2014潍坊中考数学基础知识总复习资料

2014年潍坊中考数学总复习基础知识及练习

正整数基础知识点： 一、实数的分类： 整数零

负整数有理数

有限小数或无限循环小数



实数正分数分数

 负分数

 正无理数无理数无限不循环小数

负无理数

1、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、4；特定结构的不限环无限小数，如1.[**************]„„；特定意义的数，如π、sin45°等。

二、实数中的几个概念：

1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a的相反数是 -a； （2）a和b互为相反数a+b=0

代数部分 第一章：实数

1；（2）a和b 互为倒数ab1；（3）注意0没有倒数 a

a0a,



a0 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：a0,

a,a0

2、倒数：（1）实数a（a≠0）的倒数是

（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点

的距离。

4、n次方根：（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a叫a的平方根，a叫a的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：a叫实数a的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴：

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较：1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。

n

五、有效数字和科学记数法：1、科学记数法：设N＞0，则N=a×10（其中1≤a＜10，n为整数）。

2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。 例题：

1、已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且a＞b。 化简：aabba

2、若a(),

3、若a2与b2互为相反数，求a+b的值。

4、已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，求

5、计算：8

1994

a 0 b

34

3

3b()3,

43

c()3，比较a、b、c的大小。

4

ab

cdm2的值。 m

0.1251994。

代数部分 第二章：代数式

基础知识点： 一、代数式：

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。

单项式整式有理式多项式3、代数式的分类：代数式 分式无理式

二、整式的有关概念及运算： 1、概念：

（1）单项式：像x、7、2xy，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。 升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、运算：

（1）整式的加减：合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。 （2）整式的乘除： 同底数幂相乘：aaa

m

n

mn2

；同底数幂相除：aaa

2

2

mnmn

；幂的乘方：(a)a

mnmn

积的乘方：

(ab)nanbn。

乘法公式：平方差公式：(ab)(ab)ab；

完全平方公式：(ab)a2abb，(ab)a2abb 三、因式分解：

1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：mambmcm(abc)

（2）运用公式法：平方差公式：ab(ab)(ab)；完全平方公式：a2abb(ab) （3）十字相乘法：x(ab)xab(xa)(xb)

（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

2

（5）运用求根公式法：若axbxc0(a0)的两个根是x1、x2，则有：ax bxca(xx1)(xx2)3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。 （4）最后考虑用分组分解法。 四、分式：

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1、分式定义：形如

A

的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。 B

（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B≠0时，分式有意义。 （2）分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，

一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。 （6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。 2、分式的基本性质： （1）

AAMAAM

（2）(M是0的整式)；(M是0的整式)

BBMBBM

（3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 五、二次根式：

1、二次根式的概念：式子a(a0)叫做二次根式。

（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a与a； 2、二次根式的性质：

abcd与abcd）

；

a

（1） (a)a(a0)；（2）aa

aa（3）aba（a≥0，b≥0）；（4）b

2

2

(a0)(a0)ab

(a0,b0)

3、运算：

（1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。 （2）二次根式的乘法：a （3）二次根式的除法：

ab（a≥0，b≥0）。

a

a

(a0,b0) b

二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。 例题：

一、因式分解：1、提公因式法：1、24a(xy)6b(yx)

2、十字相乘法：2、（1）x5x36；（2）(xy)4(xy)12

3、分组分解法：3、x2xx2

4、求根公式法：4、x5x5解： 二、式的运算：

1、化简求值：先化简，再求值：5x(3x5x)(4y7xy)，其中x=-1 y=1

2、分式的计算：化简

3、根式计算：已知最简二次根式2b1和7b是同类二次根式，求b的值。

2

2

2

2

2

2

422

32

2

a516

(a3)

2a6a3

代数部分：第三章：方程和方程组

基础知识点：

一、方程有关概念：1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 二、一元方程： 1、一元一次方程：（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0） （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）

（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 2、一元二次方程：

（1）一元二次方程的一般形式：ax2bxc0（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0） （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式： 当Δ=0时b24ac当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；

