的成绩进行标准化处理，得如下表格：

注1：A 专业全部学生的成绩见附录1。 同理得专业B ：

B 专业各课程标准化成绩：

根据以上表格，我们对B 专业所有学生的成绩进行标准化处理，得如下表格：

注2：B 专业全部学生的成绩见附录2。 综合专业A 和专业B 的标准化平均成绩的排名：

注3：全部排名见附录3。

该学院共有141名学生，根据“十分点”排名，取全院前10%的学生约为14名，因此获得奖学金的学生编号为B14，B13，A11，A18，B71，A17，B62，B83，A01，B69，A19，A26，B84，A29。 4.2 问题二

根据学院的学生的成绩统计得到如下表格：

该图反映了各成绩段的人数我们可以将其近似的看成正态分布。所以我们追加假设学院学生的成绩服从正态分布。

我们从以下四个方面来说明“十分点”排位法的不合理性： 1. 正态分布两端可能出现分数差别大的分为一组的情况。 2. 正态分布中间可能出现分数差别小的划分为不同的两组的情况。 3. 出现重分情况时（特别当有较大重分情况时）每个等级可能不均。

4. 只按成绩排名，未考虑到不同专业的不同情况。按常理来说，不同专业应有一定比例的名额。 4.3 问题三

首先将A +, A ,...... D 分别用10，9, ……1表示。

因为“十分点”排位法不合理，所以我们重新对成绩排名的模式进行改进，我们采用以下方法建立模型： 4.3.1 难度加权法

先求出A 、B 专业各自每门课程的平均数，这里我们引入难度系数的概念，即每门课程的难易程度，记为ωij ，i =1j =1,.... 6；i =2j =1,..... 5。各专业每门

课的平均数记为x ij ，i =1j =1,.... 6；i =2j =1,..... 5。

ω1j =

x 1j

∑x

j =1

6

1j

ω2j =

x 2j

∑x

j =1

5

2j

即每个同学的成绩为p 1j =∑ω1j x 1j ，p 2j =∑ω2j x 2j 。

j =1

j =1

65

根据公式计算可得全学院前十四名排名如下：

4.3.2 因子分析法 Step1：选择分析的变量。

选取A 专业每位学生的6门专业课的成绩和B 专业每位学生的5门专业课成绩。

Step2:计算所选原始变量的相关系数矩阵。 A 专业6门课程的相关系数矩阵如下：

a1=[1.0000 0.6161 0.6261 0.5891 0.1387 0.9731

9.152782 9.125827 8.861166 8.858219 8.742608 8.729528 8.592935 8.570426 8.502675 8.390925 8.375098 8.362018 8.13628 8.125898

0.6161 1.0000 0.5048 0.9657 0.1076 0.6035 0.6261 0.5048 1.0000 0.5299 0.3880 0.6247 0.5891 0.9657 0.5299 1.0000 0.1622 0.5871 0.1387 0.1076 0.3880 0.1622 1.0000 0.1348 0.9731 0.6035 0.6247 0.5871 0.1348 1.0000]； B 专业5门专业的相关系数矩阵如下：

b1=[ 1.0000 0.2093 0.5276 0.7852 0.3435： 0.2093 1.0000 0.4331 0.2333 0.8858 0.5276 0.4331 1.0000 0.4861 0.5883 0.7852 0.2333 0.4861 1.0000 0.2783 0.3435 0.8858 0.5883 0.2783 1.0000]; Step3:提出公共因子。

我们运用主成分分析法来提出它的公共因子。

以A 专业为例，求出它的相关系数矩阵的特征根并从大到小排序。 λ1= 3.7194，λ2=1.0585 ，λ4= 0.3759，λ6= 0.0233 。λ3=0.7876，λ5=0.0353 ，求出对应的特征向量及载荷矩阵。

