倒立摆仿真数学建模
第２７卷第３期２００９年５月
吉林大学学报（信息科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖ０１．２７Ｎｏ．３
Ｍａｙ２００９
文章编号：１６７１－５８９６（２００９）０３－０２４２４）６
倒立摆控制的设计与仿真
王春民，栾
卉，杨红应
（吉林大学仪器科学与电气－ｒ＂程学院，长春１３００６１）
摘要：针对倒立摆的稳定控制问题，阐述了二阶倒立摆的数学模型，采用线性二次最优控制理论，设计了倒立摆控制系统的线性二次型调节器和线性二次型输出器，使倒立摆系统闭环稳定。在Ｍａｆｌａｂ６．５环境下，对倒立摆系统在两种控制器作用下的控制过程进行仿真。结果表明，在非线性控制问题中，线性二次型输出器与线性二次型调节器相比，对倒立摆系统的控制更有优势。
关键词：倒立摆；线性最优控制；线性二次型调节器；线性二次型输出器
中图分类号：粥９１．９
文献标识码：Ａ
ＤｅｓｉｇｎａｎｄＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆＩｎｖｅｒｔｅｄＰｅｎｄｕｌｕｍＣｏｎｔｒｏｌ
ＷＡＮＧＣｈｕｎ—ｍｉｎ，ＬＵＡＮＨｕｉ，ＹＡＮＧＨｏｎｇ—ｙｉｎｇ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｏｆ
ＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔａｔｉｏｎａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００６１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｓｏｆｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍ
ｏｎ
ａｒｅ
ｅｘｐａｔｉａｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｂａｓｅｄ
ａｎｄ
ｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆ
ＬＱＯＣ
Ｌｉｎｅａｒ
ＱｕａｄｒａｔｉｃＯｐｔｉｍａ／Ｃｏｎｔｒ０１），ＬＱＹ（Ｌｉｎｅａｒ—ＱｕａｄｒａｔｉｃＹｉｅｌｄ）ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ
ＬＱＲ
（Ｌｉｎｅａｒ－ＱｕａｄｒａｔｉｃＲｅｇｕｌａｔｏｒ）ａｒｅ
ｐｒｏｃｅｓｓ
ｄｅｓｉｇｎｅｄｔｏｍａｋｅｔｈｅｉｎｖｅａｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍｃｌｏｓｅｄｌｏｏｐｓｔａｂｌｅ．ＴｈｅｃｏｎｔｒｏｌｓｉｍｕｌａｔｅｄｕｎｄｅｒｔｗｏｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅＭａｔｌａｂ６．５ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ，ｔｈｅ
ｏｖｅｒ
ｏｆｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓ
ａｌｅ
ｒｅｓｕｌｔｉｎｄｉｃａｔｅｓｔｈａｔｌｉｎｅａｒ—ｑｕａｄｒａｔｉｃｙｉｅｌｄｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｈａｓｐｏｔｅｎｔｉａｌａｄｖａｎｔａｇｅｓＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｖｅｒｔｅｄ
ｔｈｅ
ＬＱＲ．
ｐｅｎｄｕｌｕｍｓ；ｌｉｎｅａｌｑｕａｄｒａｔｉｃｏｐｔｉｍａｌ
ｃｏｎｔｒｏｌ（ＬＱＯＣ）；ｌｉｎｅａｌ—ｑｕａｄｒａｔｉｃｒｅｇｕｌａｔｏｒ
（ＬＱＲ）；ｌｉｎｅａｌ—ｑｕａｄｒａｔｉｃｙｉｅｌｄ（ＬＱＹ）
引言
由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，许多现代控制理论的研究人
员一直将其视为研究对象ｎ“］，用来描述线性控制领域中不稳定系统的稳定化和非线性控制领域中的变结构控制、无源性控制、自由行走、非线性观测器、摩擦补偿和非线性模型降阶等，并不断从中发掘新的控制理论和控制方法［５’６］。相关的理论成果已在直升飞机、火箭发射、人造卫星运行，机器人举重物、做体操和步行走等方面获得了广泛应用。对倒立摆系统的研究具有深远的理论意义和重要的工程背景。笔者在总结前人研究成果的基础上，综合分析了线性二次最优控制理论在倒立摆控制中的应
用一圳．并在Ｍａｄａｔ，６．５环境下对倒立摆控制系统进行了仿真。１
１．１
倒立摆的数学模型
工作原理
倒立摆的工作原理可简述为：用一种强有力的控制方法使小车以一定的规律来回跑动，从而使全部
收稿日期：２００９－０２－２７
基金项目：国家重点基础研究发展规划（９７３）基金资助项目（２００２ＣＢ４１２６００）
作者简介：王春民（１９４８一），男，内蒙古乌兰浩特人，吉林大学教授，硕士生导师，主要从事现代控制理论、ＤＳＰ与运动控制、
系统辨识与建模研究，（Ｔ锐）８６．１３５７８８９９１５８（Ｅ－ｍａｉｌ）ｗｅｒｅ＠ｊｉｍｅｄｕ．ｅｎ．
第３期
王春民，等：倒立摆控制的设计与仿真
２４３
摆杆在垂直平面内稳定，这就是倒立摆控制系统。若小车不动，摆杆会由于重力倒下；若在水平方向给小车一个力，则摆杆朝与小车运动方向相反的方向运行，通过有规律性地改变小车的受力方向，使摆杆在竖直方向左右摆动，从而实现摆杆在竖直方向的动态平衡。
为了简化系统分析，假设：１）二级摆体视为刚体；２）各部分的摩
擦力（力矩）与相对速度（角速度）成正比；３）施加在小车上的驱动图ｌ二阶倒立摆系统模型图力与加在功率放大器上的输入电压成正比，并无延时地施加到小车上；Ｆｉ昏ｌｎｅ∞ｃｏｎｄｏｒｄｅｒｍｏｄｅｌ。４）皮带轮与传送带之间无滑动，转送带无伸长现象。所以，可将倒立ｏｆｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍ摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，二阶倒立摆的系统模型如图１所示。
上摆杆
１．２二阶倒立摆模型
系统模型参数如下：下摆与小车驱动系统的等效质量Ｍ＝１．３２８ｋｇ；小车质量ｍ，＝０．２０８ｋｇ；下摆杆质量ｍｌ＝０．２２０ｋｇ；上摆杆质量ｍ２＝０．１８７ｋｇ；下摆杆质心到轴心距离Ｚ。＝Ｏ．３０４ｍ；上摆杆质心到轴心距离ｌ：＝０．２２６ｍ；加在小车上的力为Ｆ；下摆杆与垂直方向夹角为０，；上摆杆与垂直方向夹角为