方程有两个相等的实数根；当Δ

2

bc

x1x2，x1x2

aa

2

（6）以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）：x(x1x2)xx1x20（理解性知识）

三、分式方程：

（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。 四、方程组：1、一次方程组：（1）二元一次方程组：一般形式：

a1xb1yc1

（a1,a2,b1,b2,c1,c2不

axbyc222

全为0）解法：代入消远法和加减消元法，解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的

解。（2）三元一次方程组（一般在求二次函数解析式时用）：解法：代入消元法和加减消元法 1、一元二次方程的解法：（1）

1222

（2）2x3x1；（3）4(x3)25(x2) (x3)22；

2

x226x21

5 2、分式方程的解法：（1）；（2）122

xx1x21x

3、根的判别式及根与系数的关系：

已知关于x的方程：(p1)x2pxp30有两个相等的实数根，求p的值。

4、已知a、b是方程x2x10的两个根，求下列各式的值：（1）ab；（2）

2

2

2

2

11 ab

xy2z1

2x3y3

5、方程组：5、解下列方程组：（1） ； （2）2xyz5

x2y5xy3z4



代数部分：第四章：列方程（组）解应用题

基础知识点：

一、列方程（组）解应用题的一般步骤：

1、审题：2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组）；4、解方程（组）； 5、检验，作答； 二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系； 1、工程问题：

（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量 （3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 2、行程问题：（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间 （2）常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题（设甲速度快）：

同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程

3、水中航行问题：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 4、增长率问题：常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）； 5、数字问题：基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100

例题：1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？ 2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的

1

处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间 3

3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%，结果提前2天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？

4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？

5、一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，例如存入一年期100元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：税后利息=1002.25%1002.25%20%1002.25%(120%) 已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元，问该储户存入了多少本金？

6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

代数部分 第五章：不等式及不等式组

基础知识点：

一、不等式与不等式的性质： 1、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。 2、不等式的性质：

（l）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a＞ b， c为实数a＋c＞b＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a＞b， c＞0ac＞bc。 （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a＞b，c＜0ac＜bc.

注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。 3、任意两个实数a，b的大小关系（三种）：

（1）a–b ＞0 a＞b （2）a–b=0a=b（3）a–b＜0a＜b

4、（1）a＞b＞0a（2）a＞b＞0ab

二、不等式（组）的解、解集、解不等式:1、一元一次不等式：

（l）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。

2、一元一次不等式组：

（l）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分（同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解）。 例题：

1、利用不等式的基本性质:1、判断正误：

（1）若a＞b，c为实数，则ac＞bc；（2）若ac＞bc，则a＞b 2、、特殊值法：若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（ ） A、

2

2

2

2

2

2

a11a

 B、ab＜0 C、1 D、1

babb

3、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。 （1）8–2（x＋2）＜4x–2； （2）1

x1x1

2

23

2(x8)104(x3)



4、求不等式组：x16x7的非负整数解。

132

5、逆向思考法：已知关于x的不等式(a2)x10a的解集是x＞3，求a的值。

代数部分 第六章：函数及其图像

基础知识点：

一、平面直角坐标系:

1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征：

（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P（x, y）在第一象限x ＞0，y＞0； 点P（x, y）在第二象限x＜0，y＞0；点P（x, y）在第三象限x＜0，y＜0； 点P（x, y）在第四象限x＞0，y＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征：点P（x, y）在x轴上y为0，x为任意实数。 点P（x，y）在y轴上x为0，y为任意实数。

3、点P（x, y）坐标的几何意义：

（1）点P（x, y）到x轴的距离是| y |；（2）点P（x, y）到y袖的距离是| x |； 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：（1）点P（a, b）关于x轴的对称点是P1(a,b)； （2）点P（a, b）关于x轴的对称点是P2(a,b)；（3）点P（a, b）关于原点的对称点是P3(a,b)； 二、函数：

（1）自变量取值范围的确是：

①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。

②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。

③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。 （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 三、几种特殊的函数:1、一次函数:

2、二次函数:

抛物线位置与a，b，c的关系：（1）a决定抛物线的开口方向

a0开口向上a0开口向下

（2）c决定抛物线与y轴交点的位置：

c>0图像与y轴交点在x轴上方；c=0图像过原点；c

4、正比例函数与反比例函数的对照表：

例题：

1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P（m，4），已知点P到x轴的距离是到y轴的距离2倍. ⑴求点P的坐标；⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。

2、已知y+2与x+3成正比例，过（1，3）点.求y与x的函数关系式.