因为前两个特征值的累计贡献率已达到0.7963，所以我们就取前两个主成分。

Step4:因子旋转。

T 为变换的正交矩阵，

T = 0.9593 -0.2823

0.2823 0.9593

Step5:计算因子得分。

⎡γ11⎢γ⎢21⎢ ⎢⎢⎣γp 1

γ12 γ1p ⎤⎡βj 1⎤⎡α1j ⎤

⎢β⎥⎢α⎥γ22 γ2p ⎥⎥⎢j 2⎥=⎢2j ⎥, j =1, 2, 3 m . 式1

b p 2

⎥⎢ ⎥⎥⎢⎥

b pp ⎥⎦⎢⎣βjp ⎥⎦

⎢ ⎥

⎢⎥⎢⎣αpj ⎥⎦

其中

⎡γ11γ12 γ1p ⎤⎡βj1⎤⎡α1j ⎤⎢γ⎥⎢β⎥⎢α⎥γ γ222p ⎥⎢j2⎥⎢2j ⎥⎢21

, ,

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥γγ γ⎢p 2pp ⎥⎣p 1⎦⎢⎣βjp ⎥⎦⎢⎣αpj ⎥⎦

分别为原始变量的相关系数矩阵，第j 个因子得分函数的系数，载荷矩阵的第j 列。

根据式1可以求出β：

β1=[1. 928600000]

β2=[01. 02880000]

A 专业的每位同学的成绩=因子得分*因子贡献率

同理可得B 专业每位同学的成绩。

分别得到A 专业前10名的排名：A29，A17，A18，A43，A54，A48，A11，A01，A26，A13.

B 专业的前10名的排名：B31，B14，B69，B83，B33，B71，B61，B62，B55，B39.

A 专业学生人数是57，B 专业学生人数是84，按人数比来分配A 、B 专业的奖学金个数。先对个专业的人数取整，即A 专业分配5名，B 专业分配8名，用Q 值法来处理最后一个名额的分配问题。用Q 值法建立衡量公平程度的数量指标——相对不公平值，较好地反映了各方不公平程度，是一类非常有效的方法，其具体描述如下：

设共有s 个单位参加虚伪分配法，第i 个单位人数为席位数为n i (i =1,2)，Q 值法定义Q 值为：

p i (i=1,2) ，已分配

p i 2

Q i =; i =1, 2

n i n i +1Q 值法认为Q i 能反映对第i 个单位的不公平程度，增加的细微应分配给Q i 较大的单位。

Q 值法考虑了相对不公平值等因素，尽可能将不公平降低到最低限度，即最大限度得保持公平。

根据Q 值法算出A 专业的Q 值为108.3，B 专业的Q 值为98。所以我们将第十四个名额分给A 专业。

得出全学院的14名奖学金名额分配如下

五、模型的优缺点

5.1 优点

（1）针对问题二，从四个方面客观地说明了“十分点”排名方法的不足之处。 （2）对每门课程的成绩进行统一量化，使结果更具有科学性和说服力。 5.2缺点

（1）奖学金的分配只考虑学生的考试成绩，忽略了其他方面的因素。

六、模型的改进与推广

我们根据上述模型的缺点，对其进行了改进，考虑了学习成绩、科研能力、社会活动、思想品德这四个方面来对学生进行综合的评价。

奖学金的评定应反映学生的综合素质，即政治思想、课程学习、科研和社会实践等，如何正确评价是评定制度科学规范的关键。评价的原则应力求公平公开、有法依据，从而激励同学们勤奋学习、致力钻研、开拓创新的积极性，进一步完善教育培养体系。经过调查研究，评定指标构造如图1所示：

图1

考虑到学生综合素质影响因素的多层次性既部分评价指标的模糊性，建立的总体方案为:①依据一定准则去掉所有劣方案；②依据系统研究方法，对各子准则系统采取合理评定方法，再进行整体综合评判。

七、参考文献

[1] 邵正隆，王悫，邹向荣. 基于Q 值法的奖学金自动分配方案的设计与应用[J].计算机应用,2011.

[2] 尤丽霞，戴良萌，吴育华. 研究生奖学金分配的规范化和科学化研究[J].科技与管理，2001.

[3]卓金武.MATLAB 在数学建模中的应用[M].北京:北京航空航天大学出版社,2011. [4]姜启源. 数学建模[M]. 北京：高等教育出版社，1992.

八、附录

附录1：

附录2：

附录3：