初三数学基本图形的对称性复习

图形的对称性复习

一、题型特点

1、涉及主要知识点

涉及到的几何变换：轴对称、中心对称。 轴对称基本知识点： 1）主要概念

(1) 轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图 形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段 叫做对称线段．

(2) 轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

（3）两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系． 2）主要性质

轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那以对应线段相等，对应角相 等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 3) 简单的轴对称图形：

线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形 ① 线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． ②角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线

③等腰(非等边）三角形是轴对称图形：有一条对称轴，底边中垂线．

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等． ④等边三角形是轴对称图形：有三条对称轴：每条边的中垂线 中心对称基本知识点 1）主要概念

（1）中心对称图形定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180 ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． （2）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与另一个图形 完全重合，那么就说这两个图形关于这个点是对称的，这个点叫做对称中心． 2）主要性质

○

○

（1）性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都经过对称中心，并 且被对称中心平分．

（2）中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是180的旋转对称． （3）点P (x , y ) 关于原点的对称点P 1 为3) 简单的中心对称图形：

线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等都是常见的中心对称图形 2、主要考点

考点1、判断轴对称图形、中心对称很图形 考点2、折叠问题

考点3、做轴对称图形、中心对称图形

考点4、利用图形的对称性解决简单的实际问题 3、考试说明的要求 ①轴对称中考要求

A 、了解图形的轴对称和轴对称图形，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。 B 、能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形 之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、 等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。 C 、能运用轴对称知识解决简单问题。 ②中心对称中考要求

A 了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形。

B 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角

C 能运用旋转的知识解决简单问题。 二、典例分析

考点一：判断轴对称图形或中心对称图形

例1（2009年内蒙古包头）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）

o

A ．4个 【答案】B

B ．3个 C ．2个 D ．1个

【解析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，轴对称图形是指将图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形，而中心对称图形是指将图形沿某个点旋转180°后得到的图形与原图形完全重合的图形. 故同时符合上面两个条件的是第1、3和4个图形，正确答案选B.

考查方式：这个考点主要以选择题形式出现，试题多以日常生活中的工艺品、商标图案、宣传画、字母、数字为材料，判断是否是轴对称图形或中心对称图形，不会有较大变化，应熟练掌握基本图形的轴对称性，结合实际图形进行辨认．

解题思路方法：熟练掌握基本图形的对称性，利用轴对称图形和中心对称图形的定义，结合实际图形进行辨认和判断

学生可能出现的问题与落实建议：个别学生如果判断不准，可以采取先利用轴对称图形和中心对称图形的定义判断，再折试卷、将试卷颠倒的方法进一步检验。 练习、

1、（2013山东烟台，2，3分）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）

【答案】B

分析：将试卷颠倒，和原来图形相同的就是中心对称图形，故选B

2、（2013内蒙古呼和浩特，3，3分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有

( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C

分析：将图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是后三个，沿某个点旋转180°后得到的图形与原图形完全重合的是后三个，将试卷颠倒，和原来图形相同的就是中

心对称图形，是后三个，它们也是轴对称图形，故选C 注意：以下练习分析同此

3、（2013湖北黄冈市，2，3分）随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）

【答案】A

分析：沿某个点旋转180°后得到的图形与原图形完全重合的只有A

4、 (2013甘肃白银，3，3分) 下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台 的台徽，其中为中心对称图形的是

( )

【答案】C

5、（2013山东潍坊，2，3分）下面的图形是天气预报中的图标, 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).

A. B. C. D.

【答案】A

6、（2013江苏泰州，4，3分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】 B .

7、（2013贵州省六盘水，4，3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）

【答案】A

8、（2013浙江台州, 4, 4分）下列四个艺术字中, 不是轴对称的是（ ） A. 金 B.木 C.水 D.火

9、(2013山东德州，2，3分) 民族图案是数学文化中的一块瑰宝. 下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）

A B C D 【答案】C

10、（3分）（2013•宁波）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）

【答案】D

11. （2013广东省，9，3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） ．．

【答案】 C .

12、（2013哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )．

【答案】D

13、(2013北京，6,4分) 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

【答案】A.

14. （2013浙江义乌，7，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）．

A ．4个

B ．3个

D ．1个

C ．2个

【答案】 C .

15. (2013河南，2,3) 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

【答案】D

16. （2013四川凉山州，6，4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A ．

B ．

D ．

【答案】B

17（2013四川绵阳，2，3分）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（ ）

【答案】 A

考点二、折叠中的轴对称

例1、如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD ，EF 均与x 轴垂直，以O•为顶点，仅开口方向相反的两条抛物线分别经过点两半圆的C ，E 和D ，F ，则图中阴影部分的面积是_______． 答案 ：

2

分析 ：由题可知，半圆A 与半圆B 关于y 轴对称，两条抛物线关于x 轴对称，

∴S1=S3，S 2=S4，

∴图中阴影部分的面积实际为半圆A 的面积．

考查方式：这个考点主要以选择题、填空题形式出现，应熟练掌握

基本图形的轴对称性，

掌握关于折痕对称的图形是全等的．对应线段相等，对应角相等，全等形的面积也相等． 解题思路方法：由轴对称性得到全等图形，经翻折将不规则的阴影转化为规则的、特 殊的、可求面积的图形，从而达到求阴影面积的目的。

学生可能出现的问题与落实建议：利用图形变换求图形的阴影面积最好做为一个专题来复 习，让学生掌握这类题多数是利用平移、旋转、轴对称将阴影面积转化为规则的、特 殊的、可求面积的图形，从而达到求阴影面积的目的。

例2 （2011广东广州市）如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB 按箭头方向向右对折，接 ．．着将对折后的纸片沿虚线CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后 的展开图是（ ）

B

B

图1

D

B (A )

A ． B ． C． D ．

考查方式：这个考点主要以选择题形式出现，应熟练掌握基本图形的轴对称性，掌握关于折痕对称的图形是全等的．

解题思路方法：此题对折后应两条折痕互相垂直，所以展开图应沿横竖两条轴成轴对称，且剪出来的小锐角应远离矩形纸片的中心，所以答案为D.