3、填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，则此直线经过第________象限. 4、把反比例函数y=

k2

与二次函数y=kx(k≠0)画在同一个坐标系里，正确的是( ). x

2

5、画出二次函数y=x-6x+7的图象，根据图象回答下列问题：

（1）当x=-1，1，3时y的值是多少？（2）当y=2时，对应的x值是多少？ （3）当x＞3时，随x值的增大y的值怎样变化？

6、拖拉机开始工作时，油箱有油45升，如果每小时耗油6升．求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式；

代数部分 第七章：统计初步

基础知识点：

一、总体和样本：在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。 二、反映数据集中趋势的特征数

1

(x1x2xn) n

（2）加权平均数：如果n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，„„，xk出现fk次（这里

1

f1f2fkn），则x(x1f1x2f2xkfk)

n

（3）平均数的简化计算：当一组数据x1,x2,x3,,xn中各数据的数值较大，并且都与常数a接近时，设

1、平均数：（1）x1,x2,x3,,xn的平均数，x

x1a,x2a,x3a,,xna的平均数为x'则：xx'a。

2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。

3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。 三、反映数据波动大小的特征数：

(x1x)2(x2x)2(xnx)2

1、方差：（l）x1,x2,x3,,xn的方差， S

n

222

2x1x2xn2

x （2）简化计算公式：S

n

22

（3）记x1,x2,x3,,xn的方差为S，设a为常数，x1a,x2a,x3a,,xna的方差为Sa，则

2

S2=Sa，bx1,bx2,bx3,,bxn的方差为Sb=b2S2

2、标准差：方差（S）的算术平方根叫做标准差（S）。 四、频率分布：1、有关概念：

（1）频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频数之和等于数据总数n。 （2）频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l。 （3）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表。

（4）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘制成的，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。

样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量n的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。 五、确定事件和随机事件： 1、确定事件：

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 六、概率的意义与表示方法：

1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

2

22

n

会稳定在某个常数p附近，那么这个m

常数p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，„，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P

七、确定事件和随机事件的概率之间的关系： 1、确定事件概率：

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0 八、树状图法求概率：

1、树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不

重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 九、利用频率估计概率：

1、利用频率估计概率：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

例题：1、某养鱼户搞池塘养鱼，放养鳝鱼苗20000尾，其成活率为70％，随意捞出10尾鱼，称得每尾的重量如下（单位：千克）0．8、0．9、1．2、1．3、0．8、1．l、1．0、1．2、0．8、0．9根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？

2、一次科技知识竞赛，两次学生成绩统计如下

已经算得两个组的人均分都是80分，请根据你所学过的统计知识进一步判断这两个组成绩谁优谁次，并说明理由。

3、在一个布口袋中装有只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球． （1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果；

（2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率．

4、如图6，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字.有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：

(1)同时转动转盘A与B；

(2)转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜.你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由.

几何部分 第一章：线段、角、相交线、平行线

基础知识点：

一、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。 二、射线：2．射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。” 三、线段：

1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。 2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短（两点之间，线段最短）。 四、线段的中点：

1、定义如图1一1中，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段图1－1AC的中点。 2、表示法： ∵AB＝BC（AB＝

1

AC）（AC＝2AB） 2

∴点 B为 AC的中点 ∵点 B为AC的中点， ∴AB＝BC（AB=

1

AC）（AC=2BC） 2

五、角：

1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；②这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。 2．角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 表示法有三种：如图1—2

（1）∠AOC＝∠BOC （2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB （3）∠AOC＝∠COB=

1

∠AOB 2

六、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。 七、角的分类：（1）锐角：小于直角的角叫做锐角（2）直角：平角的一半叫做直角（3）钝角：大于直角而小于平角的角

（4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。

（5）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。 （6）周角、平角、直角的关系是： l周角=2平角=4直角=360° 八、相关的角：

1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。 3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。

4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。

注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。

九、角的性质：1、对顶角相等； 2、同角或等角的余角相等； 3、同角或等角的补角相等。 十、相交线：

1、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2、垂线的性质：

（l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。 十一、距离：

1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。

2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。

十二、平行线：

1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4、平行线的判定：

（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行。 5、平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。 6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。 例题：

利用特殊“点”和线段的长：

1、 已知：如图1－3，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，BD＝1.2cm。 求：AD的长。

