厄米算符本征函数的正交性
3. 4 厄米算符本征函数的正交性 力学量算符本征值,本征函数, 厄米算符 现讨论厄米算符的本征函数的基本性质,正交性 动
量
算
符
的
本
征
函
数
ψp
本征值为
p
i p ⋅r
ψp (r ) =ce
c =
1(2π )
32
p '≠p
⎰ψψp d τ=δ(p '-p )
*p '
*ψ⎰p 'ψp d τ=0
属于动量算符不同本征值的两个本征函数ψp ', ψp 相互正交 厄米算符的特点:本
ˆ, 征函数正交 证明:设力学量算符F
本征值 λ1, λ2, λ3, λn 本征函数 φ1, φ2, φ3, φn
取属于不同本征值的任意两个本征波函数波函数λk 因为λk ≠λl
*
φ所以 ⎰k φl d τ=0
≠λl
以上证明过程对分立谱,连续谱都成立
*
φφd τ=1
但注意:对分立谱λk 组成分立谱,波函数φk 已归一⎰k k
1, k =l ⎧*δ=⎨φ由以上两式⎰k φl d τ=δkl 其中kl 对连续谱λ 0, k ≠l ⎩
组成分立谱,波函数φλ归一为δ
*
φ函数⎰λφλ'd τ=δ(λ-λ')
满足以上两式的函数系,称为正交归一系。 以上无简并情况
简并情况---〉同一本征值对应多个波函数(状态)
ˆ的一个本征值λn 是如力学量算符F
f
度简并
此处多讲!一般来说以上这些函数在满足本征方程外,还有更大的自由,所以并不
一定相互正交 但我们总可以用个把以上
f 2常数A ij ,
i , j =1,2, , f
f
f
个函数ni 线性组合成
φ
个新函数ψni 相互正交
上结论能否成立,关键是能否找到交归一
*ψ即⎰n j ψn j 'd τ=δj j '
f 2个常数A i j ,使组成的新函数ψn i 满足正
即
f (f -1) f 2f
=-个类似以上的方程且f 个新函数ψn i 相互组合,共有C =
222
2
f
j ≠j '
δj j ' =0
j =1, 2, , f
共
*ψ由归一性⎰n j ψn j d τ=1
f
2
f 个找到个常数A i j ,
使组成的新函数ψn i 满足正交归一
f 2f f 2f
-+f =+ 受限制方程数N =C +f =
2222
2
f
系数A i j 有f 2个 ,大于方程的个数N ,所以总可以找到f 2个系数A i j 组成
f
ˆ的本征函数,本征值为λn 个新函数ψn i 满足正交性且新函数是力学量F
即
ˆ某本征值例:力学量算符F
归一的波函数
λ2度简并本征函数φ1, φ2本征值为λ设正交
ϕ1=c 11φ1+c 12φ2
ϕ2=c 21φ1+c 22φ2
*ϕ由正交归一⎰1ϕ2d τ=0,
*
ϕ⎰1ϕ1d τ=1,
*
ϕ⎰2ϕ2d τ=1
已作过的几个厄米算符的本征函数
线性谐振子,能量算符ψn =N n e
-
a 2x 22
n (n +1) ˆ H n (ax ), E n = ω角动量L z
2
1im ϕ
φm =e , m =0, ±1, ±2 , m
⎰
2π
φm (ϕ) φm '(ϕ) =δmm '
π
角动量平方
m 2
L , Y lm (θ, ϕ) =N lm P l (cosθ) e im ϕ,
(l +1) l , (2l +1)
222
Ze 22s =-H ∇1-∇2-
2μ12μ2r 1-r 2222
Ze 2s =-H ∇2-∇-R r
2M 2μr
2
氢原子能量
内部运动能量波函数 3. 5 算符与力学
的关系 力学量 算符表示
算符 厄米算符
本征值方程 本征值、本征函数
如果算符F 表示力学量 F ,那么体系处于算符F 的本征态φ时,力学量F 有确定的值,这个值就是算符F 在φ态的本征值所描述的态上,而是一个任意的态
λ一般情况,体系并不在本征函数
ψ
上 ?
有确定值吗? 测量该力学量得什么? 波函数能给出给力学量的什么信息?
态的叠加 假设体系处于ψ1(r ) ,测量某力学量A, 得a 1
假设体系处于ψ2(r ) ,测量某力学量A, 得a 2
ψ=c 1ψ1+c 2ψ2也是体系的可能状态 (c 为任意复数)称
ψ=c 1ψ1+c 2ψ2是 ψ1(r ) 和ψ2(r ) 的叠加态
则
在该态上测量力学量A 有时出现a 1有时出现a 2
2
c c 出现的几率分别为 1 2
2
力学量A 的平均值是:
ˆ是满足一定条件的厄米算符,它的正交归一本征函数数学上已知证明 如F
对应本值λn ,则任一函数可按
φn
φn 展开 式中c i
与
x 无关,本征函数φn 的
这种性质称完全性,即组成完全系
其他例子:矢量表示r =xi +y j +zk
s +v
f (ρ) =b ρ∑ν 函数的级数展开
v =0∞
b 0≠0函数的三角函数展开
f (x ) =∑A n sin(nx ) 系数c n 如何求?