巩。
为了简化系统模型，建立系统的拉格朗日方程
工（ｑ，每）＝Ｔ（口，香）一ｙ（ｇ，香）
其中￡为拉格朗日算子，ｇ为系统的广义坐标，ｒ为系统动能，ｙ为系统势能。拉格朗日方程由ｑ和Ｌ
表示为
苦（嚣）一薏＝ｚ
其中Ｚ为系统沿该广义坐标方向的外力。
由于在广义坐标系下，０。，６１２没有外力作用，所以
蔷（等）一嚣＝００
未（黠）一箍＝０
ｄｆ＼ａ毋１Ｊ
一
ａ
（１）
、‘，
】
（２）
解此方程组并在平衡点石＝０，＝０２＝０和互＝岛＝晚＝０附近对方程进行线性化处理，即设
ｓｉｎ日≈０，ＣＯＳ
ｐ—ｌ，线性化后得
ｉ》ｌ＝ｋｎ０１＋忌１３晚＋Ｊ｜｝１７戈如＝后筮扫ｌ＋五为兜＋ｋ２７．鬈
状态方程
（３）（４）
由于采用加速度作为输入，因此还要加上一个方程：髫＝犯，其中Ｕ为控制能量作适当变换，得系统
，王＝Ａ…ｘ＋一Ｂ—ｕ
其中状态变量工＝［茗ｌ，石２，石３，算４，％，‰］７＝［ｒ，０１，如，，＝，扫１，０２］’，Ｙ＝［茗ｌ，石２，名３］Ｔ＝［ｒ，０１，如］７，
０００
Ａ＝
０００
０ｋ１２
０ｋ１３
０００
Ｏ００
０００
０Ｏ０
０Ｏ０
ｌ０Ｏ
Ｏ１Ｏ
ＯＯｌ
，Ｂ＝
１ｋ１７ｋ２７０００
ｒ１
０１０
００１
０００
０００
０３０
，Ｃ＝ｌ
０
ｌ，Ｄ＝０３。ｌ
Ｌ００ａ
ｋｋ
２
线性二次型最优控制问题
线性二次型（ＬＱ：ＬｉｎｅａｒＱｕａ＆ａｔｉｃ）是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制
吉林大学学报（信息科学版）第２７卷
变量的二次型。线性二次型控制理论已成为反馈系统设计的一种重要工具。其特点是：１）为多变量反
馈系统提供一种有效的分析方法；２）可适应多变量系统；３）可处理扰动信号和扰动噪声问题；４）可
处理有限和无限空间问题。研究二次型问题一方面是因为这类问题在工程实际中经常被应用；另一方面
是因为在数学上处理比较简单，可得到解析表达式的线性反馈控制律，便于工程实现。
２．１
ＬＱＲ线性二次型调节器设计
ＬＱＲ（ＬｉｎｅａｒＱｕａｄｒａｔｉｃＲｅｇｕｌａｔｏｒ）调节器设计的目的就是寻找状态反馈调节规律ｎ（ｔ）＝一Ｋｃｔ（ｔ），
使用性能指标函数
＾＝÷ｘ７Ⅳ，＋÷［［ｘ７Ｑ，＋Ｈ７足，Ⅱ］ｄｔ
为最小，可求得最优反馈控制律
（５）
（６）Ｋ，＝（Ｂ’ＳＢ＋足，）一（丑７鼢）
从而实现对系统的闭环稳定控制。其中Ｓ＝Ａ７ＳＡ—Ａ７ＳＢ（Ｂ７ＳＢ＋足，）。１矿鼢＋Ｑ，，Ｑ，由Ｒｉｃｃａｔ方程获得，足，为权矩阵，分别对状态向量ｚ（ｔ），控制量职（ｔ）引起的性能度量的敏感程度进行加权，终端约束项Ｎ，＝Ｏ。
２．２
ＬＱＹ线性二次型输出器设计
设输出反馈控制（ＬＱＹ：ＬｉｎｅａｒＱｕａｄｒａｔｉｃＹｉｅｌｄ）节律的形式为口（ｆ）＝Ｋ，ｘ（ｔ），此时可通过使用性能指标函数
Ｌ＝如’ＮｒＹ＋寺【［ｙ７Ｑ，＋口’Ｒ，ｕ３ｄｔ
为最小，求出状态反馈增益矩阵
（７）
墨＝（曰‘Ｓ曰＋足，）“（曰１鼢）
（８）
其中Ｓ＝Ａ’ＳＡ—Ａ’ＳＢ（Ｂ’ＳＢ＋Ｒ，）。１曰’鼢＋Ｑ，，Ｑ，，置，为权矩阵，分别对输出向量Ｙ（ｔ）和控制向
量Ⅳ（ｔ）引起的性能度量的敏感程度进行加权，终端约束项Ｎ，＝０。可见，输出调节器的最优控制规律不是输出量Ｙ（ｔ）的线性反馈，而是状态Ｘ（ｔ）的线性反馈。