如何辨别角的个数与线段条数：

2、如图1－4在线段AE上共有5个点A、B、C、D、E怎样才数出所有线段。

3、如图1一5指出图形中直线AB上方角的个数（不含平角）

用代数法求角度：

4、已知一个锐角的余角，是这个锐角的补角的

1

6

，求这个角。

5、已知：如图l—6，AB∥ED ，求证：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°

几何部分 第二章：三角形

基础知识点：

一、关于三角形的一些概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。

1、三角形的角平分线：三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离） 2、三角形的中线：三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离） 3、三角形的高：三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离） 注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。

如图2－l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内 如图2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内 而图2－3，说明高线不一定在 △ABC内，

图2－3—（1），中三条高线都在△ ABC内， 图2－3－（2），中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边； 图2－3一（3），中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。

三、三角形三条边的关系：三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。

等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。

不等边三角形

三角形接边相等关系来分类：三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形等边三角形



三角形两边之和小于第三边两边之差小于第三边。（不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。）

三、三角形的内角和：定理三角形三个内角的和等于180° 直角三角形的两个锐角互余。

直角三角形

三角形按角分类：三角形锐角三角形

斜三角形钝角三角形



三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

例如图2—6中： ∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8； ∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。 四、全等三角形：能够完全重合的两个图形叫全等形。

两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 全等用符号“≌”表示 △ABC≌△A′B′C′表示 点A和点 A′，点B和点B′，点C和点C′是对应点。全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 五、全等三角形的判定：

1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”） 3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边’域“AAS”） 4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）

由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。

5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”） 六、角的平分线：

1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点

七、命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理。

例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。

一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。

八、基本作图:限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图。

最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。 1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等； 2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．从而得到对应角相等。

3、经过一点作已知直线的垂线：（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角的方法去做：已知点 C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。

4、作线段的垂直平分线：线段的垂直平分线也叫中垂线。做法的实质仍是全等三角形（SSS）。 也可以用这个方法作线段的中点。

九、作图题举例:重要解决求作三角形的问题

1、已知两边一夹角，求作三角形 2、已知底边上的高，求作等腰三角形 十、等腰三角形的性质定理:

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n 十一、等腰三角形的判定:

定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 十二、线段的垂直平分线：

定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；

十三、轴对称和轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。 两个图形关于直线对称也叫轴对称。

定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形；

定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；

定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上； 逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。

十四、勾股定理： 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：abc 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系： abc那么这个三角形是直角三角形

2

2

2

22

例题：

1、已知：AB、CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD,E、F为AB上两点，且AE=BF. 求证：CE=DF

2、已知：∠CAE是三角形ABC的外角, ∠1=∠2， AD∥BC 。 求证：AB=AC

3、已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

几何部分 第三章：四边形

基础知识点：

一、多边形：1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。 9、n边形的对角线共有

1

n(n3)条。 2

10、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）180°。 11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360°。 二、平行四边形：

1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。 3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。

4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。 5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。

6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。

（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。 三、矩形：

1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形） 2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。 3、矩形性质定理2：矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 四、菱形:

1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。

3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。

5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 五、正方形:

1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。 5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。 六、梯形:

1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底） 3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高。 5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。 8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。 9、等腰梯形的判定定理l。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。 10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。

说明：研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。 七、中位线:

1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 八、多边形的面积:

（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。

（2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。

（3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。

注意：两个图形全等，它们的面积相等。等底等高的三角面积相等。一个图形的面积等于它的各部分面积的和。 例题：

1、如图41-2，求∠B+∠C+∠D的度数和。

2、已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm。 求□ABCD内角的度数与边长。

3、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，EF过O分别交BC、AD于点E、F，且AE⊥BC， 求证：四边形AECF是矩形。

几何部分 第四章：相似形

基础知识点： 一、比例线段:

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或

am） bn

ac bd

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如4、比例外项：比例

ac

（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项。 bd

ac

5、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

bd

ab

6、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的

ba

比例中项。

7、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

8、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d

22

9、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b=ad，逆定理是如果b=ad那么a：b=b：c。 10、等比性质：如果

acmacma

（bdm0），那么，

bdnbdnb

说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

二、相似三角形：

1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。（2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。 （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 6、介绍有特点的两个三角形：

（1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。

（2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图4－6

（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。

说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：如图4—7若

△ACD∽△ABC，则AC2

＝AD·AB 掌握基本图形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用结论.

①勾股定理：AC2+BC2=AB2

. ②面积公式：AC·BC=AB·CD.

③三个比例中项：AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,CD2

=DA·DB.

