2015年中考数学真题分类汇编 勾股定理

勾股定理

一．选择题 1．（2015•菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）

A． 140° B． 160° C． 170° D． 150°

考点： 直角三角形的性质．

分析： 利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案． 解答： ∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，

∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B．

点评： 此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键． 2．（2015•大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=则BC的长为（ ）

，

A．

﹣1 B．

+1 C．

﹣1 D．

+1

考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质．

分析： 根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．

解答： ∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=，

在Rt△ADC中，DC=

=

=1；∴BC=

+1．故选D．

点评： 本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题． 3．（2015•黑龙江）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（ ） A． 4.8 B． 4.8或3.8 C． 3.8 D． 5

考点： 勾股定理；等腰三角形的性质． 专题： 动点型．

分析： 过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的

长，由图形得SABC=SABP+SACP，代入数值，解答出即可．

解答：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，

∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF=

∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．

=3，

点评： 本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 4．（2015•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=5，AD=3，则图中长为4的线段有（ ）

A． 4条 B． 3条 C． 2条 D． 1条

考点： 勾股定理；角平分线的性质；含30度角的直角三角形． 分析： 利用线段垂直平分线的性质得出BE=EC=4，再利用全等三角形的判定与性质得出AB=BE=4，

进而得出答案．

解答： ∵∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足，

∴AD=DE=3，BE=EC，∵DC=5，AD=3，∴BE=EC=4，

在△ABD和△EBD中，

，∴△ABD≌△EBD（AAS），∴AB=BE=4，

∴图中长为4的线段有3条．故选：B．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出

BE=AB是解题关键． 5．（2015•天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（ ）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 等腰直角三角形；点到直线的距离．

分析： 首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案．

解答： 过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F， ∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°， ∵sin∠ABD=

，∴AE=AB•sin∠ABD=2

•sin45°=2

•

=2＞，

所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，故选A．

点评： 本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．

6．（2015•烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（ ）

A． （

）

2012

B． （）

2013

C． （）

2012

D． （）

2013

考点： 等腰直角三角形；正方形的性质． 专题： 规律型．

分析： 根据题意可知第2个正方形的边长是进而可找出规律，第n个正方形的边长是

，则第3个正方形的边长是

，那么易求S2015的值．

；

，…，

解答： 根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：第三个正方形的边长为：

，

…

第n个正方形的边长是

，所以S2015的值是（）

2012

，故选C

点评： 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的边长． 7．（2015•桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A． 30，40，50 B． 7，12，13 C． 5，9，12 D． 3，4，6

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．

222

解答： 解：A、∵30+40=50，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；

222

B、∵7+12≠13，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；

222

C、∵5+9≠12，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；

222

D、∵3+4≠6，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选A．

点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 8．（2015•淮安）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）

A． a=1，b=2，c=3 B． a=2，b=3，c=4 C． a=2，b=4，c=5 D． a=3，b=4，c=5

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．

解答： 解：A、∵1+2=5≠3，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

222

B、∵2+3=13≠4，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

222

C、∵2+4=20≠5，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

222

D、∵3+4=25=5，∴能构成直角三角形，故本选项正确． 故选D．

222

点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 9．（2015•广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A． 1，2，3 B． 2，3，4 C． 4，5，6 D． 1，，

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．

222

解答： 解：A、1+2≠3，不能组成直角三角形，故错误；

222

B、2+3≠4，不能组成直角三角形，故错误；

222

C、4+5≠6，不能组成直角三角形，故错误；

222

D、1+（）=（），能够组成直角三角形，故正确． 故选D．

2

2

2

点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 10．（2015•毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A．

，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

解答： 解：A、（）+（）≠（），不能构成直角三角形，故错误；

222

B、1+（）=（），能构成直角三角形，故正确；

222

C、6+7≠8，不能构成直角三角形，故错误；

222

D、2+3≠4，不能构成直角三角形，故错误． 故选：B．

点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 11．（2015•资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）

2

2

2

A． 13cm B． 2cm C．

cm D． 2cm

考点： 平面展开-最短路径问题．

分析： 将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

解答： 解：如图：

∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，

∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B==

=13（Cm）．

故选：A．

点评： 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

二．填空题 12．（2015•南昌）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 2或2或2 ．

考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线． 专题： 分类讨论． 分析： 利用分类讨论，当∠APB=90°时，易得∠PAB=30°，利用锐角三角函数得AP的长；当∠ABP=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图2易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论． 解答： 解：当∠APB=90°时（如图1）， ∵AO=BO， ∴PO=BO， ∵∠AOC=60°， ∴∠BOP=60°，

