初等函数极值求法探讨
保山师专学报2002, 21(5):84~87CN53-1128/G4ISSN1008-6587Journal of Baoshan Teachers c Colle g e
初等函数极值求法探讨
李万云
(龙陵县第一中学, 云南龙陵678300)
摘要:极值是中学数学中的一个重要知识点, 但教材中没有系统地介绍极值的求法, 从
配方法、几个正数的算术平均数和几何平均数的关系, 应用判别式/v0图象法, 导数法五
个方面探讨了初等函数极值的一些常用有效的求法。
关键词:函数; 极值; 求法
中图分类号:O12文献标识码:A 文章编号:1008-6587(2002) 05-0084-04
Probing Into Solution To Extreme Value of Preliminary Function
Li W an Yun
(No. 1Middle School, Lon g lin g Count y , Yunnan 678300)
Abstract:Extreme value is an im p ortant p oint in math of middle school. No s y stematic solution has been given to extreme value in the textbook. Some common solutions have been worked out in five aspects.
Key Words :function; extreme value; solution
在生产实践、科学实验和社会生活中, 经常遇到待解决/最好0、/最大0、/最省0、/最小0等问题, 这类问题可归结为数学中的最大值和最小值, 最大值和最小值统称极值。
下面从五个方面探讨极值的求法。
1配方法
对于解析式中主体部分为二次三项式的函数, 一般都可以用此法, 中学大部分求极值的问题都是用此法求解。
例1求函数y =+6x +15的最小值。
222分析:欲取y min , 只需使被开方数x +6x +15的值最小, x +6x +15=(x +6x +9) +6=(x +3)
2+6, 而(x +3) +6是一个非负数。取最小值的充要条件是(x +3) =0, 故当x =-3时, y min =
例2求函数y =cos x cos x 3的最大值和最小值。-+
222。分析:不难看出函数y 的解析式中分母是以cos x 为主元的二次三项式, 令u =cos x -cos x +3,
22考虑把u 配方, 则u =cos x -cos x +443=(cos x -2+4, y =u 取最小值和最大值的充要
条件分别为u 取最大值和最小值。
2u max Z (cos x -2) 取最大值
]cos x =-1;
收稿日期:2002-09-22
第5期
2u min Z (cos x -2) =0
]cos x =2
_y min =, 5y max =11李万云:初等函数极值求法探讨85
2应用n 个正数的算术平均数\n 个正数的几何平均数这个基本不等式来处理
例3当x 为何值, 函数y =x 2+6+2取得极值。x
分析:函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系, 尝试用算术平均数和几何平均数的关系来处理。
2^2(9x +x ) \x 2#x =6
_9x 2+2\12x
29x +6+x \18(1)
(1) 式两边皆为非负数, 分别取算术平均根, 得y =_y min =32]x =? 3x 2+6+2\x 18=32
3用判别式/v0来处理
例4已知v ABC 的边a 、b 、c a b a c +a b c , 如图1, 若P 是v ABC 外接++++
O 上一动点, 且BC =2, 求2BP +C P 的最大值。圆的劣弧BC
分析:把条件中的等式去分母后整理, 得:b c=b 2+c 2-a 2
_a 2=b 2+c 2-b c
222由余弦定理和图1, 得cos A ==22bc
_N A=60b
cos N B PC =cos(180b -N A )
图1=-(2) 2
欲求2BP +CP 的最值, 此时仍茫然, 再观察(2) 式分子与目标有所接近, 不妨设BP =x , BC =y ,
22则(2) 式变成=化简, 得x 2+y 2+x y =4(3) 2xy 2
再令2BP +C P =k , 即2x +y =k
y =k -2x
22把y =k -2x 代入(3) 式, 整理, 得3x -
3kx +k -4=0222=2BP #PC
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+专学报第21卷这是一个关于x 的一元二次方程, 因x I R
故v =(-3k ) 2-12(k 2-4)
=-3k +48\0
k -16[0
-4[k [4
_k max =4, 即(2BP +C P ) max =422
4图象法
例5求函数y =x 2-1的最小值。
分析:函数解析式中带有绝对值符号, 先把绝对值符号
去掉:
x 2-1x I (-], -1]G [-1, +]]y =1-x 2x I [-1, 1]
分别画出两条抛物线, 见图2,
_当x =? 1时y min =0
5导数法
各种类型的函数求极值的问题都可以用导数作为有力的工具来解决。
5. 1函数单调性判定定理若对P x I (a , b ) , f c (x ) >0(或f c (x )
5. 2稳定点概念若对定义在[a , b ]上的可导函数f (x ) , 对P N I [a , b ], 使f c (N ) =0的点N 叫做f (x ) 的稳定点。
5. 3求函数极值的步骤
5. 3. 1:求函数f (x ) 的导数
5. 3. 2:令f c (x ) =0, 解出稳定点x 1, x 2, , x n ;
5. 3. 3:判别x i (i =1, 2, 3, , n ) 两侧的符号, 找出局部极值点
5. 3. 4:计算函数各局部极值和定义域两端点的值, 进行比较后最大者即为极大值, 最小者即为极小值。
例6求函数y =的最大值和最小值。+4
2x +4-(x2+5)
解:y c =
2=(x 2+4) +4
令0=]x (x +3) =0
]x =
0函数y 的定义域为(-], +]) , 列表如下:图222x +4
第5期李万云:初等函数极值求法探讨
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_y min =f (0) =, y max 不存在2
例7有一块长方形铁片, 长16cm, 宽为7cm, 在每一个角剪去同样大小的正方形, 当正方形的边长取多大时, 才能使剪去正方形后的铁片做成的开口盒子容积最大?
解:设剪去的正方形边长为x cm, 盒子容积为V cm , 则V =x (16-2x ) (7-2x )
V c =3x 2-23x +28
令0=
]x 1=30[x [2
6, x 2=6U 1. 52
因x 1|[0, 2], 舍去, 列表如下:
=0, 故正方形的边长取x U 1. 52cm 时, V max U 78(cm 3) 2
以上系统地探讨了极值的五种求法, 其中寻数法可谓/万能0法, 但在中学中设法用, 它仅能起因V (0) =V (到帮助教师启发解题思路、验证解题结果的作用, 教学中只能从其它四个方面去寻求解题途径。中学生出现的求极值问题, 一般从以上四个方面完全能解决, 但也有一部分特殊题用其它方法更能迅速、灵活地把问题解决。
参考文献:
[1]人民版高级中学代数指导丛书[M].
[2]赵正民. 中学数学解题教学研究[M].昆明:云南教育出版社.
[3]华东师范大学数学系. 数学分析[M].