几何部分 第五章：解直角三角形

基本知识点：

一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，如图:

2

45˚

1

a

1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA 1

cb

2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA c

2 a

3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA

b

60˚ b

4、余切：把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA a

1

说明：由定义可以看出tanA·cotA＝l（或写成tanA）

cotAmm

5、一些特殊角的三角函数值:正弦、余弦值可表示为形式，正切、余切值可表示为形式，

23

有关m的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．

二、解直角三角形:

由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5个元素之间有关系： （l）abc；（2）∠A十∠B＝90°； （3）sinA

2

2

2

abab

；cosA；tanA；cotA ccba

a1

sinAsin30c10，c2

所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。 例如Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A＝30°，a＝5，则由：

bsinBsin60b5，AB90B60，b5,c10,B60 c2

三、应用举例:是实际问题中的解直角三角形，或者说用解直角三角形的方法解决实际问题。

例、如一杆AB直立地面，从D点看杆顶A，仰角为60°，从C点看杆顶A，仰角为30°（如图5～2）若CD长为10米，求杆AB的高。 解：

（1）仰角，俯角见图5－3

（2）跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，见图5—4

（4）坡度、坡角：见图5一6坡度i＝7坡度的垂直高度h水平宽度l，i

h

tana(a叫坡角） l

例题：

1、根据下列条件，解直角三角形．

2、在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为 45°，求山高AB．

3、如图6-40，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1：3 ，斜坡CD的坡度 i′=1:1，求斜坡AB的长及坡角α和坝底宽AD(精确到0.1m)．

几何部分 第六章：圆

基础知识点： 一、圆：

1、圆的有关性质：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。

由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。

连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。 能够重合的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 二、过三点的圆：

l、过三点的圆：定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。 2、反证法：反证法的三个步骤： ①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。 证明：设有两个以上是钝角 则两个钝角之和＞180°

与三角形内角和等于180°矛盾。∴不可能有二个以上是钝角。 即最多只能有一个是钝角。 三、垂直于弦的直径：

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。 推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 五、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

六、圆的内接四边形：多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 七、直线和圆的位置关系

1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。

2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：

直线和圆相交d＜r；直线和圆相切d＝r；直线和圆相离d＞r；直线和圆相交d＜r 例如：图6－2中，直线与圆O相割，有：r＞d 图6－3中，直线与圆O相切，r＝d 图6－4中，直线与圆O相离，r＜d

八、切线的判定和性质：

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。 推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 例如图6－5中，O为圆心，AC是切线，D为切点。 ∠B＝90° 则有BC是切线 OD是半径 OD⊥AC

九、切线长定理：

经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。

切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角， 十、圆和圆的位置关系如图6－9若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则： 1、两圆外离d ＞R＋r； 2、两圆外切d = R＋r；

3、两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r） 4、两圆内切d = R－r；（R＞r） 5、两圆内含d＜R－r。（R＞r）

定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。 如图6－10，O1，O2为圆心，

则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分 十一、正多边形和圆：

各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 十二、圆周长、弧长：

1、圆周长C＝2πR；2、弧长L十三、圆扇形，弓形的面积：

l、圆面积：SR；

2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

2

nR

180

nR2

在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为：S扇形

360

nR1

注意：因为扇形的弧长L。所以扇形的面积公式又可写为S扇形LR

1802

3、弓形的面积：

由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。

十四、圆柱和圆锥的侧面展开图：

1、圆柱的侧面展开图：圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。（图6一16）

AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， C’D’，„都叫圆柱的母线。 圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。 圆柱的两个底面是平行的。

圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。 ∴S侧面=2πRh

圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R R是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图6－8

2、圆锥的侧面展开图

圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。

如图6－19，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。 旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。

连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、„都叫圆锥的母线，母线长都相等。 圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB 半径是母线长，AB是2πR。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=πRL 例题：

1、如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD= .

2、如图7.3-1⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径为（ ）. A 、



4535

B、 C、 D、 5446

3、如图7.5-1，O1和O2外切于点C，直线AB分别外切⊙O1于A，⊙O2于B，⊙O2的半径为1，AB=22，则⊙O1的半径是 .

4、将两边长分别为4cm和6cm的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得圆柱的表面积为 cm2.

5、如图7.6-2，正六边形内接于半径为1的圆，其中阴影部分的面积是 .