光学教程第2章_参考答案

2.1 单色平面光照射到一个圆孔上，将其波面分成半波带，求第k各带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。

2

Rhk11

解：由菲涅耳衍射，第k个半波带满足关系式k()，

r0R当R时，Rhkkr0。

第一半波带半径Rhkr04500101010.067cm。

2.2平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像摄像机光圈那样改变大小．问：(1)小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4 m的P点的光强分别得到极大值和极小值；(2)P点最亮时，小孔直径应为多大?设此光的波长为500nm。

2

Rhk11

解：(1)由菲涅耳衍射，第k个半波带满足关系式k()，

r0R当R时，Rhkkr0k5000101041.414kmm。 K为奇数时，P点光强为极大值； K为偶数时，P点光强为极小值。 (2)P点最亮时，由p点的振幅ak

1

(a1ak)，所以当k=1时，ak为最大 2

所以d2Rh10.2828cm。

2.3 波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5 mm和1 mm的透光圆环，接收点P离光阑1 m，求P点的光强I与没有光阑时的光强度I0之比。

2

Rhk11

解：由菲涅耳衍射，第k个半波带满足关系式k()，

r0R

11(0.5103)211

圆环内径对应的半波带数k1()()1

r0R5000101011

Rh1

11(1103)211

圆环外径对应的半波带数k2()()4 10

r0R50001011

1

由题意可知，实际仅露出3各半波带，即ak(a2a4)a1，

2

11

而a(a1a)a1

22

2

Iak

4

所以光强之比I0a。

Rh1

2.4波长为632.8 nm的平行光射向直径为2.76 mm的圆孔，与孔相距l m处放一屏，试问：(1)屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点?(2)要使P点变成与(1)相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少?

2

Rhk11

解：(1)由菲涅耳衍射，第k个半波带满足关系式k()，

r0R

2

2

2.761032

2()Rhk3。 当R时，k

r0632810101

由于k=3，为奇数，所以屏上正对圆孔中心的P点时亮点。 (2)预使P点变为暗点，即要使k为偶数，即k=2or4 当k=2时

2.761032

2()Rhkr0'1.5m k632810102rr0r0'0.5m

即将屏向后移动0.5m 当k=2时

2.761032

2()Rhkr0'0.75m 10

k6328104rr0r0'0.25m 即将屏向前移动0.25m

2.5 一波带片由五个半波带组成，第一半波带为半径r1的不透明圆盘，第二半波带是半径r1至r2的透明圆环，第三半波带是r2至r3的不透明圆环，第四半波带是r3至r4的透明圆环，第五半波带是r4至无穷大的不透明区域．已知r1：r2：r3：r4=l：2：3：4，用波长500nm的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片1 m的轴上．试求：(1)r1；(2)像点的光强；(3)光强极大值出现在轴上哪些位置上。

2

Rhk11

解：(1)由菲涅耳衍射，第k个半波带满足关系式k()，

r0R当R时，Rhkr0k，由于500nm，r0=1m， 所以Rhk50001010k

由题意可知Rh1:Rh2:Rh3:Rh41:2:3:4k1:23k4 所以k1=1，k2=2，k3=3，k4=4。

Rh15000101010.707mm。

由题意可知，屏对于波带片只让偶数的半波带透光，所以‘ aka2a42a2

1

而aa2

2222

所以Iak4a216a

16I0

R

(3)因为f'r0h1m——主焦点

k111

它还有次焦点：f'、f'、f'……

357

111

故光强极大点出现在轴上、、……

357

2.6波长为λ的点光源经波带片成一个像点，该波带片有100个透明奇数半波带(1，3，5，…，199)．另外100个不透明偶数半波带．比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该像点的强度比I:I0。

2

解：由题意可知，将所有偶数半波带挡住了，二只有奇数的半波带透过 所以在考察点的振幅为

22

aka1a3a197a199100a1，即Iak10000a1 当换上同样焦距的口径的透镜时，

透镜对所有光波的相位延迟一样，所以a1、a2、a3…a199、a200的方向时一致的，即

aka1a2a3a4a199a200200a1

强度I0ak40000a1

I

所以4

I0

2.7 平面光的波长为480 nm，垂直照射到宽度为0.4 mm的狭缝上，会聚透镜的焦距



为60 cm，分别计算当缝的两边到P点的相位差为和时，P点离焦点的距离。

26

解：如图所示

2

2



2



bsin

2



btan

2



b

y， f'

所以y

f'

 2bf'48010960102y110.18mm 3

2b20.4102f'48010960102y110.06mm

2b20.41036

2.8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm的光波的第二各次最大值重合，求该光波的波长。 解：由单缝衍射出现次最大值的条件为

bsin101.43 bsin202.46 bsin303.47 由题意可知

3.472.460，即3.472.46600109，

425.4109m

2.9 波长为546.1nm的平行光垂直地射在l mm宽的缝上，若将焦距为100 cm的透镜紧贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，试问衍射图样的中央到(1)第一最小值；(2)第一最大值；(3)第三最小值的距离分别为多少?

