单项式的乘法

单项式的乘法

知识点一、单项式与单项式相乘

单项式相乘，把它们的系数相乘，字母部分的同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

(2xy 2) 2∙(-3x 2y ) =4x 2y 4∙(-3x 2y ) =-12x 4y 5 2(x +y ) ∙(x +y ) n =2(x +y ) n +1

知识点二、单项式与多项式相乘

单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加。 注意以下三个问题：

（1） 单项式乘多项式的根据是乘法的分配律，把单项式⨯多项式转化成单项式⨯单项式； （2） 单项式⨯多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同； （3） 计算时要注意符号问题，多项式中每一项多包括它前面的符号。 基础巩固

422

1. (－2a b )(－3a ) 的结果是( )

6262

A. －18a b B.18a b

52 52

C.6a b D. －6a b m +1n +22n －12m 53

2. 若(a b ) ·(a b )=a b , 则m +n 等于( )

A.1 B.2 C.3 D. －3

252

3. 式子－( )·(3a b )=12a b c 成立时，括号内应填上( )

33

A.4a bc B.36a bc

33

C. －4a bc D. －36a bc 4. 下面的计算正确的是( )

248 236

A ．a ·a ＝a B ．(－2a ) ＝－6a n ＋122n ＋1 n n －12n C ．(a) ＝a D ．a ·a ·a ＝a

322m ＋12m

5. ⑴－3x y ·2x y ＝ ⑵a · ＝a 6. ⑴3x y (－5x y )=_____ ⑵(

2239

a b c ) ·(ab )=_____ 34

122823

⑶5×10·(3×10)=_____ ⑷3xy (－2x ) ·(－y ) =_____

4

3

32

⑸y

m －1

·3y

2m －1

=_____ ⑹4m (m +3n +1)=_____;

2

⑺(－

32

y －2y －5) ·(－2y )=_____ ⑻－5x 3(－x 2+2x －1)=_____; 2

13

23

7. 计算：

(1)(2xy ) ·(xy ); (2)(－2a b ) ·(－3a );

54232325

(3)(4×10) ·(5×10); (4)(－3a b ) ·(－a b ) ;

(5)(－a bc ) ·(－c ) ·(ab c )

23

2

3

2

34

5

13

2

8. 计算：

(1)2ab (5ab +3a b ) (2)(ab －2ab ) ·ab (3)－6x (x －3y ) (4)－2a (ab +b ).

能力拓展

9. 2x y ·(－3xy +y ) 的计算结果是( )

A.2x y －6x y +xy B.－x y+2xy

24232 3224

C.2x y +xy －6x y D.－6x y +2xy 10．下列计算中正确的是( )

236426

A.3b ·2b =6b B.(2×10) ×(－6×10)=－1.2×10

22245 m +122m 4m +2

C.5x y ·(－2xy ) =20x y D.(a ) ·(－a ) =－a (m 为正整数) 11．计算4m (m +3n +1)=_____;(－

3

2

2

24

32

2

2

24

2

2

2

2

23

2

12

12

2

12

3

32

y －2y －5) ·(－2y )=_____; 2

－5x (－x +2x －1)=_____.

252

12．式子－( )·(3a b )=12a b c 成立时，括号内应填上的代数式是 。 13. 计算：

（1）(a b c ) (2a b c ) （2）( （3）(－

23

2

324

2241

ab －2ab +b )(－ab ) 332

42n +1n －1

a b )(－2.25a n －2b n +1) 3

2253

14.(一题多解) 已知ab =－6, 求－ab (a b －ab －b ) 的值.

2

15. 一个住宅小区的花园如图1所示，在圆形花池外的地方铺砖，每块砖的价格是a 元/米，共需多少元？

多项式乘多项式

知识点：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

练习 一、选择题

1. 计算(2a －3b )(2a ＋3b ) 的正确结果是( ) A ．4a 2＋9b 2

B ．4a 2－9b 2

C ．4a 2＋12ab ＋9b 2 D ．4a 2－12ab ＋9b 2

2. 若(x ＋a )(x ＋b ) ＝x 2－kx ＋ab ，则k 的值为( ) A ．a ＋b

B ．－a －b

C ．a －b

D ．b －a

3. 计算(2x －3y )(4x 2＋6xy ＋9y 2) 的正确结果是( ) A ．(2x －3y ) 2

B ．(2x ＋3y ) 2

C ．8x 3－27y 3

D ．8x 3＋27y 3

4. (x 2－px ＋3)(x －q ) 的乘积中不含x 2项，则( ) A ．p ＝q

B ．p ＝±q

C ．p ＝－q

D ．无法确定

5. 若0＜x ＜1，那么代数式(1－x )(2＋x ) 的值是( ) A ．一定为正 定

6. 计算(a 2＋2)(a 4－2a 2＋4) ＋(a 2－2)(a 4＋2a 2＋4) 的正确结果是( ) A ．2(a 2＋2)

B ．2(a 2－2)