３
倒立摆控制过程仿真
在Ｍａｔｌａｂ６．５环境下，对倒立摆控制系统进行仿真分析。根据相关参数计算的各系数矩阵如下
Ｏ０
Ｏ０００２４．８３５５１６１．３１５ｌ
Ｏ００Ｏ一６．８９７４１４９．６０２５
ｌＯ０００Ｏ
０１Ｏ０００
０３０ｌ
，Ｂ＝
Ｏ００
００Ｏ
ｌ１．８２６６１．１９４０
ｒ
３．１二阶倒立摆仿真
０ＯＯ
，
Ａ
Ｏ
２
ｒ１
０１０
００１
０００
０００
０３０
ｃ＝ｌ
０Ｌ０
Ｉ，Ｄ＝０３。ｌ
０Ｊ
３．１．１
ＬＱＲ线性二次调节器
最优控制的前提条件是系统是能控的，下面判断系统的能控能观性。系统能控矩阵的秩ｒａｎｋ（ｃｔｒｂ（Ａ，曰））＝６，系统能观矩阵的秩ｒａｎｋ（ｏｂｓｖ（Ａ，Ｂ））＝６，可以判断系统是能控能观的。因此可给系统加上最优控制器，使系统闭环稳定，且满足暂态性能指标。在运用线性二次型最优控制算法进行控制器设计时，主要目的是获得反馈向量置。设计系统的线性二次调节器的关键是对二次型性能指标泛函数中加权矩阵Ｑ和足的选取。通过选择Ｑ和足两个参数可实现对系统的稳定控制。
Ｑ、足的选用原则如下：
１）由于模型是线性化的．为使系统能在线性范围内工作，故两个状态不宜过大；
２）闭环极点最好有一对共轭负极点，有利于克服系统线性摩擦，但主导极点的模又不能太大，否
则系统的频带过宽，对噪声很敏感，不利于系统的正常工作；
第３期王春民，等：倒立摆控制的设计与仿真
２４５
３）加权矩阵Ｒ减小会使控制能量Ｈ增加，但／／也不能过小，不宜超过系统机构执行能力，以勉导
致放大器处于饱和状态。
为了使问题简化，不妨取Ｑ为对角阵，得到性能指标泛函数
．一
＿，＝【［Ｑ一；＋Ｑ２２菇；＋Ｑ３３茗；＋乳石。２＋Ｑ舻；＋Ｑ酌菇：＋Ｒｕ２］ｄｔ
Ｊｕ
（９）
由式（９）可知，Ｑ。是对菇ｉ的平方的加权，Ｑｉ的相对增加意味着对毛的要求相对其他状态变量严格，在性能指标中的比重大，茗ｉ的偏差状态相对减小。Ｒ是对控制量Ｕ的平方加权，当欠相对较大时，意味着控制费用增加，使控制能量较小，反馈减弱；而，取值较小时，系统控制费用减小，反馈增加，系统动态响应迅速。
考虑到主要的被控量为系统的输出量工，０。，０５，０３，因此在选取加权对角阵Ｑ的各元素值时，由于Ｑ¨代表小车位置的权重，而Ｑ，，是摆杆角度的权重，所以只选取Ｑ为单位阵。足是施加在小车上的
阶跃输入，６个状态量ｘ，ｏ，，０５，膏，疗。，如分别代表小车位移、１摆杆位置、２摆杆位置、小车速度、ｌ摆杆角速度和２摆杆角速度，输出Ｙ＝［ｘ，０，，０２］Ｔ包括小车位置、ｌ摆角度和２摆角度。要设计一个控制器，使当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车到达新的命令位置。
１）确定系统的开环极点为０，０，１１．８２９
４，５．８７３９，一５．８７３９，一１１．８２９
４。可以看出，有两个
极点位于ｓ平面的右半部，这说明开环系统不稳定。
２）在取Ｑ＝１００Ｉ，Ｉ为单位矩阵，Ｒ＝ｌ的条件下，得到反馈控制向量Ｋ＝［１０，３４２．５６７
５０８．９０４２，１６．７１６６，一６．３５０８，４２．０９３
１，
８］。可以发现，Ｑ矩阵中，增加Ｑ。，使稳定时间和上升时间变
短，并使摆杆的角度变化减小。
３）量纲匹配消除稳态误差。由于输出信号反馈后乘以一个系数矩阵鬈，再与输入量相减得到控制
