向量法与三角形的心
向量与三角形的“心”
向量是“数”与“形”结合的桥梁,它与数学各个方面有着紧密联系,是解决数学问题的有力工具。本文通过几个事例来探究向量与三角形的“心”(重心、垂心、内心、外心)的交汇。
一、重心
在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,根据向量加法的平行四边形法则,可得
+=2。这说明+所在的直线过BC 的中点D ,从而一定通过△ABC 的重
心。另外,G
为△ABC
的重心的充要条件是++=或
=
1
(++) ,(其中O 为△ABC 所在平面内任意一点),这也是两个常用的3
结论。
例1.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的外心,动点P 满足
1
=[(1-λ) +(1-λ) +(1+2λ) )](λ∈R ) ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的
3
A .内心
B .垂心
C .外心
( D .重心
)
思路分析:取AB 边的中点M ,则+=2,
1=[(1-λ) +(1-λ) +(1+2λ) )](λ∈R ) 可得 由
3
3=2++2λ(-) =3+(1+2λ) ,所以
1+2λ=(λ∈R ) ,即点P 的轨迹为三角形中AB 边上的中线,故选D 。
3
点评:本题当λ=-
1
时,=,此时点P 为线段AB 中点。也可当λ=0时2
1
=(++) ,则P 的轨迹也通过△ABC 的重心。但是若取的三角形
3
以C 为直角顶点,则点P 过点C 为垂心,得出了意想不到的错误,因而解题过程中也应注意解题方法的优化。
二、垂心
在△ABC 中,由向量的数量积公式,可得+
⋅=0,这说
+
所在直线是BC 边上的高所在直线,从而它一定通过△ABC 的
垂心。
例2(2005年全国卷)点O 是△ABC 所在平面内的一点,满足
OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ,则点O 是△ABC 的
( )
A .三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C .三条中线的交点 D.三条高的交点
思路分析:由OA ⋅OB =OB ⋅OC ,得OB ⋅(OA -OC ) =OB ⋅CA =0,所以OB ⊥AC ,即OB ⊥AC 。同理OC ⊥AB , OA ⊥BC 。因此O 是△ABC 三条高的交点,故选D 。 点评:解题中应注意实数运算、向量运算相同与不同之处,由⋅=⋅不能推得,因此学生不要生搬硬套地把代数运算照搬过来。 OA =OC (因为OA OC 方向不相同)
三、内心
在△ABC 中,由两单位向量相加,+
A 的平分线所在的直
线,从而一定经过△ABC 的内心。
例3(2003年全国卷)O 是平面上定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A .外心 B .内心 思路分析:设+
λ∈[0, +∞) ,
C .重心 D .垂心
=AB ' 为上的单位向量,=AC ' 为上的单位向量,
则+
的方向为∠BAC 的角平分线的方向,又λ∈[0, +∞), 所以
λ+
与+的方向相同,而=+λ+,
所以
点P 在AD 上移动,故P 的轨迹一定是通过△ABC 的内心,选B 。 点评为上的单位向量,以及菱形的对角线平分角等知识。
例4.(2006年陕西卷理)已知非零向量与AC 满足
+
⋅=0且
=
1
,则△ABC 为 2
( )
A .三边均不相等的三角形 B .直角三角形 C .等腰非等边三角形 D .等边三角形 思路分析:
1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理,不妨先验证等边三角形,刚好适合题意,则可同时排除其他三个选择支,故选D 。
2+
ABC 的内心,则由+
⋅BC =0知,
=(等腰三角形的三线合一定理)
=
1π
,所以∠A =,即△ABC 23
为等边三角形,故选D 。
点评:思路1抓住了该题选择支的特点而采用了验证法,是处理本题的巧妙方法;思路2是与同向的单位向量,并能领会向量表达式与三角形的内心的关
系。
四、外心
(人教版第一册(下)第151页第6题)已知点O 是△ABC 所在平面内一点,
++=, ||=||=|=1求证:△ABC 是正三角形。由已知条件可知,△
ABC 的重心、外心都是点O ,因此△ABC 为正三角形。
例5.(2005年全国卷)△ABC 的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,
OH =m (OA +OB +OC ) ,则实数m=_____________
思路分析:1.特殊法:设△ABC 为直角三角形,则O 为斜边BC 中点,H 与A 重合,所以
=m ,即m=1。
2.由=-=m (++) -=(m -1) +m (+) ,又
AH ⊥BC ,因此AH ⋅BC =0,即(OH -OA ) ⋅(OC -OB ) =0,所以
(m -1) OA ⋅(OC -OB ) +m (OB +OC ) ⋅(OC -OB ) =0,
又(OB +OC ) ⋅(OC -OB ) =OC -OB =0,且⋅(-) ≠0,因此m=1。
3.利用特殊法推得m=1,下面来证明
A H
G O
B
D
C
2
2
=++,即=+。设BC
中点为D ,连线AD 、OH 且AD ⋂OH =G ,且G 为重心,因此AG =2GD ,又AH ⊥BC , OD ⊥BC ,则AH ∥OD ,可得△AHG ∽△DOG ,所以
AH =2OD =OB +OC 。
点评:思路1利用特殊法;思路2利用实数与向量的乘法进行运算;思路3对特殊性进行证明,运用了△ABC 的外心、垂心、重心三心共线,再利用三角形相似,巧妙地证明结论。