n =0
**
φψ(x ) dx =φ⎰m ⎰m ∑c n φn dx
n
∞
*=∑c n ⎰φm φn dx =∑c n δmn =c m
n
n
*
c =φ即m ⎰m ψ(x ) dx 系数c n 的平方和等
于 1 系数c n 物理意义? 数学上c n 时含有物理上含有量子态份额的多少,
φn 的大小
c n
2
是测量力学量F 得λn 的几率
ˆ
力学量与算符关系的一个基本假定
ˆ都是厄米算符,它们的本征函数表示力学量的算符F
c n
2
φn 组成完全系,当体系
ˆ的处于波函数ψ(x ) 所描写的状态时,测量力学量F 所得的数值,必定是算符F
本征值之一,测得的几率是
.
正确性,由整个理论与实验结果符合而得到验证 由以上假定,力学量平均值
F =∑λn c n
n
2
→
ψdx F =⎰ψ*F
* * ψF ψdx =(c φ) ⎰⎰∑m m F (∑c n φn ) dx
m
n
** **=∑c m c n ⎰φm F φn dx =∑c m c n ⎰φm λn φn dx mn
mn
***=∑c m c n λn ⎰φm φn dx =∑c m c n λn δmn
mn
mn
证明
=∑λn c n =n
2
F =
* ψF ψ(x ) dx *
ψ⎰ψ(x ) dx
对含连续谱情况 ψ(x ) =
*
∑c φ(x ) +⎰c λφλ(x ) d λ其中
n n n *
c λ=⎰φλ(x ) ψ(x ) dx 由⎰ψ(x ) ψ(x ) dx =1→
对连续部分对含连续谱情况下
2
∑c
n
2
n
+⎰c λd λ=1
2
c λd λ是什么意义 是测力学量F 得值在范围
λ→λ+d λ内的几率 平均值
F =∑λn c n
n
2
→F =⎰λn c n d λ
2
ψdx F =⎰ψ*F
有分立,连续
n
2
2
ψdx F =∑λn c n +⎰λc n d λ=⎰ψ*F
例:求氢原子处于基态时,电子动量的几率分布
ψ(r ) =分析基态
100
e
-
r a 0
给出了随 r 的分积布, 几率密度100
2
按动量算符的本征函数展开,系数λ 即为动量分布
c
其中动量本征函数
ψp (r ) =
1(2π )
32
e
i p ⋅r
z
p
θ
r
2
d τ=r sin θdrd θd ϕ 微元
o
y
x
c p =⎰==
1(2π ) 1
332
e
i -p ⋅r
2π=0
e
-
r a 0
⋅r 2sin θdrd θd ϕe
-r a 0
π(2 a 0)
1
2
2
⎰⎰θ⎰ϕ
r =0
=0
∞π
e
i
-pr cos θ
r 2sin θd θd ϕdr
π(2 a o )
2
2
3
2
⎰⎰
r =0
∞-1
cos θ=1
-2π⋅e
i -pr
i
-pr cos θ
e
-
r a o
r 2drd cos θ
=
π(2 a o )
2i
3
2
⎰
∞
r =0
r 2e
-
r a 0
⋅[e -e
i pr
]/[-
i
pr ]dr
(2a o ) 2
3
=
π(2 a 0)
2i
3
3
2
⎰p
∞
∞
r =0
re
-
r
a 0
[e
i -pr
-e
i pr
i pr
]dr =
2
π⎡⎣a p + ⎤⎦
2
a
22
=
π(2 a 0)
2i
2
⎰p
r =0
re
-
r
a 0
[e e
i -pr
-e ]dr
e
-(
1i -p ) r a 0
-(
=
π(2 a 0) 2p
3
[0-⎰
∞
1i +p ) r a 0
r =0
1i -(+p ) a 0
1i +p ) r a 0
dr -0+⎰
∞
r =0
1i -(-p ) a 0
]dr
=
-e e ∞
+]r =03
1i 1i 222π(2 a 0) p (+p ) (-p ) a 0 a 0
[
2i
2i
-(-(
1i
-p ) r a 0
1-1
=[+]3
π(2 a 0) 2p (+p ) 2(-p ) 2
a 0 a 0
1+1
=[+]3
π(2 a 0) 2p ( +ia 0p ) 2( -ia 0p ) 2
a 0 a 0 1+1
=[+]322π(2 a 0) 2p ( +ia 0p ) ( -ia 0p ) 2i (a 0 ) 2( -ia 0p ) 2-( +ia 0p ) 2=32222
2( +a 0p ) π(2 a ) p
2i
2i (a 0 ) 2
3
-4i a 0p (2a 0 ) 2
==322222222
2( +a p ) π( +a 00p ) π(2 a 0) p
2i (a 0 )
2
c p (p ) 是p =p
的函数,动量的几率密度
ω(p ) =c p =
2
35
8a o
π⎡⎣a p + ⎤⎦
2
20
22
4
当氢原子处基态时,电子动量的绝对值在范围
p →p +dp 内的几率
积分时利用公式
⎰
∞
x 2dx π
= 24
(1+x ) 32