例3、如图，已知折叠矩形的一边AD ，使得点D 落在BC 边上的点F 处，且AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长． 答案：3cm

解析：由折叠性质知， AF=AD=10cm，EF=DE． 设EC=xcm，则DE=（8-x ）cm ． 在Rt △ABF 中，， ∴FC=BC-BF=10-6=4cm． 在Rt△CEF中，EF =EC+FC， ∴（8-x ）=x+4， ∴x=3．

即EC 的长为3cm ．

思路分析：因为折叠是轴对称变换，属于全等变换，所以本题的思路主要是将线段转化代换，

2

2

2

2

2

2

这种转化的思想是解决数学问题的重要思想方法．此题△ADE 与△AFE 应沿折痕成轴对称，所以利用这两个三角形全等进行等量代换，设EC=x，将Rt △CEF 中的各边分别表示出来，利用勾股定理求解. 得EC 的长为3cm

考查方式：这个考点主要以选择题、填空题形式出现，应熟练掌握基本图形的轴对称性，掌握关于折痕对称的三角形是全等的．对应线段相等，对应角相等．

解题思路方法：熟练掌握基本图形的对称性，利用折痕成轴对称的三角形是全等的．对应线段相等，对应角相等，即：折叠问题中注意它的对称性：对应边（角）的相等性；求这类问题中的未知线段长，常设所求线段长为x ，把其他线段用含x 的代数式表示，选择一个直角三角形．根据勾股定理列方程，用方程思想求解．

学生可能出现的问题与落实建议：让学生知道这类题的基本思路就是：设所求线段长为x ，把其他线段用含x 的代数式表示，选择一个直角三角形．根据勾股定理列方程，用方程思想求解．形成一个基本模式。 练习、

1. （2011山西）将一个矩形纸片依次按图（1）、图的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）

（向上对折）

（向右对折）

图（3）

图（4）

A

B

C

D

【答案】A

分析：此题对折后应两条折痕互相垂直，所以展开图应沿横竖两条轴成轴对称，且剪掉的图形在矩形纸片的中间，所以答案为A.

2. （2011重庆市潼南）如图，在△ABC 中, ∠C=90， 点D 在AC 上，, 将△BCD 沿着直

（第1题）

线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，DC=5cm ，则点D 到斜边AB 的距离是 cm . ．

A

E

D

B

14题图

C

【答案】5

分析：翻折之后，△BCD 与△BED 应沿BD 对称，是全等三角形，所以∠C=∠BED=90，并

且CD=DE，点D 到斜边AB 的距离正是DE ，所以CD=DE=5

3. （2011山东济宁）如图，△ABC的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE =4cm，则△ABD的周长是

A ．22cm B．20 cm C ．18cm D．15cm

【答案】A

分析：把△ABC的边AC 对折，得到△CDE 与△ADE 全等，所以得到AE =CE=4cm，AD=DC。因为

D 第9

△ABC的周长为30cm ，所以AB+BC=30-8=22，△ABD的周长=AB+BD+AD= AB+BD+ DC=

AB+BC=30-8=22，故选A

4. (2013四川成都，7,3分) 如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 与点C '重合．若

AB =2，则C 'D 的长为（ ）

A ．1 B．2 C．3 D．4 答案：B

分析：△BCD 与△B C 'D 关于BD 对称，是全等的，所以C 'D =CD=AB =2

5. （2013湖北十堰，6，3分）如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为（ ）

A ．7cm B ．10cm C ．12cm D ．22cm

A 【答案】C

C 分析：将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，△BDE 与△ADE 关于DE 对称，是 全等三角形，所以BD=AD，因为AC=5cm，△ADC 的周长为17cm ，所以AD+DC=12，而BC=BD+CD =AD+CD=12，选C

00

6. （2013湖南郴州，8,3分）如图，在R t △A BC 中，∠ACB =90，∠A =25，D 是AB 上一点，

//

将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B 处，则∠ADB 等于（ ）

0000

A.25 B.30 C.35 D.40

【答案】D .

000，

分析：在R t △A BC 中，∠ACB =90，∠A =25，所以∠B =65将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落

///0

在AC 边上的B 处，所以△CBD 与△C B D 全等，所以∠B =∠C B D=65，由三角形的外角等

/0

于不相邻两个内角的和可知∠ADB 等于40

7（2013内蒙古包头，18，3分）如图，在三角形纸片AD C 中，∠C =90°，AD =6，折叠该纸片使点C 落在AB 边上的D 点处，折痕BE 与AC 交与点E 若AD =BD，则折痕BE 长 为

E

A

【答案】4

分析：由折叠性质知，BC=BD，∠C =∠BDE =90°，所以∠ADE =90°，因为AD=6，AD=BD=6，所以BC=6， AB=12，BE=AE，由锐角三角函数可知∠A =30°, 在Rt △

ADE 中，设ED=xcm，则 AE=2x，由勾股定理可求BE 长为