粘性流体绕流圆管的边界层厚度的局部相似性解法

DOI:10. 16076/j.cn k i . cjhd. 2001. 03. 009

　A 辑第16卷第3期　　　　　

　　2001年9月　　　　　　　水动力学研究与进展　　　Ser. A, V o l. 16, N o. 3　　　　　Sep. , 2001JOU RN AL O F HYDRODYN AM ICS

文章编号:1000-4874(2001) 03-0330-04

粘性流体绕流圆管的边界层

厚度的局部相似性解法

孙奉仲1, 　史月涛1, 　平亚明1, 　张鸣远2

(1. 山东大学能源与动力工程, 山东济南250061;

2. 西安交通大学, 陕西西安710049)

　　摘　要:　本文分析了粘性流体绕流圆管时边界层厚度的一种局部相似性解法。根据相似性解原理, 将流体在圆管上形成的二元曲面转化为若干段, 把每一段近似处理成一个楔形体斜面, 把相似性解用于每一段, 并考虑界面上的修正, 就可以得到边界层的物理参数。计算表明, 这种方法是可行的。

关　键　词:　粘性流体; 边界层; 相似性

中图分类号:　O357. 4　　　文献标识码:A

1　引言

工程上许多问题都涉及到粘性流体流动的问题, 例如油冷却器, 化工介质加热等, 这些设备的强化传热与绕流圆管时形成的曲面边界层有关。如果能够准确解出边界层厚度, 那么强化传热元件的几何尺寸尤其是高度就可以确定。关于粘性流体绕流圆管时形成的附面层厚度的解法即边界层微分方程的求解目前有许多方法, 各有其特点, 但又都有一定的限定条件和作用精度。

文献[1](1998) 在柱坐标下用有限差分法计算了二维、稳态、可压缩流体绕流圆柱体的边界层问题, 得到了从驻点到分离点之间区域的换热量, 并计算出不同来流速度绕流圆柱的速

-4度剖面、温度剖面以及当地N u 数, 指出了可压缩流体绕流圆柱体的边界层厚度为10数量

级。文献[2](1997) 将小波理论同有限元法结合起来, 建立了一种小波-有限元计算格式, 探讨了寻找边界层位置的过程以及计算边界层区域的内部解及外部解的步骤。文献[3](1993) 在近似分析法求解边界层问题中, 引用压力梯度作为新的自变量以代替通常的纵坐标x , 从而将经典的边界层方程变为新的形式。文献[4](1990) 对任意形状的曲面边界层, 采用了局部相似性解法, 将二元曲面分成若干段, 把每一段看成一个楔形的斜面, 并将相似性解用于每一线段, 求解后再沿曲面积分, 得到了问题的解答。另外, 其他学者也对边界层的求解作了有益的

①收稿日期:　2000-09-10:(～) , 男

孙奉仲等:粘性流体绕流圆管的边界层厚度的局部相似性解法331探索, 但是要么原理复杂, 不易理解且计算麻烦, 要么精度不高应用受限。因此本文主要讨论曲面边界层的求解。

2　曲面边界层方程的局部相似性解法

2. 1　曲面边界层方程的局部相似性解

相似性解在流体力学中应用广泛, 对于边界层问题最重要的相似性解就是著名的Blasius 解和Falkner-Skan 解。但是它们只适用于平板和楔形体。局部相似性解的出现就是为了解决流体任意形状的曲面边界层问题的, 它把任意形状的曲面分解成许多小部分, 认为每一部分近似为一个楔形体, 并在每一个微元楔形体上直接应用Falkner -Skan 解的结果。但是这种方法的误差较大, 原因就是没有考虑前一个微元楔形体对后一个的影响。

2. 2　曲面边界层厚度的改进的局部相似性解法

改进的局部相似性解法的目的就是:提高局部相似性解的精度, 并且能够直接应用经典的Falkner-Ska n 解的结果。经过改进的局部相似性解法和局部相似性解的主要区别在于:后者只考虑到了将当地弧段简化成一个斜面, 对这一部分应用相似性解法, 但没有考虑到在该弧段之前的边界层对它的影响, 而前者则充分考虑了这一影响。计算和工程试验证明, 这一影响是不可忽视的, 会影响计算结果的精度。

改进的相似性解的原理如图1所示, 下面结合边界层各个参数的求解说明改进的局部相似性解法的原理和计算步骤

。

图1　改进的局部相似性解法原理图

(1) 在圆周方向上按角度θ把圆周划分为若干等分, 直到分离点。划分的角度越小, 每一弧段就越接近直线段, 计算结果越精确。若圆周的半径为R , 则每一份的长度为l =R θ。