解：(1)由单缝衍射出现最小值的条件为bsin

kk

而yf'tanf'sin

546.1109

546.1106m 所以yf'k，所以y1f'100103

bb110

(2) 由单缝衍射出现第一级最大值的条件为bsink1.43



2

而yf'tanf'sin



所以yf'1.43，

b

546.1109

780.9106 所以y1'1.43f'1.43100103

b110

(3) 由单缝衍射出现最小值的条件为bsinkk

而yf'tanf'sin



所以yf'k，

b546.110926

1638.310所以y13f'310010m 3

b110

2.10钠光通过宽0.2 mm的狭缝后，投射到与缝相距300cm的照相底片上．所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885 cm，试问钠光的波长为多少?若改用X射线(λ=0.1 nm)做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少? 解：由单缝衍射出现最小值的条件为bsinkk



2

而y

f'tanf'sin

所以yf'k



b

，

由题意可得yy2y1f'(21)



b

0.885102300102(21)



0.2103

59001010m

若改用X射线作此实验，底片上这两个最小值之间的距离

0.110926

yy2y1f'(21)30010(21)1.510m 3

b0.210

2.11 以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射(包括缝与缝之间的干涉)图样，设缝宽为b，相邻缝间的距离为d，d=3b，注意缺级问题。 解：

2.12 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的全息光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角之差为多少?(设可见光中最短的紫光波长为400 nm，最长的红光波长为760nm)

解：由光栅方程dsinkj(j=0，±1 、±2、±3… )

11103

2105m 由题意可知光栅常数d

N50

对于白光，第一级的末端为红光，对应波长为760nm

760109

sin1j13.8102rad 5

d210

第二级的始端为紫光，对应波长为400nm

400109

sin2j24.0102rad 5

d210

所以衍射角之差为 Δθarcsin(4.0102)arcsin(3.8102)0.2102rad

180

0.21027'



2.13 用可见光(760-400nm)照射全息光栅，一级光谱和二级光谱是否重叠?二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：由光栅方程dsinkj(j=0，±1 、±2、±3… ) 对于白光，第一级的末端为红光，对应波长为760nm

760109760109

sin1j1rad

ddd

第二级的始端为紫光，对应波长为400nm

400109800109

sin2j2rad

ddd

所以21，所以第一级与第二级之间是不会重叠的 第二级末端的红光，对应的衍射角由

7601091520109

sin2j2rad

ddd

第三级始端的紫光，对应的衍射角

4001091200109

sin3j3rad

ddd

32，所以第二级与第三级之间是会重叠的

对于重叠范围如下计算

sin2sin3时，即为重叠部分

(400~760)109(400~760)109

3故有2，即

dd

2(400~760)3(400~760) (800~1520)(1200~2280)

可见重叠部分为1200~15201200~1520 对于第二级对应波长为600~760nm 对于第三级对应的波长为400~506.7nm

即第二级光谱的600~760nm与第三级的400~506.7nm重合。

2.14 用波长为589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间衍射角为15°10’，求该光栅l cm内的缝数是多少? 解：由光栅方程dsinkj(j=0，±1 、±2、±3… )

第一级主最大值的衍射角为0，所以 由第二十级主最大的衍射角可以求得

589109

d204.5105m

sin1510'

11102

222条/厘米

该光栅每厘米内的缝数NN

d4.5105

2.15 用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱．试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱?(2)光以30°角入射时，最多能观察到几级光谱？

1103

2.5106m 解：(1)由题意可得光栅常数d

400

当光垂直入射时，由光栅方程dsinkj(j=0，±1 、±2、±3… )

2.5106sin90j589109 j4.24

所以最多能看到第4及光谱

(2)当光以30°入射时，此时对应的光栅方程为d(sin0sink)j 2.5106(sin30sin90)j589109 j6.36orj-2.12

所以最大可以看到第6级。

2.16 白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现那些波长的光?其颜色如何?

1103

4.0106m 解：由题意可得光栅常数d

250

当光垂直入射时，由光栅方程dsinkj(j=0，±1 、±2… ) 当j=1时，4.0106sin301，2000109m 当j=2时，4.0106sin302，1000109m 当j=3时，4.0106sin303，666.7109m 当j=4时，4.0106sin304，500109m 当j=5时，4.0106sin305，400109m 当j=6时，4.0106sin306，333.3109m 可出现的光有紫光400nm、绿光500nm、红光666.7nm

2.17 用波长为624 nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029 mm，缝数N为103条，试求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度，(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱?(3)谱线的半宽度为多少? 解：(1)单缝衍射的中央角宽度一旁边两最小值对透镜中心所张的角 所以由单缝衍射出现最小值的条件bsinkk

得0.012103sin1624109 10.052rad，

所以中央角宽度0.104rad (2)由光栅方程dsinkj，在单缝衍射图样中央宽度内能看到的光谱满足

(0.0290.012)103sin1j624109

j=3.42，即能看到的3级的光谱。0、±1、±2、±3共7条谱线。



(3)谱线的半角宽度由，当衍射角很小时，cos1

Ndcos

624109

31.52105rad

3

Nd100.04110

2.18 NaCI的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17 g/cm3，(1)试证相邻两离子问的平均距离为

M0.2819nm 2NA式中NA=6.02×1023/mol为阿伏伽德罗常量；(2)用X线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现．试计算该X射线的波长。 解：

2.19 波长为0.001 47 nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm，试问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。 解：

2.20 如题2.20图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝距分别为d和2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为

sin2u

II02[32(cos2vcos4vcos6v)]

u

bsindsin

v式中u。 

解：

2.2l 一宽度为2cm的平面光栅上刻有12000条刻痕。如题2.2l图所示，以波长λ=500nm的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由lmm均匀变薄到0.5mm，试问第一级主最大方向改变了多少? 解：

2.22一平行单色光投射于平面光栅上，其方向与光栅的法线成θ角，在和法线成ll°和53°角的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。(1)试求入射角θ0；(2)试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线? 解：

2.23波长为600nm的单色光正入射到一平面光栅上，有两个相邻主最大分别出现在sinθ1=0.2和sinθ=0.3处，第四级为缺级。(1)试求光栅常量；(2)试求光栅的缝可能的最小宽度；(3)在确定了光栅常量与缝宽之后。试列出在光屏上实际呈现的全部级数。 解：

2.24设计实验：测定CD或DVD光盘的光栅常数。 解：