高三文科数学数列大题综合[1]
22.(本题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意自然数n (n ≥1)总有
. S n =p (a n -1) (p 是常数,且p ≠0, p ≠1)
(1)求数列{a n }的通项公式a n ;
(2)数列{b n }中,b n =2n +q (q 为常数),且a 1=b 1, a 2
23.(本题满分16分)如图所示,在杨辉三角中,斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿
2,3,3,6,4,10,⋅⋅⋅,记这个数列的前n 项的和为S n . 形的数列:1,
3,6,10⋅⋅⋅的通项公式; (1) 猜想或计算数列1,
(2) 求S 50.
说明:如需要,可以套用公式
12+22+ +n 2=n ⋅(n +1) ⋅(2n +1) . 6
10.(2009湖南卷文)
*对于数列{un },若存在常数M>0,对任意的n ∈N , 恒有
例1、(2009年全国卷Ⅱ即云南卷、理19)设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知a 1=1, S n +1=4a n +2
(I )设b n =a n +1-2a n ,证明数列{b n }是等比数列
(II )求数列{a n }的通项公式。 (a n =
(3n -1) ⋅2n -2
例2、(2009年全国卷Ⅰ、理20)在数列{a n }中, a 1=1’a n +1=⎛ 1+⎝
1
n -11⎫n +1. a +⎪’n n ⎭2(I)设b n =2
n +2(II)求数列{a n }的前n 项和S n . (S n =n (n +1) +n -1-4) 2a n ,求数列{b n n }的通项公式; (b n =2-)
例3、(2008年全国卷Ⅱ即云南卷、理20)设数列{a n }的前n 项和为S n . 已知a 1=a, a n +1=S n +3n ,n ∈N *.
(Ⅰ)设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式;
(Ⅱ)若a n +1≥a n , n ∈N *, 求a 的取值范围。
例4、(2008年全国卷Ⅰ、文22)在数列{a n }中,a 1=1, a n +1=2a n +2n . (Ⅰ)设b n =a n . 证明:数列{b n }是等差数列; n -12
(Ⅱ)求数列{a n }的前n 项和S n .
例5、(2007年全国卷Ⅱ即云南卷、理21)设数列{a n }的首项a 1∈(0, 1), a n =3-a n -1, n =2, 3, 4,...... (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; 2
(Ⅱ)设b n =a n -2a n , 证明:b n
分析:(1)
1311a n =-a n -1+⇒a n -1=-(a n -1-1) ⇒a n =(a 1-1) ⨯(-) n -1+1(n ∈N +) 2222
例6、(2007年全国卷Ⅰ、理22)已知数列{a n }中a 1=2, a n +1=(2-1)(a n +2), n =1, 2, 3,......
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;
(Ⅱ)若数列{b n }中,b 1=2, b n +1=3b n +4, n =1, 2, 3, . . 证. . 明. . :, 2b n +3
2
分析:(1)a n =2(2-1) n +2(n ∈N +)
例7、(2006年全国卷Ⅱ即云南卷、理22)
设数列{a n }的前n 项和为S n ,且方程x 2-a n x -a n =0有一根为S n -1, n =1, 2, 3,... (Ⅰ)求a 1, a 2;
(Ⅱ)求{a n }的通项公式;
例8、(2006年全国卷Ⅰ、理22) 设数列{a n }的前n 项和S n =412a n -⨯2n +1+, n =1, 2, 3, . . . . . . 333
(Ⅰ)求首项a 1与通项a n ; n 2n 3(Ⅱ)设T n =, n =1, 2, 3,......, 证明:∑T i
例21、已知a 1=2,点(a n , a n +1) 在函数f(x)=x 2+2x 的图象上,其中n =1, 2, 3......
(1)、证明数列{lg (1+a n )}是等比数列;
(2)、设T n =(1+a 1)(1+a 2)......(1+a n ) ,求T n 及数列{a n }的通项。 例22、数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=2S n ,(n ∈N *).
(1)、求数列{a n }的通项;
(2)、求数列{na n }的前n 项和T n .
例23、已知数列{a n }中,a 1=1, a n +1-a n =1
3*(n ∈N ), 则lim a n = n +1n →∞
例24、在数列{a n },{b n }中,a 1=2, b 1=4,且a n , b n , a n +1成等差数列,b n , a n +1, b n +1成等比数列(n ∈N ).
例25、在数列{a n },{b n }中,a 1=1, b 1=4,数列{a n }的前n 项和S n 满足*nS n +1-(n +3) S n =0,2a n +1为b n 与b n +1的等比中项,n ∈N +.
(1)、求a 2、b 2的值;
(2)、求数列{a n },{b n }的通项公式。
例26、已知{a n }是由正数组成的数列,且点(n , a n +1)(n ∈N *) 在函数y =x +1a 1=1,2
的图象上。
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)若数列{b n }满足b 1=1, b n +1=b n +2n ,求证:b n b n +2
b 2
n +1. a