(2) 根据平面的驻点流动的解法[5], 求出在前驻点处的边界层厚度为

W n =

Re

x

式中x 是在流动方向上的坐标。

(3) 如果知道第n 个点的边界层厚度W n , 则可以把这个厚度看成是第n 等分边界层的起点厚度, 认为W n 是流体按第n 等分的角度冲刷该等分二维楔的结果, 根据W n 可以得到这个虚拟二维楔的起点距n 点的距离x 1, 再加上该等分的长度l , 得到第n +1点距虚拟起点的距离x , 把x 当作第n 段的局部特征尺寸, 根据x 可以得到第n +1点的边界层厚度。

(4) 由于已经知道了驻点的边界层厚度, 依次类推, 就可以得到各个点的边界层厚度, 直

3　算例

由于粘性流体绕流圆管的Re 数较小, 一般在10数量级, 而相似性解法的基本前提是Prandtl 的薄边界层理论, 这就要求Re 远远地大于1。虽然粘性流体Re 数较小, 但是仍可以应用Prandtl 的薄边界层理论为计算的前提条件。因为这仍可满足工程计算的要求。随着Re 数的增加, 该解法的精度会越来越高。

根据上述计算步骤和有关计算公式, 对绕流圆柱时曲面边界层厚度按θ=5°划分圆管, 并且编制出计算机程序进行计算, Re =100～1000范围内进行的, 结果如图2所示。从图中可以看出:随着Re 数的增加, 边界层厚度是减小的, 边界层厚度从前驻点到分离点一直是增加的, 这都和实际相符合; 由于流体的粘性较大, 流动的Re 数较小, 边界层的厚度和圆管的半径之比较大, 相差一个数量级, 这也正是实际的体现

。2

图2　圆管边界层的相对厚度

从图中可以看出, 在前驻点附近边界层厚度的变化比较剧烈, 这是因为前驻点附近的边界层流动是典型的平面驻点流动, 由于来流垂直的射到壁面上, 所以边界层的厚度内的速度梯度很大, 边界层厚度也相应变化剧烈。此后流体顺着光管流动, 边界层厚度变化得比较缓慢; 边界层的厚度在脱体点附近有上扬趋势, 这是因为在脱体附近由于回流的影响, 回流的液体冲击来流的液体造成在脱体点附近流速较小, 因此边界层内的速度梯度比较小, 边界层的厚度也相应的有较大的增加。

为了验证改进的边界层局部相似性解法的正确性, 把一组计算结果同经典Thw aites 方法进行了比较, 比较结果见图3, 比较时的Re =37500。

4　结论

经过改进的绕流圆管曲面边界层局部相似性解法与其它解法相比较, 具有如下优点:

图3　圆管边界层的相对厚度的比较

(1) 原理简单, 计算方便, 能够利用现成的相似性解的数值表, 可靠性强, 并能够满足工程上一定的精度要求。(2) Re 数越大, 该解法的精度越高, 此外计算的精度还可以通过划分角度来调整, 划分的角度越小, 计算的精度越高。(3) 该方法适用于Re >100所有流动情况, 不仅适用于粘性流体, 还适用于该范围内的一切牛顿流体。

参　考　文　献:

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]HA L IT K A RBU L U T. Numerical solutio n of bo unda ry layer equa tio ns in compressible cro ss-flo w to a cy linder [J].Int. J . Hea t M ass T ra nsfer , 1998, 41(17):2677-2684. 叶碧泉. 边界层问题的小波-有限元解[J].数学杂志, 1997, 17(1):80-83. 袁镒吾. 层流边界层方程的近似分析解[J].应用数学和力学, 1993, 14(1):39-49. 孔翔金. 曲面边界层局部相似性解[J].华中理工大学学报, 1990, 18(10):157-159. 夏国泽. 不可压缩边界层理论[M].武汉:华中理工大学出版社, 1990.

The method of partial similarity of the boundary layer

of viscous fluid flowing over circular cylinder

SUN Feng -zhong , 　SHI Yue-tao ,

12PIN G Ya -ming , 　ZHAN G Ming -y uan

(1. Shando ng Univ ersity , J inan 250061;

2. Xi ’an J iao to ng University , Xi ’an 710049)

Abstract :　Th e solutio n of boundar y la yer o f curv ed sur face w as discussed. Acco rding to the principle of the theo ry o f similarity , the method o f pa rtial simila rity wa s pro posed to predict the thickness of the bounda ry lay er for fluid flow ing ov er a circular cy linder. By dividing the circular a rc into tiny seg ments and r eg ar ding each seg ment a nd the err or caused in this w ay w as fully considered. This metho d w as pr ov ed to be feasible. 11

Key words :　visco us fluid; bo undary layer; simila rity