信号，所以使输入与反馈的量纲不一致。为了使输入与反馈的量纲互相匹配，给输入乘以增益Ｊ７＼ｒ。加入量纲匹配前后的闭环系统框图如图２和图３所示。
图２未加入量纲匹配的闭环系统
Ｆｉｇ．２Ｔｈｅｃｌｏｓｅｄｌｏｏｐｓｙｓｔｅｍ
１１０
图３加入量纲匹配后的闭环系统
Ｆｉｇ，３
ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｕｉｔｅｄ
Ｔｈｅｃｌｏｓｅｄ
ｌｏｏｐｓｙｓｔｅｍｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｕｉｔｅｄ
３．１．２
ＬＱＹ线性二次输出器
ｒＱ。。０
ｏ］
０
与ＬＱＲ调节器设计类似，但加权矩阵Ｑ，不同，这里
Ｑｙ＝Ｊ
ｏ
Ｑ：２
０
Ｊ
１．ｏ
仿真步骤与ＬＱＲ控制器设计相同。
Ｑ３３ｊ
其中Ｑ。。表示小车位移的敏感程度，Ｑ丝表示下摆杆角度敏感程度，Ｑ，，表示上摆杆角度敏感程度。具体
３．２仿真结果分析
ＬＱＲ和ＬＱＹ控制效果具体指标如表１所示，比较结果如图４所示。图４中从上到下依次为超调量、摆角１和摆角２的响应曲线。实线是ＬＱＹ控制的仿真结果，虚线是Ｌ．ＱＲ控制的仿真结果。
２４６
吉林大学学报（信息科学版）
第２７卷
２
目１
渣
翟０
一ｌＯ
．—扣。一
—‘．，一・…・・一‘。‘‘。’。。…。’’一一一一’
２
．ｔｉｍｅ／ｓ
３
…ＬＱＲ
Ｃｏｎｎ．ｏｌｅｒ
‘。。ＬＱＹＣｏｎｔｒｏｌｅｒ
４
５
ａ超调量响应曲线
堇
ｏ
６
Ｖ。
Ｏ
，—、
一－－－ＬＱＲ
２
ｔｉｍｅ／ｓ
３
４
Ｃｏｎｔｒｏｌｅｒ
Ａ．、．：：：：；矿
Ｆｉｇ．４Ｒｅｓｐｏｎｓｅ
ｃｕｒｖｅ
ｂ摆角１响应曲线
－・・ＬＱＲ
Ｃｏｎｔｒｏｌｅｒ
‘。。ＬＱＹＣｏｎｔｒｏｌｅｒ
ｔｉｍｅ／ｓ
ｃ摆角２响应曲线
图４二阶倒立摆线性二次最优控制的响应曲线
ｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄｂｙ
ＬＱＯＣ
从仿真结果可知，ＬＱＲ和ＬＱＹ均能实现对倒立摆系统的稳定控制。ＬＱＹ输出器具有较优的鲁棒性及瞬态特性，ＬＱＲ调节器的鲁棒性及瞬态特性较差，但ＬＱＲ控制器具有较优的稳态特性，ＬＱＹ输出器
较差。这是因为ＬＱＹ控制器重点考虑小车位移和摆杆角度在口控制下的变化规律，而ＬＱＲ是在综合考虑小车位移、摆杆角度、小车速度和摆杆角速度在ｌ，ｌ控制下的反馈规律，所以ＬＱＲ控制的稳态特性好，
但牺牲了系统的鲁棒性。
４
结
语
线性二次型问题是现代控制理论及应用中最重要的研究领域之一，因线性二次型问题解出的控制规律可通过状态反馈实现闭环最优控制，而成为当今控制工程领域里较为重要的设计方法之一。笔者证明了利用线性二次最优控制理论设计的ＬＱＲ线性二次调节器和ＬＱＹ线性二次输出器均能实现对倒立摆系统的控制，而ＬＱＹ输出器的系统动态性能指标综合较优，这为应用线性二次最优控制理论研究其他问
题提供了理论参考。近代机械控制系统中如直升飞机、导弹控制、火箭发射、人造卫星运行及机器人举重等，都存在着类似倒立摆的稳定控制问题，因此该成果在这些控制系统中也有一定的借鉴意义¨０。。
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（责任编辑：何桂华）