C ．2a 3

D ．2a 6

B ．一定为负

C ．一定为非负数

D ．不能确

7. 方程(x ＋4)(x －5) ＝x 2－20的解是( ) A ．x ＝0

B ．x ＝－4

C ．x ＝5

D ．x ＝40

8. 若2x 2＋5x ＋1＝a (x ＋1) 2＋b (x ＋1) ＋c ，那么a ，b ，c 应为( ) A ．a ＝2，b ＝－2，c ＝－1 C ．a ＝2，b ＝1，c ＝－2

B ．a ＝2，b ＝2，c ＝－1 D ．a ＝2，b ＝－1，c ＝2

9. 若6x 2－19x ＋15＝(ax ＋b )(cx ＋d ) ，则ac ＋bd 等于( ) A ．36

B ．15

C ．19

D ．21

10. (x ＋1)(x －1) 与(x 4＋x 2＋1) 的积是( ) A ．x 6＋1

B ．x 6＋2x 3＋1 C ．x 6－1

D ．x 6－2x 3＋1

二、填空题

1. (3x －1)(4x ＋5) ＝_________． 2. (－4x －y )(－5x ＋2y ) ＝__________． 3. (x ＋3)(x ＋4) －(x －1)(x －2) ＝__________． 4. (y －1)(y －2)(y －3) ＝__________．

5. (x 3＋3x 2＋4x －1)(x 2－2x ＋3) 的展开式中，x 4的系数是__________． 6. 若(x ＋a )(x ＋2) ＝x 2－5x ＋b ，则a ＝__________，b ＝__________． 7. 若a 2＋a ＋1＝2，则(5－a )(6＋a ) ＝__________．

8. 当k ＝__________时，多项式x －1与2－kx 的乘积不含一次项．

9. 若(x 2＋ax ＋8)(x 2－3x ＋b ) 的乘积中不含x 2和x 3项，则a ＝_______，b ＝_______．

10. 如果三角形的底边为(3a ＋2b ) ，高为(9a 2－6ab ＋4b 2) ，则面积＝__________． 三、解答题 1、计算下列各式

(1)(2x ＋3y )(3x －2y ) (2)(x ＋2)(x ＋3) －(x ＋6)(x －1) (3)(3x 2＋2x ＋1)(2x 2＋3x －1) (4)(3x ＋2y )(2x ＋3y ) －(x －3y )(3x ＋4y ) 2、求(a ＋b ) 2－(a －b ) 2－4ab 的值，其中a ＝2009，b ＝2010．

53、求值：2(2x －1)(2x ＋1) －5x (－x ＋3y ) ＋4x (－4x 2－2) ，其中x ＝－1，y ＝2．

⎧⎪(x －1)(2y ＋1) ＝2(x ＋1)(y －1) 4、解方程组⎨

⎪x (2＋y ) －6＝y (x －4) ⎩

四、探究创新乐园

1、若(x 2＋ax －b )(2x 2－3x ＋1) 的积中，x 3的系数为5，x 2的系数为－6，求a ，b ． 2、根据(x ＋a )(x ＋b ) ＝x 2＋(a ＋b ) x ＋ab ，直接计算下列题 (1)(x －4)(x －9) (2)(xy －8a )(xy ＋2a ). 五思考题：

请你来计算：若1＋x ＋x 2＋x 3＝0，求x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012的值．

平方差公式

公式：

语言叙述：两数的 ， . 。 公式结构特点：

左边： 右边： 熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。

(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b (x-2y)(x+2y)中 是公式中的a ， 是公式中的b (-m+n)(-m-n)中 是公式中的a ， 是公式中的b （a+b+c）(a+b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b （a-b+c）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b （a+b+c）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b 填空：

1、(2x-1)( )=4x2-1 2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y 2 第一种情况：直接运用公式

1. （a+3）(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b)

3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2)

11

5. (2x+)(2x-) 6. (a+2b)(a-2b)

22

7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)

第二种情况：运用公式使计算简便

1、 1998×2002 2、498×502

3、999×1001 4、1.01×0.99

18

7、（20-）×（19-）

99

第三种情况：两次运用平方差公式 1、（a+b）(a-b)(a2+b2)

2、(a+2)(a-2)(a2+4)

111

3、(x- )(x2+ )(x+ )

242

第四种情况：需要先变形再用平方差公式 1、（-2x-y ）(2x-y) 2、(y-x)(-x-y)

3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)

5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a)

7.(ab+1)(-ab+1)

第五种情况：每个多项式含三项

1. （a+2b+c）(a+2b-c) 2.(a+b-3)(a-b+3)

3.x-y+z)(x+y-z) 4.(m-n+p)(m-n-p)

完全平方公式

公式：

语言叙述：两数的 ， . 。 公式结构特点：

左边： 右边： 熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 公式变形

1、a 2+b2=(a+b)2=(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)2 3、(a+b)2 +（a-b ）2 4、(a+b)2 --（a-b ）2 一、计算下列各题：