∴△BOP为等边三角形， ∵AB=BC=4， ∴AP=AB•sin60°=4×

=2

；

当∠ABP=90°时，情况一：（如图2）， ∵∠AOC=∠BOP=60°， ∴∠BPO=30°， ∴BP=

=

=2

，

在直角三角形ABP中， AP=

=2

，

情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°， ∴PO=AO， ∵∠AOC=60°，

∴△AOP为等边三角形， ∴AP=AO=2，

故答案为：2或2或2．

点评： 本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 13．（2015•黑龙江）正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点．若△PBE是等腰三角形，则腰长为

．

考点： 勾股定理；等腰三角形的判定；正方形的性质． 专题： 分类讨论． 分析： 分情况讨论：（1）当BP=BE时，由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，根据勾股定理求出BP即可；

（2）当BE=PE时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E；①由题意得出BM=BP=

，证明△BME∽△BAP，得出比例式

，即可求出BE；②设CE=x，则DE=4

﹣x，根据勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可． 解答： 解：分情况讨论：（1）当BP=BE时，如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°， ∵P是AD的中点， ∴AP=DP=2， 根据勾股定理得：BP=

=

=2

；

（2）当BE=PE时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E； ①当E在AB上时，如图2所示： 则BM=BP=

，

∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP， ∴△BME∽△BAP， ∴

，即

，

∴BE=；②当E在CD上时，如图3所示： 设CE=x，则DE=4﹣x，

根据勾股定理得：BE=BC+CE，PE=DP+DE，

2222∴4+x=2+（4﹣x）， 解得：x=， ∴CE=， ∴BE=

=

=

，或，或

．

； ；

2

2

2

2

2

2

综上所述：腰长为：2故答案为：2

，或，或

点评： 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

14．（2015•苏州）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则x+（y﹣4）的值为 16 ．

2

2

考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质．

分析： 根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角△BDE的斜边上的中线等于斜边的一半得到：BF=DF=EF=4，则在直角△DCF中，利用勾股定理求得

x+（y﹣4）=DF．

解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y， ∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°． 又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=4， ∴BF=DF=EF=4． ∴CF=4﹣BC=4﹣y．

222222

∴在直角△DCF中，DC+CF=DF，即x+（4﹣y）=4=16，

2222

∴x+（y﹣4）=x+（4﹣y）=16． 故答案是：16．

点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质．根据“直角△BDE的斜边上的中线等于斜边的一半”求得BF的长度是解题的突破口． 15．（2015•通辽）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），

222

则剪下的等腰三角形的面积为 8cm或2cm或2cm ．

2

2

2

考点： 勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质． 专题： 分类讨论．

分析： 因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论： （1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；

（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解； （3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解． 解答： 解：分三种情况计算： （1）当AE=AF=4时，如图：

∴S△AEF

=AE•

AF=×4×4=8（cm）； （2）当AE=EF=4时，如图：

2

则BE=5﹣4=1，

BF=

=

==2

，

（cm）；

2

∴S△AEF

=•AE•BF=×4×

（3）当AE=EF=4时，如图：

则DE=7﹣4=3，

DF=

=

==2

， （cm）；

2

∴S△AEF

=AE•

DF=×4×

故答案为：8或2或2．

点评： 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度． 16．（2015•黄冈）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm．

考点： 勾股定理．

分析： 此题分两种情况：∠B为锐角或∠B为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果． 解答： 解：当∠B为锐角时（如图1）， 在Rt△ABD中，

2

BD=

在Rt△ADC中， CD=∴BC=21， ∴S△ABC=

==5cm，

==16cm，

=×21×12=126cm；

2

当∠B为钝角时（如图2）， 在Rt△ABD中， BD=

在Rt△ADC中， CD=

=

=16cm，

=

=5cm，

∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm， ∴S△ABC=

=×11×12=66cm，

2

故答案为：126或66．

点评： 本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．

17．（2015•哈尔滨）如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=CD=13，则线段AC的长为 4