1

1、(x +y ) 2 2、(3x -2y ) 2 3、(a +b ) 2 4、(-2t -1) 2

2

1231

(-3ab +c ) 2 6、(x +y ) 2 7、(x -1) 2 8、5、(0.02x+0.1y)2

3322

二、利用完全平方公式计算：

（1）1022 （2）1972 （3）982

三、计算：

（1）(x +3) 2-x 2 （2）y 2-(x +y ) 2 （3）(x -y )-(x +y )(x -y )

四、计算：

（1）(a +3)(a -3) -(a -1)(a +4) （2）(xy +1) 2-(xy -1) 2

五、计算：

（1）(a +b +3)(a +b -3) （2）(x -y +2)(x +y -2)

2

六、拓展延伸 巩固提高

1、若x 2+4x +k =(x +2) 2 ，求k 值。

2、 若x 2+2x +k 是完全平方式，求k 值。

3、已知a +

11

a =3，求a 2+a

2的值

同底数幂的除法

知识点：

1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

a m ÷a n =a m -n (m 、n 是正整数，且m >n ， 底数a 可以是一个具体的数，也可以是单项式或多项式。强调a ≠0的必要性 2、a 0

=1(a≠0)

已学过的幂的运算性质：

（1）a m ·an =am+n

(m、n 为正整数)

（2）a m ÷a n =am-n (a≠0 m、n 为正整数且m>n) （3）(am ) n =amn

( m、n 为正整数) （4）(ab)n =an b n

( n为正整数)

a ≠0)

练习：

一、填空题

1. 计算：a 6÷a 2，(-a ) 5÷(-a ) 22. 在横线上填入适当的代数式：x 6∙_____=x 14，x 6÷_____=x 2. 3. 计算：x 9÷x 5∙x 5 = x 5÷(x 5÷x 3) ． 4. 计算：(a +1) 9÷(a +1) 8. 5. 计算：(m -n ) 3÷(n -m ) 2＝___________． 二、选择题

6. 下列计算正确的是（ ）

A ．（－y ）7÷（－y ）4=y3 ； B ．（x+y）5÷（x+y）=x4+y4； C ．（a －1）6÷（a －1）2=（a －1）3 ； D ．－x 5÷（－x 3）=x2. 7. 下列各式计算结果不正确的是( )

A.ab(ab)2=a3b 3； B.a3b 2÷2ab=1a 2b ；

2

C.(2ab2) 3=8a3b 6； D.a3÷a 3·a 3=a2. 8. 计算：(-a )5⋅a 2

()÷(-a )的结果，正确的是（ ）

3

4

A. a 7； B. -a 6； C. -a 7 ； D. a 6. 9. 对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ） A ．(m 3) 2=m 9 ； B ．m 3⋅m 2=m 6； C ．m 2+m 3=m 5 ； D ．m 6÷m 2=m 4. 10. 若3x =5，3y =4, 则32x -y 等于( )

25

； B.6 ； C.21； D.20. 4

三、解答题 11. 计算：

A.

⑴(xy ) 4÷(xy ) 2； ⑵(-ab 2) 5÷(-ab 2) 2；

444

⑶(2x +3y ) 4÷(2x +3y ) 2； ⑷(-) 7÷(-) 4÷(-) 3.

333

12. 计算：

⑴a 9∙a 5÷(a 4) 3； ⑵(-a ) 7÷(-a ) 4⨯(-a ) 3；

432332

⑶83∙43÷25； ⑷(-x ) ÷(-x ) ∙(-x ) ÷(-x ) .

[]

13. 地球上的所有植物每年能提供人类大约6. 6⨯1016大卡的能量，若每人每年要消耗8⨯105大卡的植物能量，试问地球能养活多少人？

14. 观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，则89的个位数字是（ ）

A.2 ； B ．4； C ．8； D ．6. 15. 如果x m =8，x n =5，则x m -n .

16. 解方程：（1）28∙x =215； （2）7x =(-7) 5.

17. 已知a m =3, a n =9, 求a 3m -2n 的值.

18. 已知32m =5,3n =10, 求(1)9m -n ；(2)92m -n .

知识点：科学记数法

科学计数法：把一个数记作a ×10形式（其中1≤ a ＜10，n 为正整数。）

将一个数用科学计数法表示的时候，10的指数比原数的整数位数少1，例如原数有6位，则10的指数为5。

确定a 值的时候，一定要注意a 的范围1≤ a ＜10。

将一个用科学计数法表示的数写出原数的时候，10=100……0（共有n 个0）即

a ×10= a×100……0（共有n 个0） n n n

1、3.65×10175是 位数，0. 12×1010是 位数；

2、把3900000用科学记数法表示为，把1020000用科学记数法表示为 ；

3、用科学记数法记出的数5. 16×104的原数是 ，2. 236×108的原数

是 ；

4、比较大小：

3. 01×104 9. 5×103；3. 01×104 3. 10×104；

5、地球的赤道半径是6371千米， 用科学记数法记为千米

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