．

，

考点： 勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．

分析： 作∠DAE=∠BAD交BC于E，作AF⊥BC交BC于F，作AG⊥BC交BC于G．根据三角函数设DF=4x，则AF=7x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得到DF=4，AF=7，设EF=y，则CE=7+y，则DE=6﹣y，在Rt△DEF中，根据勾股定理得到DE=

2

，AE=，设DG=z，则EG=﹣z，则（）

﹣z=（

2

）﹣（

2

﹣z），依此可得CG=12，在Rt△ADG中，据勾股定理得到AG=8，在Rt△ACG

．

2

中，据勾股定理得到AC=4

解答： 解：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G． ∵∠C+∠BAD=∠DAC， ∴∠CAE=∠ACB， ∴AE=EC， ∵tan∠BAD=，

∴设DF=4x，则AF=7x，

222222

在Rt△ADF中，AD=DF+AF，即（）=（4x）+（7x）， 解得x1=﹣1（不合题意舍去），x2=1， ∴DF=4，AF=7，

设EF=y，则CE=7+y，则DE=6﹣y，

222222

在Rt△DEF中，DE=DF+EF，即（6﹣y）=4+y， 解得

y=， ∴DE=6﹣

y=

，AE=

， ﹣z，则 ）﹣（

2

∴设DG=z，则EG=（

）﹣z=（

2

2

﹣z），

2

解得z=1， ∴CG=12，

在Rt△ADG中，AG=在Rt△ACG中，AC=故答案为：4

．

=8， =4

．

点评： 考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到AG和CG的长． 18．（2015•遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=．

考点： 勾股定理的证明． 分析： 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，

2222

再根据S1=（CG+DG），S2=GF，S3=（NG﹣NF），S1+S2+S3=12得出3GF=12． 解答： 解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ∴CG=NG，CF=DG=NF，

2

∴S1=（CG+DG）

22

=CG+DG+2CG•DG

2

=GF+2CG•DG，

2

S2=GF，

222

S3=（NG﹣NF）=NG+NF﹣2NG•NF，

22222

∴S1+S2+S3=GF+2CG•DG+GF+NG+NF﹣2NG•NF=3GF=12， 故答案是：12．

点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S1+S2+S3=3GF=12是解题的难点． 19．（2015•株洲）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于 6 ．

2

考点： 勾股定理的证明．

分析： 根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可． 解答： 解：∵AB=10，EF=2，

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96， ∴2ab=96，a+b=100，

222

∴（a+b）=a+b+2ab=100+96=196， ∴a+b=14， ∵a﹣b=2，

2

2

解得：a=8，b=6， ∴AE=8，DE=6， ∴AH=8﹣2=6． 故答案为：6．

点评： 此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值． 20．（2015•淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是 120，150 度．

考点： 等腰直角三角形；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．

分析： 根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得出∠ABD=15°，利用全等三角形的判定和性质得出∠BAD=30°，再利用等腰三角形解答即可．

解答： 解：∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°， 在△ABD与△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴∠BAD=∠CAD=30°，

∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°， 故答案为：120，150

点评： 此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得出∠ABD=15°． 21．（2015•山西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是

cm．

考点： 勾股定理的应用．

分析： 分别过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．

解答： 解：过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N， ∵AD=24cm，则BF=24cm， ∴BN=

=

=7（cm），

∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN，

∴△BNF∽△BMA， ∴∴

==

， ，

=

，

+4=

（m）．

则：AM=

故点A到地面的距离是：故答案为：

．

点评： 此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出△BNF∽△BMA是解

题关键． 22．（2015•常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 （400，800） ．

考点： 勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用．

分析： 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．

解答： 解：连接AC，

由题意可得：AB=300m，BC=400m， 在△AOD和△ACB中 ∵

，

∴△AOD≌△ACB（SAS）， ∴∠CAB=∠OAD， ∵B、O在一条直线上，

∴C，A，D也在一条直线上，

∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m， ∴C点坐标为：（400，800）． 故答案为：（400，800）．

点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键． 23．（2015•厦门）已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是 5 km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北 方向．

考点： 勾股定理的应用；方向角．

分析： 根据勾股定理来求AB的长度．由于∠C=90°，A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．

解答： 解：∵∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km， ∴AB=

=

=5（km）．

又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的 正北方向．

故答案是：5；正北．

点评： 本题考查了勾股定理的应用和方向角．勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． 24．（2015•朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．

考点： 勾股定理的应用．

22

分析： 首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m，再根据勾股定理可得MC+MB=（2MC）2

，代入数可得答案．

解答： 解：由题意可得：∵AM=4米，∠MAD=45°， ∴DM=4m，

∵AM=4米，AB=8米， ∴MB=12米， ∵∠MBC=30°， ∴BC=2MC，

222

∴MC+MB=（2MC），

222MC+12=（2MC）， ∴MC=4﹣4≈2.9（米）， 故答案为：2.9．

点评： 此题主要考查了勾股定理得应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 25．（2015•东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为

．

考点： 平面展开-最短路径问题． 专题： 计算题．

分析： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．

解答： 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，

∵△BCM∽△ACN， ∴

=

，即=

=2，即MC=2NC，

∴CN=MN=，

在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC=故答案为：

．

=

，

点评： 此题考查了平面展开﹣最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出CN的长是解本题的关键． 26．（2015•庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为

cm．（结果保留π）

考点： 平面展开-最短路径问题．

分析： 根据绕两圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AB的长为圆柱的底面圆的周长，BC的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可． 解答： 解：如图所示， ∵无弹性的丝带从A至C， ∴展开后AB=2πcm，BC=3cm， 由勾股定理得：AC=

故答案为：

．

=cm．

点评： 本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想． 三．解答题 27．（2015•牡丹江）在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．

考点： 勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形． 专题： 分类讨论． 分析： 根据题意画出图形，进而利用勾股定理以及锐角三角函数关系求出BC的长，进而求出答案． 解答： 解：如图所示：过点D作DE⊥BC延长线于点E， ∵AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD， ∴∠BAD=90°，∠ABC=∠ACB=75°，AB=AD=DC=4， ∴∠ABD=∠ADB=45°，∠DBE=30°，∠DCE=45°， ∴DB=4，则DE=EC=2，BE=BDcos30°=2， 则BC=BE﹣EC=2﹣2， 则△BCD的面积为：×2

（2

﹣2

）=4

﹣4．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，得出BC的长是解题关键． 28．（2015•柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5． （1）求DB的长；

（2）在△ABC中，求BC边上高的长．

考点： 勾股定理；三角形中位线定理．

分析： （1）直接利用勾股定理得出BD的长即可；

（2）利用平行线分线段成比例定理得出BD=AE，进而求出即可． 解答： 解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5， ∴BD=

=3；

（2）延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E， ∵DB⊥BC，AE⊥BC， ∴AE∥DB，

∵D为AC边的中点， ∴BD=AE，

∴AE=6，即BC边上高的长为6．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及平行线分线段成比例定理，得出BD=AE是解题关键． 29．（2015•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°． （1）若AD=2，求AB；

（2）若AB+CD=2+2，求AB．

考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．

分析： （1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；

（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果． 解答： 解：（1）过A点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD， ∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，

∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°， ∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°， △ADE与△BCF为等腰直角三角形，

∵AD=2，

∴AE=DE==，

∵∠ABC=105°，

∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，

∴BE===，

∴

AB=

；

（2）设DE=x，则AE=x，BE===，

∴BD=

∵∠BDF=60°，

∴∠DBF=30°，

∴

DF=

∴

BF==x， ==2x， =，

∴

CF=，

∵AB=AE+BE=，

CD=DF+CF=x， AB+CD=2+2，

∴AB=

+1

点评： 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．

30．（2015•娄底）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）

考点： 勾股定理的应用．

分析： 根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．

解答： 解：此车没有超速．

理由：过C作CH⊥MN，

∵∠CBN=60°，BC=200米，

∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），

BH=BC•cos60°=100（米），

∵∠CAN=45°，

∴AH=CH=100米，

∴AB=100﹣100≈73（m），

∵60千米/小时=

∴m/s， ≈16.7（m/s）， =14.6（m/s）＜

∴此车没有超速．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．

31．（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．

（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；

（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．

考点： 勾股定理的应用；垂径定理的应用．

分析： （1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；

（2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．

解答： 解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，

∵∠NOM=30°，AO=80m，

∴AD=40m，

即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；

（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m， ∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，

∴AD=OA=×80=40m，

在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响．

∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟， ==30m，

∴重型运输卡车经过BD时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．

答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．

点评： 此题考查的是垂径定理与勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是卡车在哪段路上运行时对学校产生影响．